Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $A$ eintritt, wenn du schon weißt, dass das Ereignis $B$ eingetreten ist. Das Wissen über $B$ verändert die Chance für $A$. Man liest „$P$ von $A$ unter der Bedingung $B$“.

Diese Seite geht tiefer als der Überblick in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Du lernst Vierfeldertafel, Baumdiagramme und den Satz von Bayes anhand eines medizinischen Tests mit anderen Zahlen. Zum Rechnen helfen der Vierfeldertafel-Rechner und der Baumdiagramm-Rechner, zum Üben die Arbeitsblätter Bedingte Wahrscheinlichkeit und Baumdiagramm.

Die Idee: Vorwissen verändert die Chance

Ein Würfel wird einmal geworfen. Die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs ist $P(A)=\frac{1}{6}$. Jetzt sagt dir jemand: „Die Zahl ist gerade“ (Ereignis $B$). Es kommen nur noch 2, 4 und 6 infrage, und die Sechs ist eine davon. Die Wahrscheinlichkeit steigt auf $P(A|B)=\frac{1}{3}$.

Im Würfelbeispiel ist $P(A\cap B)=\frac{1}{6}$ (nur die Sechs ist sechs und gerade) und $P(B)=\frac{1}{2}$. Also gilt $P(A|B)=\frac{1/6}{1/2}=\frac{1}{3}$.

Umgestellt ergibt die Formel die allgemeine Produktregel $P(A\cap B)=P(B)·P(A|B)$. Das ist die Pfadregel für das Baumdiagramm: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfads ist das Produkt der Zahlen an den Ästen, und die Zahl am zweiten Ast ist bedingt auf den ersten.

Die Vierfeldertafel

Zwei Merkmale mit je zwei Ausprägungen (zum Beispiel „Streaming-Abo ja/nein“ und „unter/über 30“) ordnest du in einer Vierfeldertafel. Vier innere Felder zeigen alle Kombinationen, am Rand stehen die Summen.

Teilst du alle Zahlen durch 500, erhältst du die Wahrscheinlichkeiten. Bedingte Wahrscheinlichkeiten liest du an einer Zeile oder Spalte ab:

• $P(\text{Abo}|\text{unter 30})=\frac{180}{200}=\mathrm{0,9}$. Von den unter 30-Jährigen haben 90 % ein Abo.
• $P(\text{Abo}|\text{über 30})=\frac{120}{300}=\mathrm{0,4}$.
• $P(\text{unter 30}|\text{Abo})=\frac{180}{300}=\mathrm{0,6}$. Von den Abo-Nutzern sind 60 % unter 30.

Die beiden Wahrscheinlichkeiten $P(\text{Abo}|\text{unter 30})=\mathrm{0,9}$ und $P(\text{unter 30}|\text{Abo})=\mathrm{0,6}$ unterscheiden sich. Die Bedingung steht in beiden Fällen anders.

Eine Vierfeldertafel ist ausfüllbar, sobald drei unabhängige Angaben bekannt sind. Dann ergeben sich die übrigen Felder aus „Zeilensumme = Summe der Felder“ und „Spaltensumme = Summe der Felder“. Der Vierfeldertafel-Rechner macht das automatisch.

Hauptbeispiel: der medizinische Test

Eine Krankheit kommt bei 2 % der Bevölkerung vor (Prävalenz). Ein Test erkennt 98 % der Kranken (Sensitivität, also $P(\text{positiv}|\text{krank})=\mathrm{0,98}$) und meldet bei 99 % der Gesunden zu Recht „negativ“ (Spezifität, also $P(\text{negativ}|\text{gesund})=\mathrm{0,99}$). Du wirst positiv getestet. Wie wahrscheinlich bist du krank?

Am übersichtlichsten rechnest du mit 10.000 Personen:

So entsteht sie: 2 % von 10.000 sind 200 Kranke und damit 9800 Gesunde. Von den 200 Kranken sind 98 % positiv, das sind 196, und 4 negativ. Von den 9800 Gesunden sind 1 % fälschlich positiv, das sind 98, und 9702 negativ. Insgesamt sind $196+98=294$ Personen positiv, aber nur 196 von ihnen krank:

Dieser Wert heißt positiver Vorhersagewert. Obwohl der Test 98 % der Kranken erkennt, ist ein Positiver nur mit 66,7 % wirklich krank. Der negative Vorhersagewert ist dagegen $\frac{9702}{9706}\approx \mathrm{99,96}$ %: Ein negatives Ergebnis ist fast sicher richtig.

Das Baumdiagramm

Dieselben Zahlen zeigt ein Baumdiagramm. Die erste Stufe fragt nach der Krankheit, die zweite nach dem Testergebnis. Die Pfadwahrscheinlichkeiten sind $\mathrm{0,02}·\mathrm{0,98}=\mathrm{0,0196}$ für „krank und positiv“ und $\mathrm{0,98}·\mathrm{0,01}=\mathrm{0,0098}$ für „gesund und positiv“.

Das Baumdiagramm liefert $P(\text{positiv}|\text{krank})$, aber nicht die gesuchte Zahl $P(\text{krank}|\text{positiv})$. Dafür brauchst du die umgekehrte Reihenfolge.

Das umgekehrte Baumdiagramm

Im umgekehrten Baum steht erst das Testergebnis, dann die Krankheit. Die erste Stufe bekommst du aus der Tafel: $P(\text{positiv})=\frac{294}{10.000}=\mathrm{0,0294}$. An der zweiten Stufe stehen die bedingten Wahrscheinlichkeiten, die du suchst:

Der Ast „positiv, krank“ trägt die gesuchte Zahl $\frac{196}{294}\approx \mathrm{0,6667}$. Beide Bäume enthalten dieselben vier Pfade mit denselben Wahrscheinlichkeiten, nur die Reihenfolge der Stufen ist vertauscht.

Der Satz von Bayes

Das Umkehren von $P(B|A)$ in $P(A|B)$ erledigt eine Formel. Der Nenner wird dabei aus beiden Wegen zusammengesetzt, auf denen $B$ eintreten kann (Satz der totalen Wahrscheinlichkeit):

Das ist dieselbe Rechnung wie in der Tafel, nur mit Wahrscheinlichkeiten statt mit absoluten Zahlen. Auch beim Ziegenproblem hilft der Satz von Bayes: Nach dem Öffnen einer Ziegentür durch den Moderator ist das Auto mit Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{3}$ hinter der anderen Tür.

Der typische Denkfehler: die Basisrate vergessen

Viele schließen: „Der Test ist zu 98 % zuverlässig, also bin ich bei einem positiven Ergebnis zu 98 % krank.“ Das verwechselt $P(\text{positiv}|\text{krank})$ mit $P(\text{krank}|\text{positiv})$. Entscheidend ist die Basisrate, also wie häufig die Krankheit überhaupt ist. Ist sie niedrig, gibt es viele Gesunde und damit viele falsch positive Ergebnisse.

Derselbe Test gibt also je nach Basisrate völlig verschiedene Sicherheit. Bei einem seltenen Leiden ist ein positives Ergebnis oft ein Fehlalarm, deshalb prüft man bei unauffälligen Personen nachträglich mit einem zweiten, anderen Test. Das hilft auch Ärztinnen und Ärzten: Rechnen mit absoluten Zahlen („10.000 Personen“) macht den Denkfehler sichtbar. Ähnlich ist der Fehlschluss vor Gericht: „Die Wahrscheinlichkeit für diese Spur bei einem Unschuldigen ist winzig“ heißt nicht, dass ein Verdächtiger mit dieser Spur wahrscheinlich schuldig ist.

Stochastische Unabhängigkeit prüfen

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Wissen über das eine die Chance für das andere nicht verändert. Dann gilt $P(A|B)=P(A)$, und gleichbedeutend $P(A\cap B)=P(A)·P(B)$. Du prüfst die Produktgleichung nach.

Im Streaming-Beispiel sind „Abo“ und „unter 30“ abhängig: $P(\text{Abo})=\mathrm{0,6}$, aber $P(\text{Abo}|\text{unter 30})=\mathrm{0,9}$. Und: Unabhängig ist nicht dasselbe wie unvereinbar. Zwei Ereignisse, die nie zugleich eintreten (Schnitt leer) und beide eine positive Wahrscheinlichkeit haben, sind sogar abhängig, denn aus dem einen folgt, dass das andere nicht eintritt.

Das Simpson-Paradox kurz

Bedingte Wahrscheinlichkeiten können täuschen, wenn man Gruppen zusammenwirft. Ein bekanntes Beispiel stammt aus einer Studie zur Behandlung von Nierensteinen (Charig und andere, 1986). Tabelle mit den Heilungserfolgen:

A ist in beiden Gruppen besser, aber im Gesamtergebnis ist B besser. Der Grund: A wurde viel häufiger bei den schwierigen großen Steinen eingesetzt (263 von 350), B meist bei den leichten kleinen (270 von 350). Die Steingröße ist ein verdeckter Faktor. Das Paradox heißt nach Edward Simpson, der es 1951 beschrieb, den Namen prägte Colin Blyth 1972. Es zeigt: Vor dem Zusammenfassen von Gruppen prüfen, wie sie gewichtet sind.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: von Bayes zu Laplace

Die Formel trägt den Namen von Thomas Bayes. Er beschäftigte sich mit der Frage, wie man aus beobachteten Ergebnissen auf eine unbekannte Wahrscheinlichkeit schließt. Sein Aufsatz erschien 1763 nach seinem Tod, herausgegeben von Richard Price. Pierre-Simon Laplace kam 1774 unabhängig auf denselben Gedanken, wusste offenbar nichts von Bayes’ Arbeit und stellte die Ergebnisse 1812 in seiner Théorie analytique des probabilités zusammen. Zur Zeit der Aufklärung wuchs die Wahrscheinlichkeitsrechnung zum eigenen Gebiet, mehr dazu im Beitrag zur Mathematik des 18. Jahrhunderts.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Bedingte Wahrscheinlichkeit
• Wikipedia: Satz von Bayes
• Wikipedia: Stochastische Unabhängigkeit
• Wikipedia: Simpson-Paradoxon
• Wikipedia: Bayes' theorem (englisch, Abschnitt History)
• Thomas Bayes: An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances, Philosophical Transactions 53, 1763.
• Gerd Gigerenzer: Das Einmaleins der Skepsis. Über den richtigen Umgang mit Zahlen und Risiken, Berlin Verlag, 2002.