Kurt Gödel

Kurt Gödel (1906–1978) gilt als einer der bedeutendsten Logiker seit Aristoteles. Der in Brünn geborene und in Wien ausgebildete Mathematiker bewies 1931 die beiden Unvollständigkeitssätze: In jedem widerspruchsfreien formalen System, das die Arithmetik der natürlichen Zahlen umfasst, gibt es Aussagen, die sich darin weder beweisen noch widerlegen lassen, und ein solches System kann seine eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen. Damit zeigte er, dass das Programm von David Hilbert, die gesamte Mathematik in einem vollständigen und nachweislich widerspruchsfreien System abzusichern, in seiner ursprünglichen Form nicht durchführbar ist.

Gödel bewies außerdem den Vollständigkeitssatz der Prädikatenlogik und zeigte 1938, dass die Kontinuumshypothese von Georg Cantor mit den üblichen Axiomen der Mengenlehre verträglich ist. Ab 1940 lebte er in Princeton, wo er eng mit Albert Einstein befreundet war. Sein Leben war von Krankheit und Ängsten überschattet: Er starb 1978 an Unterernährung, weil er aus Furcht vor Vergiftung kaum noch aß. Seine Ergebnisse gehören zu den folgenreichsten der Mathematik des 20. Jahrhunderts.

Kindheit in Brünn

Kurt Friedrich Gödel wurde am 28. April 1906 in Brünn geboren, der Hauptstadt Mährens, die damals zu Österreich-Ungarn gehörte. Die Familie sprach Deutsch. Der Vater Rudolf Gödel war Geschäftsführer und Teilhaber einer großen Textilfabrik, die Mutter Marianne, geborene Handschuh, hatte eine literarische Bildung. Der vier Jahre ältere Bruder Rudolf wurde später Radiologe. Weil Kurt ständig nach dem Warum fragte, nannte ihn die Familie „Herr Warum“.

Mit etwa acht Jahren erkrankte Gödel an rheumatischem Fieber. Er erholte sich, war aber fortan überzeugt, sein Herz sei dauerhaft geschädigt. Die Sorge um die eigene Gesundheit begleitete ihn ein Leben lang. Am deutschsprachigen Staatsrealgymnasium in Brünn war er ein hervorragender Schüler, besonders in Mathematik und Sprachen. Nach dem Ersten Weltkrieg wurde er mit der Gründung der Tschechoslowakei automatisch tschechoslowakischer Staatsbürger; 1929 nahm er die österreichische Staatsbürgerschaft an.

Studium in Wien und der Wiener Kreis

Im Herbst 1924 ging Gödel nach Wien, um theoretische Physik zu studieren. Bald wandte er sich der Mathematik zu. Besonders beeindruckten ihn die zahlentheoretischen Vorlesungen von Philipp Furtwängler, der vom Hals abwärts gelähmt war und vom Rollstuhl aus lehrte, während ein Assistent an die Tafel schrieb. Daneben hörte Gödel Philosophie und nahm an einem Seminar von Moritz Schlick teil, in dem Bertrand Russells Einführung in die mathematische Philosophie gelesen wurde. So kam er zur mathematischen Logik, die durch die „Principia Mathematica“ von Russell und Whitehead und durch Hilberts Arbeiten gerade einen großen Aufschwung erlebte.

Ab 1926 besuchte Gödel die Treffen des Wiener Kreises, einer Gruppe von Philosophen und Wissenschaftlern um Schlick, zu der unter anderem Rudolf Carnap, Hans Hahn und Otto Neurath gehörten. Der Kreis vertrat einen logischen Empirismus: Sinnvoll seien nur Aussagen, die sich durch Erfahrung prüfen oder logisch begründen lassen, Metaphysik lehnte er ab. Die Sitzungen fanden donnerstags in einem Hörsaal des Mathematischen Instituts statt, die Gespräche wurden oft in Kaffeehäusern fortgesetzt. Gödel hörte meist schweigend zu und teilte die Grundhaltung der Gruppe nicht. Er war Platoniker: Mathematische Objekte existierten für ihn unabhängig vom menschlichen Denken, und mathematische Wahrheit war mehr als Beweisbarkeit in einem bestimmten System. Nach eigener Aussage war diese Überzeugung wichtig für seine Entdeckungen.

Die Dissertation: der Vollständigkeitssatz (1929)

In seiner Dissertation, die er 1929 bei Hans Hahn abschloss, beantwortete Gödel eine Frage, die Hilbert und Wilhelm Ackermann 1928 gestellt hatten. Es ging um die Prädikatenlogik erster Stufe: die Logik mit „und“, „oder“, „nicht“, „für alle“ und „es gibt“, deren Variablen für einzelne Objekte stehen. Gödel bewies, dass sich jede Formel, die in allen denkbaren Interpretationen wahr ist, mit den üblichen Schlussregeln auch formal beweisen lässt. Die Regeln der Logik sind in diesem Sinn vollständig; es fehlt kein Schlussprinzip. Die Promotion erfolgte am 6. Februar 1930, die Arbeit erschien im selben Jahr.

Die Unvollständigkeitssätze (1931) verständlich erklärt

Das zweite der Hilbertschen Probleme von 1900 verlangte einen Beweis, dass die Arithmetik widerspruchsfrei ist. In den 1920er-Jahren hoffte Hilbert, die Mathematik vollständig zu axiomatisieren und die Widerspruchsfreiheit mit einfachen Mitteln zu beweisen. Gödel arbeitete zunächst an einem Teil dieser Aufgabe und stieß dabei auf das Gegenteil. Am 7. September 1930 kündigte er auf einer Tagung in Königsberg in einer Diskussionsrunde sein Ergebnis an, einen Tag bevor Hilbert in derselben Stadt seine Rede mit dem Schluss „Wir müssen wissen. Wir werden wissen.“ hielt. Kaum jemand erfasste die Tragweite sofort. Eine Ausnahme war John von Neumann: Er erkannte die Bedeutung und fand wenige Wochen später selbst den zweiten Unvollständigkeitssatz, doch Gödel hatte seine Arbeit bereits eingereicht.

Die Abhandlung Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I erschien 1931 in den Monatsheften für Mathematik und Physik. Der Titel nennt das Werk von Russell und Whitehead, doch die Ergebnisse gelten für jedes vergleichbare System, auch für die heute übliche Mengenlehre.

Der erste Unvollständigkeitssatz

Ein solches System heißt unvollständig. Alle drei Bedingungen sind wichtig. „Widerspruchsfrei“ bedeutet, dass nicht zugleich eine Aussage und ihr Gegenteil beweisbar sind. „Mechanisch angebbar“ heißt, dass ein Computer prüfen könnte, ob eine Formel zu den Axiomen gehört; sonst könnte man einfach alle wahren Aussagen zu Axiomen erklären. Und das System muss stark genug sein, um mit natürlichen Zahlen zu rechnen, wie etwa die Peano-Axiome. Gödels ursprünglicher Beweis benötigte eine etwas stärkere Voraussetzung als Widerspruchsfreiheit; J. Barkley Rosser zeigte 1936, dass einfache Widerspruchsfreiheit genügt.

Die Beweisidee: Gödelnummern und ein Satz über sich selbst

Gödels entscheidender Schritt war, Aussagen über das System in Aussagen über Zahlen zu übersetzen. Dazu ordnete er jedem Zeichen der formalen Sprache eine Zahl zu und jeder Zeichenkette eine einzige große Zahl, ihre Gödelnummer. Weil sich jede natürliche Zahl eindeutig in Primfaktoren zerlegen lässt, kann man aus der Gödelnummer die Zeichenkette zurückgewinnen.

Auf diese Weise wird die Aussage „x ist die Gödelnummer eines Beweises für die Formel mit der Nummer y“ zu einer rein arithmetischen Beziehung zwischen den Zahlen x und y, die sich im System selbst ausdrücken lässt. Mit einem Diagonalverfahren, das an Cantors Beweis für die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen erinnert, konstruierte Gödel dann eine Aussage G, die über ihre eigene Gödelnummer sinngemäß sagt:

G: „Diese Aussage ist im System nicht beweisbar.“

Die Ähnlichkeit zum alten Lügner-Paradox („Dieser Satz ist falsch“) ist gewollt. Anders als der Lügner-Satz führt Gödels Satz aber nicht in einen Widerspruch, denn er spricht von Beweisbarkeit, nicht von Wahrheit. Wäre G im System beweisbar, dann ließe sich im System auch nachrechnen, dass G einen Beweis hat. Zugleich wäre G selbst bewiesen, und G besagt, dass es keinen Beweis gibt. Das System enthielte einen Widerspruch. Ist es widerspruchsfrei, kann G also nicht beweisbar sein. Genau das behauptet G, also ist G wahr. Mit Rossers verfeinerter Konstruktion zeigt man, dass auch die Verneinung von G nicht beweisbar ist.

Der zweite Unvollständigkeitssatz

Die Überlegung „Wenn das System widerspruchsfrei ist, dann ist G nicht beweisbar“ lässt sich ihrerseits im System formalisieren. Daraus folgt der zweite Unvollständigkeitssatz: Ein widerspruchsfreies System der genannten Art kann seine eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen. Könnte es das, so könnte es mithilfe der formalisierten Überlegung auch G beweisen, was nach dem ersten Satz unmöglich ist.

Für Hilberts Programm war das ein schwerer Schlag: Die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik lässt sich nicht mit Mitteln beweisen, die in der Arithmetik selbst formalisierbar sind, erst recht nicht mit noch einfacheren. Gerhard Gentzen bewies sie 1936 dennoch, indem er ein Prinzip benutzte, das über die Arithmetik hinausgeht: eine Induktion über eine bestimmte unendliche Ordinalzahl.

Was die Unvollständigkeitssätze nicht sagen

Gödels Sätze werden oft überdehnt. Sie besagen nicht, dass die Mathematik widersprüchlich oder beliebig ist, und auch nicht, dass es Aussagen gibt, die grundsätzlich niemand beweisen kann. Unbeweisbarkeit ist immer relativ zu einem bestimmten System: Den Satz G eines Systems kann man in einem stärkeren System beweisen, das dann allerdings wieder einen eigenen unbeweisbaren Satz besitzt. Lange galten solche Sätze als künstliche Konstruktionen. Inzwischen kennt man natürliche Beispiele, etwa den Satz von Goodstein über bestimmte Zahlenfolgen, der in der Peano-Arithmetik nicht beweisbar ist (Laurie Kirby und Jeff Paris, 1982), in der Mengenlehre dagegen schon. Ob aus Gödels Sätzen folgt, dass der menschliche Geist jeder Maschine überlegen ist, wie John Lucas und Roger Penrose argumentierten, ist umstritten; die meisten Logiker halten das Argument nicht für stichhaltig.

Die Kontinuumshypothese und das konstruierbare Universum

Georg Cantor hatte gezeigt, dass es verschieden große Unendlichkeiten gibt: Es gibt „mehr“ reelle als natürliche Zahlen. Seine Kontinuumshypothese besagt, dass dazwischen keine weitere Größe liegt: Jede unendliche Menge reeller Zahlen ist entweder genauso groß wie die Menge der natürlichen Zahlen oder genauso groß wie die der reellen Zahlen. Hilbert hatte die Frage 1900 an die erste Stelle seiner Problemliste gesetzt.

1938 bewies Gödel, dass die Kontinuumshypothese und das Auswahlaxiom mit den Axiomen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF) verträglich sind: Ist ZF widerspruchsfrei, bleibt es das auch, wenn man beide Aussagen hinzunimmt. Dazu konstruierte er innerhalb der Mengenlehre ein besonders sparsames Modell, das konstruierbare Universum L. Es enthält nur Mengen, die sich Schritt für Schritt aus einfacheren definieren lassen, und in ihm gelten beide Aussagen. Die ausführliche Darstellung erschien 1940. Die Kontinuumshypothese lässt sich mit den üblichen Axiomen der Mengenlehre also nicht widerlegen. Dass sie sich auch nicht beweisen lässt, zeigte 1963 Paul Cohen mit der von ihm erfundenen Forcing-Methode. Zusammen ergeben beide Ergebnisse, dass die Kontinuumshypothese von diesen Axiomen unabhängig ist. Gödel selbst hielt sie für falsch und hoffte auf neue, einleuchtende Axiome, die die Frage entscheiden.

Krisen, Heirat und Emigration

1932 reichte Gödel seine Arbeit über die Unvollständigkeit als Habilitationsschrift ein, im März 1933 wurde er Privatdozent an der Universität Wien. Im Herbst desselben Jahres reiste er erstmals an das neu gegründete Institute for Advanced Study in Princeton. Nach seiner Rückkehr 1934 erlitt er einen Zusammenbruch und verbrachte wegen Depressionen mehrere Monate in einem Sanatorium. Weitere Krisen folgten, besonders nach der Ermordung Moritz Schlicks durch einen ehemaligen Studenten im Juni 1936. Seit dieser Zeit quälte Gödel die Angst, vergiftet zu werden.

Seit 1927 kannte Gödel die sechs Jahre ältere Tänzerin Adele Nimbursky, geborene Porkert, die bereits einmal verheiratet gewesen war. Seine Eltern, besonders der Vater, lehnten die Verbindung ab. Erst am 20. September 1938 heirateten die beiden. Adele wurde die wichtigste Stütze in seinem Leben.

Nach dem „Anschluss“ Österreichs an das Deutsche Reich im März 1938 wurde die Stellung des unbezahlten Privatdozenten abgeschafft. Gödel musste sich als „Dozent neuer Ordnung“ neu bewerben; die Behörden zögerten, auch weil er als Schüler des Mathematikers Hans Hahn galt, der jüdischer Herkunft war, und viele jüdische Kollegen hatte. Gödel war weder jüdisch noch politisch aktiv, wurde aber 1939 in Wien von einer Gruppe junger Männer angegriffen, die ihn für einen Juden hielten. Als er außerdem für wehrdiensttauglich erklärt wurde, entschloss er sich zur Auswanderung. Im Januar 1940 reiste das Ehepaar mit der Transsibirischen Eisenbahn durch die Sowjetunion nach Japan und von dort per Schiff nach San Francisco. Im März 1940 kamen die beiden in Princeton an.

Princeton und die Freundschaft mit Einstein

Am Institute for Advanced Study fand Gödel die Bedingungen, die er brauchte: keine Lehrverpflichtungen und viel Zeit zum Nachdenken. Zunächst erhielt er jährlich verlängerte Verträge, 1946 wurde er ständiges Mitglied, 1953 Professor. Bei der Vorbereitung auf seine Einbürgerung glaubte er, in der amerikanischen Verfassung eine logische Lücke entdeckt zu haben, die eine Diktatur ermöglichen würde. Seine Begleiter bei der Anhörung im Dezember 1947, Albert Einstein und der Ökonom Oskar Morgenstern, versuchten ihn davon abzuhalten, darüber zu sprechen. Nach Morgensterns Bericht begann Gödel dennoch damit, doch der Richter lenkte das Gespräch rasch auf anderes. 1948 wurde Gödel amerikanischer Staatsbürger.

Mit Einstein verband Gödel eine enge Freundschaft. Die beiden gingen oft gemeinsam zum Institut und zurück und sprachen über Physik, Philosophie und Politik. Einstein soll gesagt haben, er komme nur noch ins Institut, um das Privileg zu haben, mit Gödel nach Hause zu gehen. Zu Einsteins 70. Geburtstag 1949 legte Gödel eine überraschende Lösung von dessen Feldgleichungen vor: ein rotierendes Universum mit geschlossenen Zeitwegen, in dem man theoretisch in die eigene Vergangenheit reisen könnte. Dieses Gödel-Universum beschreibt nicht unsere Welt, zeigt aber, dass die allgemeine Relativitätstheorie Zeitreisen nicht grundsätzlich ausschließt. 1951 erhielt Gödel gemeinsam mit dem Physiker Julian Schwinger den ersten Albert-Einstein-Preis.

In späteren Jahren beschäftigte sich Gödel vor allem mit Philosophie, besonders mit Gottfried Wilhelm Leibniz und Edmund Husserl. Er formulierte einen ontologischen Gottesbeweis in der Sprache der Modallogik, den er zu Lebzeiten nicht veröffentlichte; 2013 überprüften Informatiker mit Beweisprogrammen, dass die Schlussfolgerung logisch korrekt aus Gödels Annahmen folgt. In einem Brief an den schwer kranken von Neumann stellte Gödel 1956 eine Frage, die heute als frühe Fassung des P-NP-Problems der Informatik gilt: ob sich Beweise mit einem Rechenaufwand finden lassen, der nur mäßig mit ihrer Länge wächst.

Letzte Jahre und Tod

Gödels Angst vor Vergiftung wuchs mit den Jahren. Er misstraute Ärzten, hielt eine extrem strenge Diät ein und aß nur, was Adele zubereitet und vorgekostet hatte. 1977 musste Adele nach einem Schlaganfall und einer Operation mehrere Monate im Krankenhaus verbringen. Ohne sie verweigerte Gödel fast jede Nahrung. Als er Ende Dezember 1977 ins Princeton Hospital gebracht wurde, war es zu spät. Er starb am 14. Januar 1978 und wog zuletzt nur noch etwa 30 Kilogramm. Der Totenschein nennt Unterernährung und Entkräftung infolge einer Persönlichkeitsstörung als Ursache. Adele starb 1981; beide sind auf dem Friedhof von Princeton begraben.

Zeitleiste: Kurt Gödel

1. 1906 Geburt in Brünn (28. April)
2. 1924 Beginn des Studiums in Wien, zunächst Physik, dann Mathematik
3. 1929 Dissertation mit dem Vollständigkeitssatz der Prädikatenlogik
4. 1930 Ankündigung des ersten Unvollständigkeitssatzes in Königsberg (7. September)
5. 1931 Veröffentlichung der Unvollständigkeitssätze
6. 1933 Privatdozent in Wien; erster Aufenthalt in Princeton
7. 1938 Heirat mit Adele Porkert; Beweis der Verträglichkeit der Kontinuumshypothese
8. 1940 Emigration über Sibirien und Japan nach Princeton
9. 1949 Gödel-Universum als Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen
10. 1978 Tod in Princeton (14. Januar)

Bedeutung heute

Die Unvollständigkeitssätze gehören zu den bekanntesten Ergebnissen der Mathematik. Sie zeigen, was formale Systeme leisten können und was nicht, und sind eine Grundlage der modernen Beweistheorie. Gödels Technik, Aussagen über Formeln in Aussagen über Zahlen zu übersetzen, und der Begriff der rekursiven Funktion führten direkt zur Berechenbarkeitstheorie. Alan Turing übertrug die Grundidee 1936 auf Rechenmaschinen und zeigte, dass kein Programm für jedes andere Programm entscheiden kann, ob es irgendwann anhält. Einer der wichtigsten Preise der theoretischen Informatik trägt seit 1993 Gödels Namen.

In der Mengenlehre ist das konstruierbare Universum bis heute ein zentrales Werkzeug. Gödels Hoffnung, neue Axiome könnten Fragen wie die Kontinuumshypothese entscheiden, prägt die Forschung über sogenannte große Kardinalzahlen. Über die Fachwelt hinaus wurde Gödel durch Douglas Hofstadters Buch Gödel, Escher, Bach (1979) bekannt. Daniel Kehlmann machte ihn 2011 zur Hauptfigur seines Theaterstücks Geister in Princeton, und in Wien trägt seit 2016 eine Gasse seinen Namen.

Häufige Fragen

Was besagen Gödels Unvollständigkeitssätze?

Der erste Satz besagt: Jedes widerspruchsfreie, mechanisch angebbare Axiomensystem, das die Arithmetik der natürlichen Zahlen umfasst, enthält Aussagen, die es weder beweisen noch widerlegen kann. Der zweite Satz besagt: Ein solches System kann seine eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen.

Was ist der Unterschied zwischen Vollständigkeitssatz und Unvollständigkeitssatz?

Der Vollständigkeitssatz (1929) sagt, dass die Schlussregeln der Prädikatenlogik ausreichen: Was logisch aus Axiomen folgt, ist auch beweisbar. Der Unvollständigkeitssatz (1931) sagt, dass kein geeignetes Axiomensystem alle wahren Aussagen über natürliche Zahlen festlegt.

Woran starb Kurt Gödel?

Gödel starb am 14. Januar 1978 in Princeton an Unterernährung. Aus Angst, vergiftet zu werden, aß er nur, was seine Frau zubereitet hatte; als sie 1977 lange im Krankenhaus lag, verweigerte er fast jede Nahrung.

War Gödel mit Einstein befreundet?

Ja. Am Institute for Advanced Study in Princeton gingen die beiden oft gemeinsam zur Arbeit und zurück. Einstein begleitete Gödel 1947 zur Einbürgerungsanhörung, und Gödel widmete ihm 1949 seine Lösung der Feldgleichungen, das Gödel-Universum.

Quellen und weiterführende Literatur

• Kurt Gödel: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. In: Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931).
• John W. Dawson Jr.: Logical Dilemmas. The Life and Work of Kurt Gödel, A K Peters, Wellesley 1997.
• Ernest Nagel, James R. Newman: Gödel’s Proof, New York University Press, New York 1958.
• Rebecca Goldstein: Incompleteness. The Proof and Paradox of Kurt Gödel, W. W. Norton, New York 2005.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Gödel’s Incompleteness Theorems (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Kurt Gödel (englisch)