János Bolyai und Nikolai Lobatschewski

János Bolyai (1802–1860) und Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski (1792–1856) gelten als Entdecker der nichteuklidischen Geometrie. Unabhängig voneinander zeigten der ungarische Militäringenieur und der russische Mathematikprofessor aus Kasan, dass eine Geometrie ohne Euklids Parallelenpostulat möglich ist. In ihr gehen durch einen Punkt unendlich viele Geraden, die eine gegebene Gerade nie schneiden, und die Winkelsumme im Dreieck ist stets kleiner als 180°. Heute heißt diese Geometrie hyperbolische Geometrie, im Russischen auch Lobatschewski-Geometrie.

Lobatschewski veröffentlichte seine Ideen als Erster, 1829 in einer Kasaner Universitätszeitschrift. Bolyais Darstellung erschien 1831/32 als Anhang zu einem Lehrbuch seines Vaters. Carl Friedrich Gauß war schon früher zu ähnlichen Ergebnissen gekommen, hatte aber geschwiegen. Zu Lebzeiten blieben beide Entdecker fast unbeachtet. Erst nach ihrem Tod erkannte die Mathematik, dass sie einen der tiefsten Einschnitte seit der Antike bewirkt hatten: Geometrie ist nicht denknotwendig euklidisch.

Das Parallelenproblem: 2.000 Jahre Beweisversuche

In seinen Elementen baute Euklid um 300 v. Chr. die Geometrie auf wenigen Grundannahmen auf. Die fünfte davon, das Parallelenpostulat, ist komplizierter formuliert als die übrigen. In einer später üblichen, gleichwertigen Fassung lautet es: Zu einer Geraden g und einem Punkt P außerhalb von g gibt es genau eine Gerade durch P, die g nicht schneidet. Daraus folgt unter anderem, dass die Winkel im Dreieck zusammen 180° ergeben.

Viele Mathematiker hielten das Postulat für einen Satz, der sich aus den anderen Axiomen beweisen lassen müsste. Versuche gab es von Ptolemäus in der Antike, von Omar Chayyam und anderen Gelehrten der islamischen Welt, im 18. Jahrhundert von Girolamo Saccheri und Johann Heinrich Lambert. Saccheri nahm 1733 an, das Postulat sei falsch, und leitete daraus viele seltsame Folgerungen ab, um einen Widerspruch zu erzwingen. Ohne es zu wollen, entwickelte er dabei schon Teile der hyperbolischen Geometrie. Lambert bemerkte 1766, dass in einer solchen Geometrie der Flächeninhalt eines Dreiecks davon abhängt, wie weit seine Winkelsumme unter 180° bleibt. Auch Legendre und Farkas Bolyai, der Vater von János, suchten lange vergeblich nach einem Beweis.

Nikolai Lobatschewski: Mathematiker und Rektor in Kasan

Lobatschewski wurde am 1. Dezember 1792 in Nischni Nowgorod geboren; nach dem damals in Russland gültigen julianischen Kalender war es der 20. November. Sein Vater, ein kleiner Beamter, starb früh. 1800 zog die Mutter mit ihren drei Söhnen nach Kasan an der Wolga, wo die Jungen mit staatlichen Stipendien das Gymnasium besuchten. 1807 begann Lobatschewski ein Studium an der erst wenige Jahre zuvor gegründeten Universität Kasan. Dort unterrichtete ihn Martin Bartels, der einst in Braunschweig dem jungen Gauß geholfen hatte. In Bartels’ Vorlesung zur Mathematikgeschichte lernte Lobatschewski die lange Geschichte der Parallelenbeweise kennen.

Lobatschewski blieb sein Leben lang in Kasan: 1816 wurde er außerordentlicher, 1822 ordentlicher Professor, danach Dekan, Bibliotheksdirektor und von 1827 bis 1846 Rektor der Universität. Er ließ Bibliothek, Sternwarte und Laboratorien bauen, führte die Hochschule durch eine Cholera-Epidemie (1830) und einen großen Stadtbrand (1842) und hielt Vorlesungen über Mechanik, Physik und Astronomie. 1832 heiratete er Warwara Moissejewa aus einer wohlhabenden Familie.

Am 23. Februar 1826 legte Lobatschewski seiner Fakultät eine Abhandlung über eine neue Geometrie vor; der Text ist verloren. 1829/30 veröffentlichte er seine Theorie unter dem Titel Über die Anfangsgründe der Geometrie im Kasaner Boten. Es war die erste gedruckte Darstellung einer nichteuklidischen Geometrie. Die Akademie in Sankt Petersburg lehnte eine Veröffentlichung ab, ihr Gutachter Michail Ostrogradski urteilte vernichtend. Lobatschewski ließ sich nicht beirren und publizierte weitere Fassungen: 1837 auf Französisch die Géométrie imaginaire, 1840 in Berlin auf Deutsch die Geometrischen Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien.

1846 musste er sein Amt als Rektor aufgeben. Bald darauf starb sein ältester Sohn, eine Krankheit ließ ihn erblinden. Seine letzte Darstellung, die Pangeometrie (1855), diktierte er bereits blind. Lobatschewski starb am 24. Februar 1856 in Kasan, ohne zu ahnen, welche Bedeutung seine Arbeit bekommen würde.

János Bolyai: Offizier und Geometer

János Bolyai kam am 15. Dezember 1802 in Klausenburg in Siebenbürgen zur Welt, das damals zum Habsburgerreich gehörte. Er wuchs in Marosvásärhely (deutsch Neumarkt am Mieresch) auf, wo sein Vater Farkas Bolyai am reformierten Kollegium Mathematik und Physik unterrichtete. Farkas hatte in Göttingen mit Gauß studiert und war mit ihm befreundet. Er unterrichtete den Sohn selbst; János spielte außerdem früh und gut Geige. 1816 bat Farkas Gauß, den Jungen als Schüler in sein Haus aufzunehmen. Gauß ging darauf nicht ein.

Da die Familie ein Studium im Ausland nicht bezahlen konnte, besuchte János von 1818 bis 1822 die Ingenieurakademie in Wien. Er galt als glänzender Schüler und ausgezeichneter Fechter. Schon um 1820 begann er, wie sein Vater, über das Parallelenpostulat nachzudenken. Der Vater warnte ihn eindringlich: Die Parallelen könnten ihm Zeit, Gesundheit, Seelenruhe und Lebensglück rauben. Doch János gab bald die Suche nach einem Beweis auf und fragte stattdessen, was gilt, wenn das Postulat falsch ist. 1823 wurde er als Unterleutnant nach Temesvár versetzt. Von dort schrieb er dem Vater:

„Aus dem Nichts habe ich eine neue, andere Welt geschaffen.“

Bis 1824 hatte er sein System im Wesentlichen ausgearbeitet. Der Vater blieb zunächst skeptisch. Erst 1831, als János auf dem Weg nach Lemberg zu Hause Station machte, ließ Farkas sich überzeugen und drängte auf eine Veröffentlichung. So erschien die Arbeit als gut zwei Dutzend Seiten starker lateinischer Anhang zum ersten Band seines Lehrbuchs Tentamen: der Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens, die „Lehre vom absolut wahren Raum“. Der Sonderdruck lag 1831 vor, das Buch trägt die Jahreszahl 1832.

Farkas schickte die Schrift an Gauß. Dessen Antwort vom März 1832 traf János schwer: Er könne die Arbeit nicht loben, schrieb Gauß, denn sie zu loben hieße sich selbst zu loben; ihr Inhalt stimme fast vollständig mit seinen eigenen, seit Jahrzehnten gehegten Gedanken überein. Bolyai litt danach zunehmend unter Krankheit und Reizbarkeit und ließ sich 1833 als Hauptmann pensionieren. Er lebte auf dem Familiengut in Domáld mit Rozália Kibédi Orbán zusammen, mit der er zwei Kinder hatte; heiraten konnten die beiden erst 1849, 1852 trennten sie sich.

1848 las Bolyai Lobatschewskis Geometrische Untersuchungen. Er kommentierte sie Zeile für Zeile, zeitweise mit dem Verdacht, Lobatschewski existiere gar nicht und alles sei eine Intrige von Gauß. Zugleich erkannte er die Qualität der Arbeit an und nannte einige Beweise genial. Veröffentlicht hat Bolyai außer dem Appendix nichts. Er hinterließ aber mehr als 20.000 Manuskriptseiten, die heute in Târgu Mureș aufbewahrt werden. János Bolyai starb am 27. Januar 1860 in Neumarkt am Mieresch an einer Lungenentzündung.

Hyperbolische Geometrie einfach erklärt

Bolyai und Lobatschewski ersetzten das Parallelenpostulat durch sein Gegenteil: Durch einen Punkt P außerhalb einer Geraden g gibt es mehr als eine Gerade, die g nicht schneidet. Alle übrigen Axiome Euklids behielten sie bei. Daraus entsteht eine vollständige, in sich stimmige Geometrie mit überraschenden Eigenschaften:

• Durch P gibt es unendlich viele Geraden, die g nicht treffen. Zwei davon bilden die Grenze: die Grenzparallelen, die sich g immer weiter nähern, ohne sie je zu erreichen.
• Die Winkelsumme im Dreieck ist immer kleiner als 180°. Je größer das Dreieck, desto kleiner die Winkelsumme.
• Es gibt keine ähnlichen Dreiecke verschiedener Größe: Stimmen zwei Dreiecke in allen Winkeln überein, sind sie deckungsgleich.
• Der Umfang eines Kreises wächst mit dem Radius nicht proportional, sondern exponentiell.

Bolyai nannte Sätze, die mit und ohne Parallelenpostulat gelten, absolute Geometrie; Lobatschewski sprach von „imaginärer Geometrie“, weil ihre Formeln aus denen der Kugelgeometrie hervorgehen, wenn man den Kugelradius imaginär setzt. Beide fanden eine eigene Trigonometrie für diese Welt. Für den Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Winkeln α, β, γ gilt:

Dabei ist k eine feste Längeneinheit der Geometrie, ähnlich dem Radius einer Kugel. Kein Dreieck kann also größer werden als π · k², so lang seine Seiten auch sein mögen. Für kleine Figuren ist der Unterschied zur euklidischen Geometrie dagegen winzig. Darum kann man im Alltag nicht erkennen, welche Geometrie „wirklich“ gilt.

Lobatschewski beschrieb auch, wie der Winkel Π(a) zwischen dem Lot von P auf g und einer Grenzparallele vom Abstand a des Punktes P zur Geraden g abhängt:

Ist P sehr nah an g, beträgt dieser Parallelwinkel fast 90°, und man ist praktisch in der euklidischen Geometrie. Je weiter P entfernt ist, desto kleiner wird der Winkel. Im Bild unten ist a = k · ln 3 ≈ 1,1 k; dann ist tan(Π/2) = 1/3 und Π ≈ 36,9°.

Modelle: Warum die neue Geometrie widerspruchsfrei ist

Weder Bolyai noch Lobatschewski konnten beweisen, dass ihre Geometrie keinen versteckten Widerspruch enthält. Sie vertrauten darauf, weil sich ihre Formeln nahtlos zusammenfügten. Den Nachweis lieferten erst andere: 1868 zeigte Eugenio Beltrami, dass sich Teile der hyperbolischen Ebene auf einer trichterförmigen Fläche, der Pseudosphäre, darstellen lassen. Felix Klein (1871) und Henri Poincaré (1882) bauten vollständige Modelle innerhalb der euklidischen Geometrie, darunter die Kreisscheibe aus dem Bild oben. Damit war klar: Enthielte die hyperbolische Geometrie einen Widerspruch, dann auch die euklidische. Eine Fläche im gewöhnlichen Raum, die die ganze hyperbolische Ebene verzerrungsfrei trägt, gibt es dagegen nicht, wie David Hilbert 1901 bewies.

Wer war zuerst? Gauß, Bolyai und Lobatschewski

Die Frage nach der Priorität hat Historiker lange beschäftigt. Sicher ist:

• Carl Friedrich Gauß beschäftigte sich seit den 1790er-Jahren mit dem Parallelenproblem und war spätestens um 1820 überzeugt, dass eine nichteuklidische Geometrie möglich ist. 1824 beschrieb er sie in einem Brief an Franz Adolph Taurinus. Veröffentlicht hat er nichts, aus Sorge vor dem Unverständnis der Fachwelt.
• Der Jurist Ferdinand Karl Schweikart skizzierte 1818 eine „Astralgeometrie“ mit Winkelsummen unter 180°, sein Neffe Taurinus arbeitete sie 1825/26 weiter aus, hielt sie aber nicht für die Geometrie des wirklichen Raums.
• Lobatschewski trug seine Theorie 1826 vor und veröffentlichte sie 1829/30 als Erster vollständig.
• Bolyai entwickelte sein System 1820 bis 1824 und veröffentlichte es 1831/32, ohne von Lobatschewski zu wissen.

Eine Zeit lang wurde vermutet, Gauß habe beide über Mittelsmänner auf die Spur gebracht: Bartels, den Lehrer Lobatschewskis, und Farkas Bolyai, den Vater von János. Briefwechsel und Notizbücher sprechen dagegen. Bartels wusste nachweislich nichts von Gauß’ Überlegungen, und János fand seinen Weg gegen die Skepsis des eigenen Vaters. Heute gelten alle drei als unabhängige Entdecker, Bolyai und Lobatschewski als diejenigen, die den Mut zur Veröffentlichung hatten. Gauß setzte 1842 immerhin durch, dass Lobatschewski korrespondierendes Mitglied der Göttinger Gelehrtengesellschaft wurde. Öffentlich äußerte er sich über die neue Geometrie aber nie.

Weitere mathematische Arbeiten

Lobatschewski entwickelte 1834 ein Verfahren, mit dem sich die Nullstellen von Polynomen näherungsweise berechnen lassen. Germinal Pierre Dandelin und Karl Heinrich Gräffe fanden es unabhängig, deshalb heißt es heute meist Dandelin-Gräffe-Verfahren. Im selben Jahr beschrieb Lobatschewski eine Funktion sehr modern als beliebige Zuordnung zwischen Zahlen, kurz bevor Peter Gustav Lejeune Dirichlet dieselbe Auffassung formulierte.

Bolyai reichte 1837 bei einer Preisfrage der Jablonowskischen Gesellschaft in Leipzig eine Arbeit ein, in der er komplexe Zahlen streng als Paare reeller Zahlen definierte, fast gleichzeitig mit William Rowan Hamilton. Die Gutachter beachteten sie nicht. In seinen nachgelassenen Manuskripten fanden sich außerdem Arbeiten zur Zahlentheorie und Ansätze zu einer axiomatischen Begründung der ganzen Mathematik, die er nie vollendete.

Zeitleiste: Bolyai, Lobatschewski und die neue Geometrie

1. 1792 Geburt Nikolai Lobatschewskis in Nischni Nowgorod
2. 1802 Geburt János Bolyais in Klausenburg
3. 1823 Bolyai: „Aus dem Nichts habe ich eine neue, andere Welt geschaffen.“
4. 1826 Lobatschewski legt in Kasan seine neue Geometrie vor
5. 1827 Lobatschewski wird Rektor der Universität Kasan
6. 1829 Lobatschewskis Über die Anfangsgründe der Geometrie im Kasaner Boten
7. 1832 Bolyais Appendix im Tentamen seines Vaters; Brief von Gauß
8. 1840 Lobatschewskis Geometrische Untersuchungen erscheinen in Berlin
9. 1856 Tod Lobatschewskis in Kasan
10. 1860 Tod Bolyais in Neumarkt am Mieresch
11. 1868 Beltrami zeigt die Widerspruchsfreiheit relativ zur euklidischen Geometrie

Späte Anerkennung und Bedeutung heute

Der Durchbruch kam nach dem Tod beider Entdecker. 1854 hatte Bernhard Riemann in Göttingen gezeigt, dass man Geometrien mit beliebiger, sogar von Ort zu Ort wechselnder Krümmung untersuchen kann. In den 1860er-Jahren wurden Gauß’ Briefe bekannt, und Übersetzungen machten Lobatschewski und Bolyai in Frankreich und Italien bekannt. Mit Beltramis, Kleins und Poincarés Modellen wurde die hyperbolische Geometrie schließlich zu einem selbstverständlichen Teil der Mathematik. Der englische Mathematiker William Kingdon Clifford nannte Lobatschewski den „Kopernikus der Geometrie“.

Die Folgen reichen weit über die Geometrie hinaus:

• Grundlagen der Mathematik: Axiome gelten seither nicht mehr als selbstverständliche Wahrheiten, sondern als frei wählbare Ausgangspunkte. Hilberts axiomatische Methode baut auf dieser Einsicht auf.
• Physik: Ob der Raum euklidisch ist, wurde zu einer Frage der Messung. Einsteins allgemeine Relativitätstheorie beschreibt die Gravitation als Krümmung der Raumzeit; in der speziellen Relativitätstheorie gehorchen Geschwindigkeiten den Gesetzen der hyperbolischen Geometrie.
• Kunst und Anschauung: M. C. Eschers Holzschnitte der Reihe Kreislimit füllen eine Poincaré-Scheibe mit Fischen und Engeln; gehäkelte Modelle hyperbolischer Flächen machen die Geometrie greifbar.
• Datenwissenschaft: Baumartige Netzwerke und Hierarchien lassen sich in der hyperbolischen Ebene mit wenig Verzerrung darstellen; das nutzen Verfahren des maschinellen Lernens.

Die Universität in Nischni Nowgorod trägt Lobatschewskis Namen, die Babeș-Bolyai-Universität in Cluj-Napoca den Namen Bolyais. Weitere Zusammenhänge zeigt der Artikel über die Mathematik des 19. Jahrhunderts.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Roberto Bonola: Die nichteuklidische Geometrie. Historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung. Deutsch von Heinrich Liebmann, Teubner, Leipzig 1908.
• Friedrich Engel (Hrsg.): N. I. Lobatschefskij: Zwei geometrische Abhandlungen. Teubner, Leipzig 1898/99.
• Paul Stäckel (Hrsg.): Wolfgang und Johann Bolyai: Geometrische Untersuchungen. 2 Bände, Teubner, Leipzig 1913.
• Tibor Weszely: János Bolyai. Die ersten 200 Jahre. Birkhäuser, Basel 2013.
• MacTutor History of Mathematics: Nikolai Lobachevsky (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: János Bolyai (englisch)