Brahmagupta

Brahmagupta (598–nach 665) war ein indischer Astronom und Mathematiker, der als Erster ausdrücklich beschrieb, wie man mit der Null als Zahl und mit negativen Zahlen rechnet. Er lebte in Bhillamala im heutigen Rajasthan und verfasste dort 628 sein Hauptwerk, das Brāhmasphuṭasiddhānta. Das umfangreiche Lehrbuch in Versform behandelt vor allem die Berechnung von Planetenpositionen und Finsternissen, enthält aber auch zwei Kapitel reiner Mathematik.

Diese beiden Kapitel machen Brahmagupta zu einer Schlüsselfigur der indischen Mathematik. Neben den Regeln für Null und „Schulden“ stehen darin eine allgemeine Lösungsregel für quadratische Gleichungen, die nach ihm benannte Flächenformel für Vierecke im Kreis und ein Verfahren für Gleichungen vom Typ x² − Ny² = 1. Das geschah mehr als tausend Jahre, bevor Pierre de Fermat europäische Mathematiker mit genau solchen Aufgaben herausforderte. Über arabische Übersetzungen gelangten Brahmaguptas Methoden nach Bagdad und von dort später nach Europa.

Leben: ein Astronom aus Bhillamala

Über Brahmaguptas Leben ist wenig bekannt, doch eine wichtige Angabe stammt von ihm selbst: Er schreibt, er habe das Brāhmasphuṭasiddhānta im Jahr 550 der Śaka-Ära (628 n. Chr.) im Alter von 30 Jahren verfasst. Daraus ergibt sich das Geburtsjahr 598. Sein Vater hieß Jiṣṇugupta. Brahmagupta lebte in Bhillamala, dem heutigen Bhinmal im Süden Rajasthans, damals Hauptstadt eines Reiches unter König Vyāghramukha aus der Chāpa-Dynastie. Spätere Autoren nannten ihn deshalb Bhillamālācārya, „den Lehrer aus Bhillamala“.

Oft liest man, Brahmagupta habe das Observatorium von Ujjain geleitet, das wichtigste Zentrum der indischen Astronomie. Diese Angabe ist weit verbreitet, lässt sich aber aus seinen eigenen Schriften nicht belegen. Sicher ist, dass er in der Tradition der Astronomen stand, die ihre Berechnungen auf den Meridian von Ujjain bezogen, der in der indischen Astronomie als Nullmeridian diente. Sein zweites großes Werk, das Khaṇḍakhādyaka, schrieb Brahmagupta 665, also mit 67 Jahren. Danach verliert sich seine Spur; Todesjahr und -ort sind unbekannt.

Brahmagupta arbeitete gut hundert Jahre nach Aryabhata, dessen Lehrbuch Aryabhatiya er genau kannte und an vielen Stellen scharf kritisierte. Ein Zeitgenosse war Bhaskara I, der 629 einen Kommentar zum Aryabhatiya schrieb. Mathematik war für ihn vor allem ein Werkzeug der Kalender- und Himmelskunde, das er jedoch weit über den unmittelbaren Bedarf hinaus ausbaute.

Das Brāhmasphuṭasiddhānta (628)

Der Titel Brāhmasphuṭasiddhānta bedeutet etwa „das richtig gestellte Lehrsystem des Brahma“. Brahmagupta wollte die ältere Astronomie der Brahma-Schule überarbeiten und mit genaueren Werten versehen. Das Werk umfasst rund 1.000 Verse in 24 Kapiteln; manche Zählungen kommen auf 25. Die Verse sind knapp und zum Auswendiglernen gedacht. Erklärungen und Rechenbeispiele lieferten Lehrer und Kommentatoren, vor allem Pṛthūdakasvāmin im 9. Jahrhundert.

Der größte Teil des Buches behandelt Astronomie: mittlere und wahre Positionen der Planeten, Mond- und Sonnenfinsternisse, Auf- und Untergänge der Gestirne, die Sichtbarkeit der Mondsichel und astronomische Instrumente. Ein eigenes Kapitel prüft die Lehrbücher älterer Astronomen kritisch. Zwei Kapitel sind ganz der Mathematik gewidmet:

• Kapitel 12, Gaṇita („Rechnen“): Grundrechenarten, Brüche, Quadrat- und Kubikwurzeln, Dreisatz, Reihen sowie die Geometrie von Dreiecken, Vierecken und Kreisen.
• Kapitel 18, Kuṭṭaka (wörtlich „Zerstäuber“): Algebra, also Regeln für Null, positive und negative Zahlen, Gleichungen mit einer und mehreren Unbekannten sowie unbestimmte Gleichungen.

Zum Rechenkapitel gehören auch zwei Summenformeln, die bereits Aryabhata kannte und die Brahmagupta übernahm, nämlich für die Summe der ersten n Quadrat- und Kubikzahlen:

Für n = 10 liefern sie 385 und 3.025, was sich durch Nachrechnen leicht bestätigen lässt. Brahmaguptas Spätwerk, das Khaṇḍakhādyaka von 665, ist dagegen ein praktisches Handbuch (karaṇa) für Kalendermacher. Es folgt in vielen Punkten ausgerechnet dem System Aryabhatas, das Brahmagupta früher bekämpft hatte, und blieb wegen seiner Handlichkeit über Jahrhunderte im Gebrauch.

Die Null als Zahl: Brahmaguptas Rechenregeln

Ein Zeichen für eine „leere Stelle“ gab es lange vor Brahmagupta. Babylonische Schreiber setzten in der Spätzeit, etwa ab 300 v. Chr., ein Trennzeichen in ihre Sexagesimalzahlen (siehe babylonische Mathematik), die Maya verwendeten ein Nullzeichen in ihrer Kalenderrechnung, und in Indien schrieb Bhaskara I im Jahr 629 Zahlen im Stellenwertsystem mit einem kleinen Kreis für die Null. Ein Platzhalter ist aber noch keine Zahl: Er zeigt nur an, dass an einer Stelle nichts steht, etwa um 205 von 25 zu unterscheiden.

Brahmagupta ging einen entscheidenden Schritt weiter. Er behandelte die Null, auf Sanskrit śūnya („leer“), als Größe, die beim Rechnen entsteht (zum Beispiel, wenn man eine Zahl von sich selbst abzieht) und mit der man weiterrechnen kann. In den Versen 30 bis 35 des 18. Kapitels legte er dafür Regeln fest, zusammen mit den Regeln für positive Zahlen, die er „Vermögen“ (dhana) nannte, und negative Zahlen, die „Schulden“ (ṛṇa). Die Tabelle fasst sie zusammen; die rechte Spalte zeigt jeweils ein Beispiel in heutiger Schreibweise.

Fast alle Regeln stimmen mit der heutigen Arithmetik überein. Wer in der Schule lernt, warum „Minus mal Minus gleich Plus“ ergibt, wendet eine Regel an, die Brahmagupta als Erster schriftlich festhielt. Das Rechnen mit Vorzeichen wird auf unserer Lernseite zu negativen und ganzen Zahlen Schritt für Schritt erklärt.

Division durch Null: wo Brahmagupta scheiterte

Bei der Division durch Null stieß Brahmagupta an eine Grenze. Er setzte 0 : 0 = 0 und erklärte, eine positive oder negative Zahl geteilt durch Null sei „ein Bruch mit Null im Nenner“. Welchen Wert dieser Bruch hat, sagte er nicht. Die häufig zu lesende Behauptung, er habe 1 : 0 = 0 gelehrt, ist falsch: Den Wert Null nannte er nur für 0 : 0.

Seine Nachfolger rangen weiter mit dem Problem. Mahāvīra behauptete im 9. Jahrhundert, eine Zahl bleibe bei der Division durch Null unverändert. Bhaskara II erklärte um 1150, ein solcher Bruch sei eine unendliche Größe (khahara), die sich durch Hinzufügen oder Wegnehmen nicht ändere. Heute gilt die Division durch Null als nicht definiert: Gäbe es eine Zahl q = 1 : 0, müsste q · 0 = 1 sein, obwohl jede Zahl mal Null null ergibt. Für 0 : 0 käme dagegen jede Zahl in Frage.

Schulden und Vermögen: negative Zahlen

Ganz neu waren negative Größen zu Brahmaguptas Zeit nicht. In der chinesischen Mathematik rechnete man schon in den „Neun Kapiteln der Rechenkunst“ mit roten und schwarzen Rechenstäbchen für positive und negative Werte und kannte Regeln für deren Addition und Subtraktion. Die griechischen Mathematiker dagegen ließen negative Lösungen nicht zu. Brahmagupta war der Erste, der vollständige Regeln für alle vier Grundrechenarten mit positiven und negativen Zahlen und der Null aufschrieb und diese Größen in Gleichungen wie gewöhnliche Zahlen verwendete.

In Europa galten negative Lösungen noch im 16. Jahrhundert als „falsch“ oder „erfunden“; allgemein durchgesetzt haben sie sich erst im 17. und 18. Jahrhundert.

Algebra: Farben als Unbekannte und quadratische Gleichungen

Die indische Algebra schrieb Gleichungen nicht vollständig in Worten aus, sondern mit Abkürzungen. Die erste Unbekannte hieß yāvattāvat („so viel wie“), abgekürzt yā. Für weitere Unbekannte nutzte Brahmagupta Farbnamen (varṇa) wie kālaka („schwarz“) oder nīlaka („blau“), abgekürzt kā und nī. So ließen sich auch Gleichungen mit mehreren Unbekannten übersichtlich notieren. Das ist ein Gegenstück zu den Abkürzungen, die Diophant rund 400 Jahre früher in Alexandria verwendet hatte.

Für quadratische Gleichungen gab Brahmagupta eine allgemeine Regel in Worten (Kapitel 18, Vers 44). In heutiger Schreibweise lautet sie für die Gleichung ax² + bx = c:

Das ist im Kern die heutige Lösungsformel, bekannt als Mitternachtsformel; im folgenden Vers gab er eine gleichwertige zweite Fassung an. Weil Brahmagupta negative Zahlen zuließ, durften auch die Koeffizienten negativ sein. Setzt man etwa x² − 10x = −9 ein (a = 1, b = −10, c = −9), so ergibt sich √(−36 + 100) = √64 = 8 und damit x = (8 + 10) : 2 = 9. Die Probe stimmt: 81 − 90 = −9.

Die Regel liefert allerdings nur eine Lösung. Die zweite Lösung, x = 1, entsteht mit einem Minuszeichen vor der Wurzel, und davon ist bei Brahmagupta nicht die Rede. Die gelegentlich zu lesende Behauptung, er habe ausdrücklich zwei Lösungen samt einer negativen angegeben, lässt sich aus seinem Text nicht belegen. Klar ausgesprochen hat das erst Bhaskara II, der negative zweite Lösungen allerdings meist verwarf.

Ein weiteres Werkzeug ist der kuṭṭaka, der „Zerstäuber“, nach dem das 18. Kapitel benannt ist. Mit diesem auf Aryabhata zurückgehenden Verfahren findet man ganzzahlige Lösungen linearer Gleichungen wie ax − by = c, indem man die Koeffizienten schrittweise verkleinert, ähnlich wie beim euklidischen Algorithmus. Astronomen brauchten solche Lösungen, um Zeitpunkte zu finden, an denen mehrere Himmelszyklen gleichzeitig an einen Ausgangspunkt zurückkehren.

Die Pell-Gleichung und Brahmaguptas Bhāvanā

Brahmaguptas tiefste zahlentheoretische Entdeckung betrifft Gleichungen der Form

Gesucht sind ganzzahlige Lösungen x und y; N ist eine natürliche Zahl, die keine Quadratzahl ist. In Europa heißt diese Gleichung Pell-Gleichung. Der Name beruht auf einem Irrtum Leonhard Eulers, der sie dem englischen Mathematiker John Pell zuschrieb, obwohl dieser kaum etwas damit zu tun hatte. Solche Gleichungen sind tückisch, denn schon für kleine N kann die kleinste Lösung riesig sein.

Brahmaguptas Schlüssel war eine Rechenregel, die er bhāvanā („Zusammensetzung“) nannte. Er betrachtete Zahlentripel (x, y, k) mit x² − Ny² = k und zeigte, wie man aus zwei solchen Tripeln ein drittes gewinnt. Dahinter steht die Identität

Aus zwei Lösungen mit den „Zusätzen“ k₁ und k₂ wird so eine Lösung mit dem Zusatz k₁ · k₂. Damit lassen sich aus Näherungslösungen echte Lösungen bauen. Brahmagupta zeigte insbesondere: Hat man eine Lösung mit dem Zusatz −1, ±2 oder ±4 gefunden, kann man daraus stets eine Lösung mit dem Zusatz 1 herstellen.

Zu den Aufgaben mit N = 92 und N = 83 soll Brahmagupta bemerkt haben:

„Wer diese Aufgabe innerhalb eines Jahres löst, ist ein Mathematiker.“

Für N = 83 lautet die kleinste Lösung x = 82, y = 9. Eine allgemeine Methode, die für jedes N zum Ziel führt, fand erst Bhaskara II um 1150 mit dem zyklischen Chakravāla-Verfahren, das auf der Bhāvanā aufbaut. Er löste damit auch den berüchtigten Fall N = 61, dessen kleinste Lösung x = 1.766.319.049 und y = 226.153.980 lautet. Genau diese Gleichung stellte Fermat 1657 seinen Kollegen als Herausforderung. Den Beweis, dass jede Pell-Gleichung lösbar ist, lieferte Joseph-Louis Lagrange 1768.

Setzt man N = −1, wird die Bhāvanā zur Formel (a² + b²)(c² + d²) = (ac − bd)² + (ad + bc)²: Das Produkt zweier Summen von je zwei Quadraten ist wieder eine solche Summe. Diophant hatte diese Beziehung bereits benutzt, Leonardo von Pisa (Fibonacci) bewies sie 1225. Heute heißt sie Brahmagupta-Fibonacci-Identität.

Geometrie: die Brahmagupta-Formel für das Sehnenviereck

In der Geometrie ist Brahmaguptas Name mit einer eleganten Formel verbunden. Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, dessen vier Ecken auf einem Kreis liegen; Quadrate, Rechtecke und gleichschenklige Trapeze gehören dazu. Für ein Sehnenviereck mit den Seiten a, b, c und d und dem halben Umfang s gilt:

Brahmagupta formulierte die Regel in Vers 21 des 12. Kapitels. Dass das Viereck im Kreis liegen muss, sagt er nicht ausdrücklich, meinte aber offenbar solche Vierecke, denn nur für sie ist die Formel exakt. Für beliebige Vierecke braucht man zusätzlich die Winkel; die allgemeine Formel stellte Carl Anton Bretschneider erst 1842 auf. Setzt man d = 0, schrumpft das Viereck zu einem Dreieck, und es entsteht die Flächenformel des Heron von Alexandria.

Brahmagupta gab auch Formeln für die Längen der beiden Diagonalen e und f eines Sehnenvierecks an:

Für das Beispielviereck ergeben sie e = 65 und f = 56. Ihr Produkt 65 · 56 = 3.640 ist gleich ac + bd = 1.300 + 2.340. Das ist der Satz des Ptolemäus, der für jedes Sehnenviereck gilt.

Der Satz von Brahmagupta

Ein zweites Ergebnis trägt ebenfalls seinen Namen und beruht auf seinen Untersuchungen im 12. Kapitel. Stehen in einem Sehnenviereck die Diagonalen senkrecht aufeinander, so gilt: Die Gerade, die durch den Schnittpunkt der Diagonalen geht und auf einer Seite senkrecht steht, halbiert die gegenüberliegende Seite.

Für die Kreiszahl verwendete Brahmagupta zwei Werte: π ≈ 3 für das „praktische“ Rechnen und π ≈ √10 ≈ 3,162 als „genauen“ Wert. Letzterer weicht um weniger als ein Prozent vom wahren Wert 3,14159 ab, ist aber ungenauer als die Näherung 3,1416, die Aryabhata schon gut hundert Jahre früher angegeben hatte.

Brahmagupta als Astronom

Brahmagupta verstand sich in erster Linie als Astronom. Das Brāhmasphuṭasiddhānta lehrt, wie man aus der Zahl der seit einem festen Anfangszeitpunkt vergangenen Tage die Positionen von Sonne, Mond und Planeten berechnet, wie man Finsternisse vorhersagt und wann die schmale Mondsichel nach Neumond sichtbar wird. Für trigonometrische Rechnungen enthält es eine Sinustafel mit 24 Werten für den Viertelkreis in Schritten von 3¾ Grad, bezogen auf einen Kreisradius von 3.270 Einheiten.

Um Werte zwischen den Tabelleneinträgen zu bestimmen, gab Brahmagupta im Khaṇḍakhādyaka eine Interpolationsformel an, die nicht nur die benachbarte Differenz der Tafelwerte nutzt, sondern auch deren Änderung (die „zweite Differenz“). Sie ist ein früher Spezialfall der Interpolationsformeln, die in Europa erst im 17. und 18. Jahrhundert mit den Namen Newton und Stirling verbunden wurden.

Inhaltlich vertrat Brahmagupta ein Weltbild mit kugelförmiger, ruhender Erde. Er erklärte die Mondphasen aus der wechselnden Stellung von Sonne und Mond und wusste, dass der Mond der Erde näher ist als die Sonne. Aryabhatas Idee einer sich drehenden Erde lehnte er ab. Die Länge des Sternjahres gab er im Brāhmasphuṭasiddhānta mit 365 Tagen, 6 Stunden, 5 Minuten und 19 Sekunden an, im Khaṇḍakhādyaka mit 365 Tagen, 6 Stunden, 12 Minuten und 36 Sekunden; der heutige Wert liegt dazwischen, bei rund 365 Tagen, 6 Stunden und 9 Minuten. Nach dem Bericht des persischen Gelehrten al-Bīrūnī erklärte Brahmagupta das Fallen der Körper damit, dass es in der Natur der Erde liege, Dinge anzuziehen, so wie es in der Natur des Wassers liege zu fließen. Das war eine qualitative Vorstellung, keine Gravitationstheorie im Sinne Newtons.

Der Weg nach Bagdad und Europa

Anfang der 770er-Jahre erreichte eine Gesandtschaft aus Indien den Hof des Kalifen al-Manṣūr in Bagdad, der wenige Jahre zuvor gegründeten Hauptstadt der Abbasiden. Ein indischer Astronom brachte ein Sanskrit-Lehrbuch mit, nach verbreiteter Ansicht das Brāhmasphuṭasiddhānta. Gelehrte wie Muḥammad ibn Ibrāhīm al-Fazārī übertrugen es ins Arabische; so entstand der Zīj al-Sindhind, das „Tafelwerk des Siddhānta“. Auch das Khaṇḍakhādyaka wurde übersetzt und war im Arabischen als al-Arkand bekannt.

Die Sindhind-Tradition wurde zu einer Grundlage der Mathematik und Astronomie der islamischen Welt. Muhammad al-Chwarizmi stützte seine astronomischen Tafeln um 830 darauf, und mit den indischen Rechenverfahren verbreiteten sich die indischen Ziffern samt Null. Der Universalgelehrte al-Bīrūnī zitierte Brahmagupta um 1030 ausführlich in seinem Buch über Indien. In Europa wurde das mathematische Werk erst 1817 direkt zugänglich, als der britische Orientalist Henry Thomas Colebrooke die Mathematik-Kapitel Brahmaguptas und Bhaskaras II ins Englische übersetzte.

Zeitleiste

1. 499 Aryabhata vollendet das Aryabhatiya, mit dem sich Brahmagupta später kritisch auseinandersetzt.
2. 598 Geburt Brahmaguptas, vermutlich in Bhillamala (Rajasthan).
3. 628 Brāhmasphuṭasiddhānta: Regeln für Null und negative Zahlen, Brahmagupta-Formel, Bhāvanā.
4. 665 Khaṇḍakhādyaka, ein praktisches Handbuch der Kalenderrechnung; bald danach stirbt Brahmagupta.
5. um 771 Arabische Übersetzung in Bagdad als Grundlage des Zīj al-Sindhind.
6. 9. Jh. Pṛthūdakasvāmin verfasst den maßgeblichen Kommentar zum Brāhmasphuṭasiddhānta.
7. um 1150 Bhaskara II baut die Bhāvanā zur Chakravāla-Methode aus und löst x² − 61y² = 1.
8. 1657 Fermat stellt europäischen Mathematikern dieselbe Gleichung als Herausforderung.
9. 1817 Colebrooke übersetzt Brahmaguptas Mathematik-Kapitel ins Englische.

Was von Brahmagupta bleibt

Brahmaguptas Rechenregeln stehen heute in jedem Schulbuch, nur ohne seinen Namen. Dass die Null eine Zahl ist und Minus mal Minus Plus ergibt, wirkt selbstverständlich, war aber eine mühsam errungene Einsicht. Und gerade die Stelle, an der er scheiterte, die Division durch Null, ist bis heute ausgeschlossen.

In der Zahlentheorie wirkt die Bhāvanā bis heute nach. Sie ist ein Vorläufer der Komposition quadratischer Formen, die Carl Friedrich Gauß 1801 in seinen Disquisitiones Arithmeticae entwickelte. In der modernen algebraischen Zahlentheorie bilden die Lösungen einer Pell-Gleichung eine Gruppe, und deren Verknüpfung ist genau Brahmaguptas Zusammensetzung. Die Brahmagupta-Formel und der Satz von Brahmagupta gehören zum festen Bestand der Elementargeometrie. Und mit den indischen Ziffern, die über Bagdad nach Europa wanderten, rechnet heute die ganze Welt.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Kim Plofker: Mathematics in India, Princeton University Press, Princeton 2009.
• Henry Thomas Colebrooke: Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara, John Murray, London 1817.
• George Gheverghese Joseph: The Crest of the Peacock. Non-European Roots of Mathematics, 3. Auflage, Princeton University Press, Princeton 2011.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Brahmagupta (englisch)
• Wikipedia: Brahmagupta