Facharbeit Mathe Themen: 75 Ideen mit Leitfrage für die Oberstufe

Facharbeit Mathe Themen wählst du in drei Schritten: ein Gebiet nehmen, es zu einer Leitfrage verengen und prüfen, ob die Arbeit in der Zeit machbar ist. Diese Seite liefert dafür 75 Themen aus Analysis, Stochastik, Geometrie, Zahlentheorie, Algebra, angewandter Mathematik und Geschichte, jeweils mit Leitfrage, Niveau und Einstieg zum Weiterlesen.

Eine Facharbeit ist lang und schriftlich. Brauchst du dagegen ein Thema für einen kurzen Vortrag, schau bei den Mathe-Referat-Themen vorbei. Die Vorgaben deiner Schule (Umfang, Abgabetermin, Zitierweise) gehen immer vor, sprich dein Thema vor dem Start mit deiner Lehrkraft ab.

Facharbeit Mathe Themen nach Gebieten

Das Niveau hinter jedem Thema hilft dir bei der Wahl:

• Niveau 1: Mit dem Stoff der Oberstufe bis zur Q1 machbar. Du brauchst nur wenige neue Begriffe.
• Niveau 2: Du erarbeitest dir einige neue Verfahren oder Begriffe selbst, zum Beispiel Taylorpolynome oder Matrizen.
• Niveau 3: Anspruchsvoll, nahe am Studium. Wähle das nur bei großem Interesse, begrenze es auf einen Teilaspekt und suche dir eine Lehrkraft, die dich betreut.

„Q1“ steht je nach Bundesland für das erste Jahr oder das erste Halbjahr der Qualifikationsphase. Für diese Zeit passen die Themen mit Niveau 1 und 2 am besten, eine Auswahl findest du im Abschnitt Themen für die Q1.

Analysis: 11 Themen

• Newton-Verfahren (Niveau 2): Wie schnell konvergiert das Newton-Verfahren, und für welche Startwerte versagt es? Einstieg: Newton-Verfahren, Isaac Newton.
• Optimale Dose (Niveau 1): Welche Maße hat eine Dose mit 330 ml Inhalt bei kleinstem Materialverbrauch, und warum weichen echte Dosen davon ab? Einstieg: Extremwertaufgaben.
• Kurvenlänge (Niveau 3): Wie berechnet man die Länge einer Kurve, und warum gibt es für den Umfang einer Ellipse keine einfache Formel? Einstieg: Integralrechnung.
• Numerische Integration (Niveau 2): Wie viel genauer ist die Simpson-Regel als die Trapezregel bei gleicher Zahl von Streifen? Einstieg: Integralrechnung, Integrationsmethoden.
• Taylorpolynome (Niveau 2): Wie viele Glieder braucht das Taylorpolynom von sin(x), um auf drei Nachkommastellen genau zu sein? Einstieg: Taylorreihen.
• Abkühlung als Differentialgleichung (Niveau 2): Passt das Newtonsche Abkühlungsgesetz zu selbst gemessenen Temperaturen einer Tasse Kaffee? Einstieg: Differentialgleichungen.
• Logistisches Wachstum (Niveau 2): Wann beschreibt das logistische Modell Daten besser als exponentielles Wachstum, und wie bestimmt man die Kapazitätsgrenze? Einstieg: Wachstumsmodelle, Pierre-François Verhulst.
• Die Zahl e (Niveau 1): Wie entsteht die Zahl e aus stetiger Verzinsung, und warum ist e die natürliche Basis der Exponentialfunktion? Einstieg: Exponentialfunktion, Eulers Identität.
• Fourier-Reihen (Niveau 3): Wie lässt sich eine Rechteckschwingung aus Sinuskurven zusammensetzen, und wie schnell nähert sich die Summe an? Einstieg: Joseph Fourier, Sinusfunktion.
• Unendliche Reihen (Niveau 1): Wann hat eine Summe aus unendlich vielen Zahlen einen endlichen Wert, und was folgt daraus für 0,999…? Einstieg: Folgen und Grenzwerte, Null Komma Periode Neun.
• Achilles und die Schildkröte (Niveau 1): Welche Mathematik löst das Paradoxon von Zenon, und wo liegt die Täuschung? Einstieg: Zenon von Elea, Folgen und Grenzwerte.

Stochastik: 12 Themen

Bei Stochastik-Themen für die Facharbeit entsteht der Eigenanteil oft aus einer Simulation: Du spielst ein Zufallsexperiment per Programm tausendfach durch und vergleichst das Ergebnis mit der Rechnung.

• Ziegenproblem (Niveau 1): Warum gewinnt, wer wechselt, in zwei von drei Fällen, und bestätigt eine Simulation mit 10.000 Runden dieses Ergebnis? Einstieg: Ziegenproblem, Bedingte Wahrscheinlichkeit. Buch: Gero von Randow, Das Ziegenproblem (Rowohlt).
• Geburtstagsparadoxon (Niveau 1): Ab wie vielen Personen ist ein gemeinsamer Geburtstag wahrscheinlicher als keiner, und wie gut stimmt das für die Jahrgangsstufen deiner Schule? Einstieg: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kombinatorik.
• Gesetz der großen Zahlen (Niveau 2): Wie schnell stabilisiert sich die relative Häufigkeit beim Münzwurf, und wie viele Würfe braucht man für eine Genauigkeit von einem Prozentpunkt? Einstieg: Zufallsexperimente simulieren.
• Benfords Gesetz (Niveau 2): Warum beginnen so viele Zahlen mit einer 1, und taugt das Gesetz zum Erkennen gefälschter Daten? Einstieg: Benfords Gesetz.
• Fairness von Glücksspielen (Niveau 1): Wie hoch ist der Erwartungswert bei Roulette und Lotto, und welche Wetten kosten im Mittel am meisten? Einstieg: Zufallsgrößen, Kombinatorik. Buch: Jörg Bewersdorff, Glück, Logik und Bluff (Springer).
• Hypothesentest am Würfel (Niveau 2): Wie viele Würfe braucht man, um einen gezinkten Würfel bei 5 % Irrtumswahrscheinlichkeit zu erkennen? Einstieg: Hypothesentest.
• Binomialverteilung und Wirklichkeit (Niveau 2): Wie gut beschreibt die Binomialverteilung die Zahl der Fehlenden in einer Klasse oder die Trefferzahl beim Basketball? Einstieg: Binomialverteilung.
• Normalverteilung (Niveau 3): Warum sind Körpergrößen näherungsweise normalverteilt, und was sagt der zentrale Grenzwertsatz? Einstieg: Normalverteilung.
• Markow-Ketten (Niveau 2): Wie sagt eine Übergangsmatrix das Wetter oder das Wechselverhalten von Kunden voraus, und was ist ein stationärer Zustand? Einstieg: Übergangsmatrizen und Markow-Ketten.
• Umfragen und Konfidenzintervalle (Niveau 2): Wie sicher sind Umfrageergebnisse, und wie groß muss die Stichprobe sein? Einstieg: Konfidenzintervalle.
• Simpson-Paradoxon (Niveau 2): Wie kann ein Trend in jeder Teilgruppe gelten und im Gesamtbild umkippen? Einstieg: Bedingte Wahrscheinlichkeit, Statistik.
• Pascal und Fermat (Niveau 1): Wie lösten Pascal und Fermat das Problem des abgebrochenen Spiels, und war das die Geburt der Wahrscheinlichkeitsrechnung? Einstieg: Blaise Pascal, Pierre de Fermat, Das unterbrochene Spiel.

Geometrie: 10 Themen

• Goldener Schnitt (Niveau 1): Welche Behauptungen über den Goldenen Schnitt in Kunst und Natur halten einer Nachmessung stand? Einstieg: Goldener Schnitt: Mythos, Goldener Schnitt (Rechnung), Fibonacci.
• Fraktale (Niveau 2): Welche Dimension haben die Koch-Kurve und das Sierpinski-Dreieck, und was bedeutet eine nicht ganzzahlige Dimension? Einstieg: Fraktale, Benoît Mandelbrot.
• Platonische Körper (Niveau 2): Warum gibt es genau fünf regelmäßige Körper, und wie folgt das aus dem Eulerschen Polyedersatz? Einstieg: Formen und Körper, Euklid, Leonhard Euler.
• Kegelschnitte (Niveau 2): Wie entstehen Ellipse, Parabel und Hyperbel als Schnitte eines Kegels, und warum bündelt ein Parabolspiegel Licht? Einstieg: Kegelschnitte, Apollonios von Perge.
• Parkettierungen (Niveau 2): Welche regelmäßigen Vielecke füllen die Ebene lückenlos, und welche Symmetrien nutzte Escher? Einstieg: Symmetrie, Kongruenzabbildungen.
• Geometrie auf der Kugel (Niveau 2): Wie groß ist die Winkelsumme eines Dreiecks auf der Kugel, und was ändert sich ohne das Parallelenaxiom? Einstieg: Bolyai und Lobatschewski, Euklid, Kugel.
• Höhenmessung mit Strahlensätzen (Niveau 1): Wie genau lässt sich die Höhe eines Baumes oder die Breite eines Flusses mit Schulmitteln bestimmen, und wo liegen die Fehlerquellen? Einstieg: Strahlensätze, Thales von Milet.
• Beweise zum Satz des Pythagoras (Niveau 1): Wie unterscheiden sich drei Beweise des Satzes des Pythagoras in Idee und Aufwand? Einstieg: Satz des Pythagoras, Der Satz des Pythagoras im Beweis.
• Konstruierbarkeit (Niveau 3): Warum lässt sich mit Zirkel und Lineal ein Winkel nicht beliebig in drei gleiche Teile teilen und der Würfel nicht verdoppeln? Einstieg: Geometrische Konstruktionen, Euklid.
• Raytracing (Niveau 2): Wie berechnet ein Computer, ob ein Lichtstrahl eine Kugel oder eine Ebene trifft? Einstieg: Geraden im Raum, Ebenen im Raum, Kreise und Kugeln.

Zahlentheorie: 11 Themen

• RSA-Verschlüsselung (Niveau 2): Wie funktioniert RSA mit kleinen Primzahlen, und warum hängt die Sicherheit am Zerlegen großer Zahlen in Primfaktoren? Einstieg: Kryptologie, Primzahlen und Verschlüsselung. Buch: Simon Singh, Geheime Botschaften (Hanser).
• Primzahlsiebe (Niveau 1): Wie schnell ist das Sieb des Eratosthenes im Vergleich zur Probedivision, und wie verteilen sich die Primzahlen? Einstieg: Primzahlen, Teiler und ggT, Eratosthenes. Buch: Marcus du Sautoy, Die Musik der Primzahlen (C.H. Beck).
• Mersenne-Primzahlen (Niveau 2): Warum sind die größten bekannten Primzahlen meist Mersenne-Primzahlen der Form 2^p − 1? Einstieg: Marin Mersenne, Primzahlen.
• Kleiner Satz von Fermat (Niveau 3): Wie hilft der kleine Satz von Fermat beim Primzahltest, und was sind Pseudoprimzahlen? Einstieg: Kleiner Satz von Fermat, Pierre de Fermat.
• Teilbarkeitsregeln (Niveau 1): Warum funktioniert die Quersummenregel, und wie findet man eine Regel für die Teilbarkeit durch 7 oder 11? Einstieg: Teilbarkeitsregeln, Primzahlen.
• Pythagoreische Tripel (Niveau 2): Wie lassen sich alle ganzzahligen rechtwinkligen Dreiecke systematisch erzeugen? Einstieg: Satz des Pythagoras, Diophant.
• Goldbachsche Vermutung (Niveau 2): Was ist über die Goldbachsche Vermutung bewiesen, und wie prüft man sie am Computer? Einstieg: Christian Goldbach, Ungelöste Probleme.
• Collatz-Vermutung (Niveau 1): Was passiert mit Startzahlen im Collatz-Verfahren, und welche Muster lassen sich beweisen? Einstieg: Ungelöste Probleme einfach erklärt.
• Kettenbrüche (Niveau 3): Wie nähern Kettenbrüche irrationale Zahlen an, und warum verhält sich der Goldene Schnitt dabei besonders? Einstieg: Fibonacci, Wurzeln und reelle Zahlen.
• Der große Satz von Fermat (Niveau 3): Welche Gebiete der Mathematik entstanden auf dem Weg zum Beweis, und was hat Wiles bewiesen? Einstieg: Pierre de Fermat, Andrew Wiles. Buch: Simon Singh, Fermats letzter Satz (Hanser).
• Prüfziffern (Niveau 2): Wie erkennen ISBN, IBAN und EAN-Codes mit Resten Tippfehler, und welche Fehler übersehen sie? Einstieg: Prüfziffern.

Algebra und lineare Algebra: 10 Themen

• Gauß-Verfahren (Niveau 2): Wie viele Rechenschritte braucht das Gauß-Verfahren für n Gleichungen, und wo gerät es an Grenzen? Einstieg: Gauß-Verfahren, Lineare Gleichungssysteme.
• Matrizen in der Computergrafik (Niveau 2): Wie drehen, spiegeln und strecken Matrizen ein Bild oder ein Vieleck? Einstieg: Matrizen.
• PageRank (Niveau 3): Wie ordnet der PageRank-Algorithmus Webseiten mithilfe einer Übergangsmatrix? Einstieg: Übergangsmatrizen, Eigenwerte und Eigenvektoren.
• Mandelbrot- und Julia-Mengen (Niveau 2): Wie entstehen Mandelbrot-Menge und Julia-Mengen aus der Iteration z → z² + c? Einstieg: Komplexe Zahlen, Benoît Mandelbrot, Gaston Julia.
• Kubische Gleichungen (Niveau 3): Wie fanden Tartaglia und Cardano die Lösungsformel für Gleichungen dritten Grades, und warum tauchen dabei komplexe Zahlen auf? Einstieg: Tartaglia, Cardano und Ferrari, Kubische Gleichungen.
• Symmetriegruppen (Niveau 3): Welche Symmetrien hat ein Quadrat, und wie bilden sie zusammen eine Gruppe? Einstieg: Gruppentheorie, Symmetrie.
• Galois und die Gleichung fünften Grades (Niveau 3): Warum gibt es keine allgemeine Lösungsformel für Gleichungen fünften Grades? Einstieg: Évariste Galois, Niels Henrik Abel. Buch: Jörg Bewersdorff, Algebra für Einsteiger (Springer Spektrum).
• Lineare Optimierung (Niveau 1): Wie plant ein Betrieb mit Nebenbedingungen den größten Gewinn, und was leistet die grafische Lösung? Einstieg: Lineare Optimierung.
• Interpolation (Niveau 2): Wie bestimmt man das Polynom, das durch n Punkte geht, und warum schwingen Polynome hohen Grades zwischen den Punkten? Einstieg: Polynome, Joseph-Louis Lagrange, Steckbriefaufgaben.
• Vollständige Induktion (Niveau 2): Wie beweist man Summenformeln durch Induktion, und wo steckt der Fehler in falschen Induktionsbeweisen? Einstieg: Vollständige Induktion.

Angewandte Mathematik: 10 Themen

• Wurfbahnen (Niveau 2): Wie gut beschreibt eine Parabel einen Basketballwurf, und wie groß ist der Einfluss des Luftwiderstands? Einstieg: Quadratische Funktionen, Mathematisch modellieren.
• Bremsweg (Niveau 1): Wie hängt der Anhalteweg von der Geschwindigkeit ab, und was bedeutet das für Tempolimits? Einstieg: Quadratische Funktionen, Zeit-Weg-Diagramme.
• Epidemien (Niveau 3): Wie erklärt das SIR-Modell Infektionswellen, und was bedeutet die Reproduktionszahl? Einstieg: Differentialgleichungen, Wachstumsmodelle.
• Kredite (Niveau 2): Was kostet ein Ratenkredit wirklich, und wie berechnet man den effektiven Jahreszins? Einstieg: Zinsrechnung, Zinseszins.
• Regression (Niveau 2): Wie gut sagt eine Regressionsgerade die Schuhgröße aus der Körpergröße voraus, und wann täuscht eine hohe Korrelation? Einstieg: Lineare Regression, Statistik.
• Kürzeste Wege (Niveau 2): Wie findet ein Navigationsgerät mit dem Dijkstra-Algorithmus den kürzesten Weg? Einstieg: Graphentheorie, Kürzeste-Wege-Rechner.
• Verschlüsselungen knacken (Niveau 2): Wie knackt man Caesar- und Vigenère-Verschlüsselung mit einer Häufigkeitsanalyse? Einstieg: Kryptologie, Alan Turing. Buch: Simon Singh, Geheime Botschaften (Hanser).
• Musik und Mathematik (Niveau 2): Welche Frequenzverhältnisse liegen Oktave, Quinte und Quarte zugrunde, und warum geht die reine Stimmung nicht auf? Einstieg: Sinusfunktion, Verhältnisse und Proportionalität, Pythagoras.
• Abwurfwinkel im Sport (Niveau 2): Welcher Abwurfwinkel ist beim Kugelstoßen optimal, und warum liegt er unter 45°? Einstieg: Quadratische Funktionen, Trigonometrie.
• Solaranlage auf dem Schuldach (Niveau 1): Nach wie vielen Jahren amortisiert sich eine Solaranlage, und wie stark hängt das vom Strompreis und vom Zins ab? Einstieg: Zinsrechnung, Mathematisch modellieren.

Geschichte der Mathematik: 11 Themen

Geschichtsthemen sind in Mathe besonders gut machbar, wenn du die Rechnung der Zeit selbst nachvollziehst. Eine reine Lebensbeschreibung reicht nicht für eine Mathe-Facharbeit.

• Ägyptische Brüche (Niveau 2): Warum schrieben die Ägypter fast alle Brüche als Summe von Stammbrüchen, und wie lässt sich 2/n zerlegen? Einstieg: Stammbrüche, Ägyptische Multiplikation.
• Babylonische Wurzelnäherung (Niveau 2): Wie genau war die babylonische Näherung für √2 auf der Tafel YBC 7289, und wie funktioniert das Verfahren? Einstieg: Babylonische Mathematik, Babylonisches Wurzelziehen.
• Euklids Elemente (Niveau 2): Wie baut Euklid die Geometrie aus wenigen Axiomen auf, und was ist am Parallelenaxiom besonders? Einstieg: Euklid.
• Archimedes und die Kreiszahl (Niveau 2): Wie grenzte Archimedes die Zahl π ein, ohne Integralrechnung zu kennen? Einstieg: Archimedes, Archimedes und die Kreiszahl.
• Al-Chwarizmi (Niveau 1): Was haben die Wörter Algebra und Algorithmus mit al-Chwarizmi zu tun? Einstieg: Muhammad al-Chwarizmi, Mathematik der islamischen Welt.
• René Descartes (Niveau 2): Wie verband Descartes Algebra und Geometrie, und welche Aufgaben wurden dadurch lösbar? Einstieg: René Descartes.
• Newton gegen Leibniz (Niveau 2): Wer erfand die Differentialrechnung, und wie unterscheiden sich die Schreibweisen? Einstieg: Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz.
• Das Basler Problem (Niveau 3): Wie fand Euler den Wert der Summe der Kehrwerte aller Quadratzahlen, und wie prüfst du sein Ergebnis numerisch? Einstieg: Leonhard Euler.
• Frauen in der Mathematik (Niveau 1): Welche Hürden trafen Hypatia, Sophie Germain und Emmy Noether, und wie wirkten ihre Ergebnisse? Einstieg: Frauen in der Mathematik, Emmy Noether, Hypatia, Sophie Germain.
• Hilberts Probleme (Niveau 3): Welche der 23 Probleme von 1900 sind gelöst, und was zeigt das über die Mathematik des 20. Jahrhunderts? Einstieg: David Hilbert, Millennium-Probleme.
• Rechenhilfsmittel (Niveau 1): Wie arbeiteten Rechenbrett, Rechenschieber und mechanische Rechenmaschinen, und warum wurden sie abgelöst? Einstieg: John Napier, Blaise Pascal, Leibniz, Adam Ries.

Themen für die Q1 und die Oberstufe: leichte Einstiege

In der Q1 hast du meist wenig Vorwissen und wenig Zeit. Diese Themen mit Niveau 1 lassen sich mit dem Stoff der Oberstufe bearbeiten:

• Optimale Dose (Extremwertaufgaben mit Messung)
• Die Zahl e und Unendliche Reihen (Folgen und Grenzwerte)
• Ziegenproblem, Geburtstagsparadoxon und Glücksspiele (Stochastik mit Simulation)
• Goldener Schnitt, Höhenmessung und Beweise zum Satz des Pythagoras (Geometrie)
• Primzahlsiebe und Teilbarkeitsregeln (Zahlentheorie)
• Lineare Optimierung, Bremsweg und Kredite (Anwendungen)
• Al-Chwarizmi, Frauen in der Mathematik und Rechenhilfsmittel (Geschichte)

Eine Faustregel für die Wahl: Nimm ein Thema, bei dem du etwas selbst ausrechnen, messen oder simulieren kannst. Dort entsteht der Eigenanteil, den Lehrkräfte sehen wollen, und du schreibst keine Zusammenfassung von Büchern.

So grenzt du ein Thema für die Mathe-Facharbeit ein

Aus einem Gebiet wird in vier Schritten eine Leitfrage:

1. Gebiet wählen: Nimm das, was dich wirklich interessiert und das du in Grundzügen kennst.
2. Thema bestimmen: Ein Thema ist ein Teil des Gebiets, den es in der Fachliteratur gibt, zum Beispiel „Kryptografie“ im Gebiet Zahlentheorie.
3. Teilaspekt festlegen: Entscheide, welchen Ausschnitt du bearbeitest, etwa das RSA-Verfahren statt aller Verschlüsselungsverfahren.
4. Leitfrage formulieren: Eine Frage, die du mit Rechnung, Beweis, Messung oder Simulation beantworten kannst und die nicht mit Ja oder Nein endet.

• Zu weit: Primzahlen. Eingegrenzt: Primzahlen in der Verschlüsselung. Leitfrage: Wie funktioniert RSA mit kleinen Primzahlen, und warum ist das Zerlegen großer Zahlen schwer?
• Zu weit: Wahrscheinlichkeit. Eingegrenzt: Wahrscheinlichkeiten, die täuschen. Leitfrage: Warum gewinnt beim Ziegenproblem, wer wechselt, und wie bestätigt eine Simulation das?
• Zu weit: Funktionen. Eingegrenzt: Wachstumsmodelle. Leitfrage: Wann passt ein logistisches Modell besser zu Daten als exponentielles Wachstum?

Prüfe deine Leitfrage an fünf Punkten:

• Umfang: Lässt sie sich in deiner Seitenzahl beantworten?
• Mathematik: Brauchst du Rechnung, Beweis oder Modell, und geht die Arbeit über eine Beschreibung hinaus?
• Quellen: Gibt es mindestens drei Quellen, die du verstehst?
• Eigenanteil: Kannst du selbst etwas rechnen, messen, beweisen oder simulieren?
• Freigabe: Hat deine Lehrkraft das Thema bestätigt?

Facharbeit Mathe Beispiel: zwei Gliederungen zum Übertragen

Die Grundstruktur ist überall ähnlich: Einleitung mit Leitfrage, Hauptteil, Schluss, Literaturverzeichnis, Anhang. Im Hauptteil trennst du, was bekannt ist (Grundlagen) von dem, was du selbst gemacht hast (Rechnung, Messung, Simulation). Hier zwei vollständige Beispiele, die du auf dein Thema übertragen kannst.

Beispiel 1: Facharbeit Goldener Schnitt (Mythos und Mathematik)

Leitfrage: Welche Behauptungen über den Goldenen Schnitt in Kunst und Natur halten einer Nachmessung stand? Die Seitenzahlen sind Richtwerte für eine Arbeit mit etwa 11 Seiten.

1. Einleitung und Leitfrage (1 Seite): Wo wird der Goldene Schnitt behauptet? Warum ist die Frage interessant?
2. Mathematische Grundlagen (2 Seiten): Definition des Verhältnisses, Berechnung des Wertes (1 + √5) : 2 ≈ 1,618, Konstruktion mit Zirkel und Lineal.
3. Goldener Schnitt und Fibonacci-Folge (2 Seiten): Die Quotienten 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 ≈ 1,615 und 34/21 ≈ 1,619 nähern sich dem Wert an. Begründung des Grenzwerts.
4. Behauptungen prüfen (4 Seiten): Auswahl von drei Behauptungen (zum Beispiel Körperproportionen, Pflanzenblätter, ein Gebäude), Messmethode, eigene Messreihe mit Messfehler.
5. Auswertung und Fehlerdiskussion (1,5 Seiten): Abweichungen in Prozent, mögliche Ursachen, Aussagekraft.
6. Schluss (0,5 Seiten): Antwort auf die Leitfrage, offene Punkte.
7. Literaturverzeichnis und Anhang (Messtabellen, Selbstständigkeitserklärung).

Als Hintergrund: Goldener Schnitt: Mythos trennt belegte Aussagen von Legenden, die Rechnung steht bei Goldener Schnitt, und die Folge erklärt Fibonacci.

Beispiel 2: Facharbeit Ziegenproblem (Beweis und Simulation)

Leitfrage: Warum gewinnt, wer wechselt, in zwei von drei Fällen, und bestätigt eine Simulation das Ergebnis?

1. Einleitung: Das Problem, seine Geschichte und die Aufregung, die es auslöste.
2. Spielregeln und Annahmen: Was der Moderator weiß, warum die Regeln für das Ergebnis wichtig sind.
3. Berechnung mit dem Baumdiagramm: Die Wahrscheinlichkeit, mit Wechseln zu gewinnen, ist 2/3, ohne Wechseln 1/3. Begründung über die Pfadregeln (Bedingte Wahrscheinlichkeit).
4. Simulation: Ein Programm in Python oder eine Tabellenkalkulation spielt 10.000 Runden. Auswertung der relativen Häufigkeiten, Schwankungen bei kleinen Zahlen.
5. Varianten: Vier Türen, ein unwissender Moderator, mehr Türen. Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten?
6. Schluss und Reflexion: Warum täuscht uns die Intuition? Eine Simulation ersetzt keinen Beweis, stützt aber das Ergebnis.
7. Literaturverzeichnis und Anhang mit Programmcode.

Formalia der Mathe-Facharbeit: was meist verlangt wird

Umfang, Schriftbild und Abgabe legt jede Schule selbst fest, und die Bundesländer regeln die Facharbeit sehr unterschiedlich. Die Wikipedia-Übersicht zur Facharbeit nennt zum Beispiel für Hamburg 5 bis 10 Seiten, für Niedersachsen höchstens 15 Textseiten und für Rheinland-Pfalz 10 bis 12 Seiten ohne Anhang. Die Spannweite zeigt, wie wichtig deine Schulvorgabe ist. Allgemein gehören zu fast jeder Facharbeit diese Bestandteile:

• Deckblatt mit Schule, Kurs, Thema, Name, Betreuung und Datum.
• Inhaltsverzeichnis mit Seitenzahlen.
• Einleitung mit Leitfrage und Gang der Arbeit.
• Hauptteil mit Grundlagen und eigenem Teil.
• Schluss, der die Leitfrage beantwortet.
• Literaturverzeichnis mit allen verwendeten Quellen, einheitlich formatiert.
• Anhang mit Messreihen, Programmcode und Zusatzrechnungen.
• Selbstständigkeitserklärung, wenn deine Schule sie verlangt.

In Mathe gelten dazu eigene Regeln, die dir in der Bewertung helfen:

• Sätze, Definitionen und Beweise kennzeichnen. Schreibe „Definition“, „Satz“ oder „Beweis“ davor und beende einen Beweis erkennbar.
• Formeln mit Formeleditor setzen (Word, LibreOffice, LaTeX) und die wichtigen nummerieren, damit du auf sie verweisen kannst.
• Variablen erklären, sobald sie zum ersten Mal vorkommen.
• Rechenwege nachvollziehbar machen: Zwischenschritte zeigen, lange Rechnungen in den Anhang.
• Abbildungen und Tabellen nummerieren, beschriften und mit Quelle versehen, auch eigene.
• Zitieren: Übernimmst du Gedanken, Zahlen oder Bilder, nenne die Quelle genau. Welcher Zitierstil gilt (Fußnoten oder Kurzbeleg im Text), sagt deine Schule.

Zum sauberen Formulieren mathematischer Gedanken gibt es ein eigenes Buch: Albrecht Beutelspacher, Das ist o.B.d.A. trivial! (Springer Vieweg). Zur Anerkennung für das Abitur: Nach der KMK-Vereinbarung zur Oberstufe können die Länder vorsehen, dass eine Facharbeit in die Gesamtqualifikation eingeht, in Block I mit bis zu 30 Punkten. Das Nähere regeln die Länder (Quelle unten).

Bewertung: worauf es bei der Mathe-Facharbeit ankommt

Die genauen Kriterien kennt nur deine Schule. Bewertungsbögen sehen aber oft ähnlich aus. Als Beispiel dient der Bewertungsbogen für Mathematik-Facharbeiten eines Gymnasiums (Joseph-König-Gymnasium, Stand Januar 2016): Er teilt 100 Punkte auf in Formalien (15 Punkte), Inhalt (80 Punkte) und Sprache (5 Punkte). Zum Inhalt zählen unter anderem eine logische Gliederung, die klare Herausarbeitung von Schwerpunkten, genaue Erklärungen mit Fachsprache, eigene Schlussfolgerungen und ein Schluss, der die wichtigsten Ergebnisse auf den Punkt bringt.

Übertragen auf deine Arbeit heißt das: Der größte Teil der Note hängt an der Mathematik, nicht am Layout. Fehlerfreie Formeln, richtige Begriffe und ein nachvollziehbarer Gedankengang zählen mehr als hübsche Seiten.

Hast du eine besonders gute Arbeit, lohnt sich auch ein Blick auf andere Wettbewerbe. Beim Wettbewerb Jugend forscht ist „Mathematik/Informatik“ eines von sieben Fachgebieten, teilnehmen können Jugendliche ab der 4. Klasse bis 21 Jahre. Der Bundeswettbewerb Mathematik besteht aus zwei Hausaufgabenrunden mit je vier Aufgaben und einem Kolloquium in der dritten Runde.

Typische Fehler in der Mathe-Facharbeit

• Thema zu weit: „Primzahlen“ füllt Bücher. Mit einer Leitfrage wird daraus eine Arbeit.
• Keine Leitfrage oder keine Antwort darauf: Der Schluss muss die Frage aus der Einleitung beantworten.
• Nur Wikipedia als Quelle: Nutze es als Einstieg und suche dann Bücher, Fachseiten und Originalquellen.
• Formeln ohne Erklärung: Jede Variable und jeder Schritt braucht ein Wort dazu.
• Zwischenschritte fehlen: Wenn ein Leser nicht nachrechnen kann, zählt die Rechnung kaum.
• Simulation als Beweis ausgeben: Eine Simulation liefert Hinweise, einen Beweis ersetzt sie nicht.
• Abbildungen ohne Beschriftung und Quelle: Jede Grafik braucht Nummer, Titel und Herkunft.
• Zu eng bei der Vorlage geblieben: Formuliere nach dem Lesen aus dem Kopf und gib die Quelle an. Übernommene Passagen sind zu kennzeichnen.
• Zu spät angefangen: Die letzte Woche gehört dem Korrekturlesen, nicht dem Schreiben.

Arbeitsplan für zwölf Wochen

Literatur und Werkzeuge

• Einstieg: Die Lernseiten und Biografien auf dieser Website nennen am Ende der meisten Seiten weiterführende Quellen. Die Seite zu den Mathematikern und die Epochenseiten, zum Beispiel Mathematik des 17. Jahrhunderts, helfen bei Geschichtsthemen.
• Bücher: Stadtbibliothek, Schulbibliothek und Universitätsbibliothek. Viele Universitäten leihen auch an Schülerinnen und Schüler aus.
• Fachartikel: MacTutor History of Mathematics für Geschichte (englisch) und die Mathematik-Seiten von Spektrum der Wissenschaft für verständliche Artikel.
• Werkzeuge: GeoGebra für Zeichnungen und Funktionen, eine Tabellenkalkulation oder Python für Simulationen, die Rechner dieser Website zum Nachrechnen. Hinweise zu GTR, CAS und GeoGebra stehen unter GTR, CAS und GeoGebra.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Kultusministerkonferenz: Vereinbarung zur Gestaltung der gymnasialen Oberstufe und der Abiturprüfung (Beschluss vom 07.07.1972 in der Fassung vom 06.06.2024), Ziffern 7.7 und 9.5.5 zu Facharbeit und besonderer Lernleistung
• Wikipedia: Facharbeit (Übersicht zu den Ländern, Stand der Übersicht beachten)
• Joseph-König-Gymnasium: Bewertungsbogen Facharbeit Mathematik (Stand Januar 2016)
• Universität Göttingen: Dr. Hans Riegel-Fachpreise
• TU Dresden: Dr. Hans Riegel-Fachpreis
• Jugend forscht
• Bundeswettbewerb Mathematik
• Albrecht Beutelspacher: Das ist o.B.d.A. trivial! Tipps und Tricks zur Formulierung mathematischer Gedanken, Springer Vieweg.
• Gero von Randow: Das Ziegenproblem. Denken in Wahrscheinlichkeiten, Rowohlt Taschenbuch.
• Jörg Bewersdorff: Glück, Logik und Bluff. Mathematik im Spiel, Springer.
• Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger. Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie, Springer Spektrum.
• Simon Singh: Geheime Botschaften. Die Kunst der Verschlüsselung von der Antike bis in die Zeiten des Internet, Hanser, München 2000.
• Simon Singh: Fermats letzter Satz. Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels, Hanser, München 1998.
• Marcus du Sautoy: Die Musik der Primzahlen. Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik, C.H. Beck, München 2004.