Mathematik der Maya

Die Mathematik der Maya beruhte auf einem Zwanzigersystem (Vigesimalsystem), das mit drei Zeichen auskam: einem Punkt für die Eins, einem waagrechten Strich für die Fünf und einem muschelförmigen Zeichen für die Null. Weil die Schreiber diese Ziffern in übereinanderliegenden Stufen anordneten, konnten sie beliebig große Zahlen notieren. Damit besaßen die Maya ein echtes Stellenwertsystem mit Null, wie es in der Alten Welt nur die Babylonier (mit einem Lückenzeichen) und später die indischen Mathematiker entwickelten.

Ihr wichtigstes Anwendungsfeld war die Zeit. Schreiber und Priester verknüpften einen Ritualkalender von 260 Tagen mit einem Sonnenjahr von 365 Tagen, zählten in der „Langen Zählung“ die Tage seit einem mythischen Anfangspunkt im Jahr 3114 v. Chr. und sagten mit Zahlentafeln die Bahn der Venus und mögliche Finsternisse voraus. Die erhaltenen Quellen, also Steininschriften, Wandmalereien und vier Faltbücher aus Rindenpapier, zeigen eine Mathematik, die fast ganz im Dienst von Kalender, Astronomie und Religion stand.

Entstanden ist diese Mathematik ohne jeden Kontakt zu Europa, Afrika oder Asien. Gerade deshalb ist sie für die Geschichte der Mathematik so aufschlussreich: Sie belegt, dass Stellenwertsysteme und die Idee der Null mehrfach unabhängig voneinander erfunden wurden.

Die Maya-Kultur: Zeitrahmen und Quellen

Das Siedlungsgebiet der Maya umfasste den Süden Mexikos (die Halbinsel Yucatán, Chiapas und Tabasco), Guatemala, Belize sowie den Westen von Honduras und El Salvador. Die Archäologie teilt ihre Geschichte in drei große Abschnitte: die Präklassik (etwa 2000 v. Chr. bis 250 n. Chr.), die Klassik (etwa 250–900) mit mächtigen Stadtstaaten wie Tikal, Calakmul, Copán und Palenque und die Postklassik (etwa 900 bis zur Ankunft der Spanier) mit Zentren wie Chichén Itzá und Mayapán. Um 900 verfielen viele Städte im südlichen Tiefland; über die Ursachen, darunter Dürren, Kriege und erschöpfte Böden, wird bis heute gestritten. Die Maya selbst verschwanden nicht: Mehrere Millionen Menschen sprechen heute eine Maya-Sprache.

Die Maya lebten nicht isoliert, sondern in einem großen Kulturraum, den die Forschung Mesoamerika nennt. Punkt-Strich-Zahlen und die Lange Zählung tauchen zuerst bei Nachbarkulturen auf: bei den Zapoteken in Oaxaca und im olmekisch geprägten Gebiet an der Golfküste und am Isthmus von Tehuantepec. Die Maya übernahmen diese Werkzeuge und bauten sie zur reichsten Schrift- und Kalendertradition des vorspanischen Amerika aus.

Als Quellen dienen vor allem Hunderte Stelen, Altäre, Treppen und Gefäße mit Kalenderdaten, dazu Wandmalereien und vier erhaltene Faltbücher (Codices) aus Rindenpapier: der Dresdner, der Madrider und der Pariser Codex sowie der lange umstrittene Grolier-Codex, der heute als echt gilt und Códice Maya de México heißt. Viele weitere Bücher vernichteten spanische Missionare, am bekanntesten ist die Bücherverbrennung von Maní im Jahr 1562 unter dem Franziskaner Diego de Landa. Ausgerechnet Landas Bericht über Yucatán lieferte später wichtige Hinweise für die Entzifferung der Kalenderzeichen.

Was fehlt, sind Lehrbücher, Beweise und die Namen einzelner Mathematiker. Was die Maya rechnen konnten, muss aus den Ergebnissen erschlossen werden: aus Zahlenreihen, Datumsangaben und astronomischen Tafeln.

Das Zwanzigersystem: Punkte, Striche und Muschel

Drei Zeichen für alle Zahlen

Die Ziffern von 1 bis 19 setzen sich aus Punkten und Strichen zusammen. Ein Punkt bedeutet 1, ein Strich 5. Die 7 besteht also aus einem Strich mit zwei Punkten darüber, die 19 aus drei Strichen und vier Punkten. Mehr als vier Punkte oder drei Striche stehen nie in einer Stelle: Fünf Punkte werden zu einem Strich zusammengefasst, und vier Striche ergeben 20, also eine Einheit der nächsthöheren Stelle. Für die Null zeichneten die Schreiber der Handschriften meist ein Symbol, das an eine Muschel oder ein Schneckenhaus erinnert.

Neben der Punkt-Strich-Schreibweise verwendeten die Inschriften auch sogenannte Kopfvarianten: Jede Zahl von 0 bis 19 konnte durch den Kopf einer bestimmten Gottheit wiedergegeben werden, auf besonders prunkvollen Monumenten sogar durch ganze Figuren. Mathematisch änderte das nichts. Es handelte sich um eine kalligrafische Variante, vergleichbar mit verschiedenen Schriftarten für dieselbe Ziffer.

Warum gerade zwanzig? Die naheliegende Erklärung ist das Zählen mit Fingern und Zehen, wie es schon in der Vorgeschichte üblich gewesen sein dürfte. Die Bündelung in Fünfergruppen passt zu den Fingern einer Hand. Auch die Zahlwörter der Maya-Sprachen folgen dem Zwanzigersystem: Im Yukatekischen heißt 20 k’al, 400 bak’ und 8.000 pik.

Stellen von unten nach oben

Größere Zahlen schrieben die Maya senkrecht. Die unterste Stufe zählt die Einer, die zweite die Zwanziger, die dritte im reinen Zwanzigersystem die Vierhunderter (20²), die vierte die Achttausender (20³) und so weiter, also aufsteigende Potenzen von 20. Die Zahl 1.000 zerfällt so in 2 · 400 + 10 · 20 + 0: oben zwei Punkte, in der Mitte zwei Striche, unten das Nullzeichen. Ohne dieses Zeichen sähe die Zahl aus wie 2 · 20 + 10 = 50. Genau darin liegt der Wert der Null in einem Stellenwertsystem.

Eine Einschränkung ist wichtig: Fast alle erhaltenen Stellenwertzahlen sind Zeitangaben, und diese folgen einer abgewandelten Regel, bei der die dritte Stelle 360 statt 400 zählt (siehe Lange Zählung). Dass Waren oder Abgaben in einem reinen Zwanzigersystem gezählt wurden, schließt man vor allem aus den Zahlwörtern und aus spanischen Berichten der Kolonialzeit.

Rechnen mit Punkten und Strichen

Das Addieren war mit dieser Schrift besonders anschaulich: Man legte die Punkte und Striche zweier Zahlen Stelle für Stelle zusammen und bündelte dann neu. Ähnlich funktionierte das Subtrahieren durch Wegnehmen, notfalls nach dem „Entbündeln“ eines Strichs in fünf Punkte. Ein allgemeines Verfahren für Multiplikation oder Division ist dagegen nicht überliefert, ebenso wenig ein Rechnen mit Brüchen. Die Tabellen im Dresdner Codex enthalten zwar lange Reihen von Vielfachen, doch die lassen sich durch fortgesetztes Addieren erzeugen.

Statt mit Brüchen arbeiteten die Maya mit ganzzahligen Verhältnissen. Eine Aussage wie „81 Mondmonate dauern 2.392 Tage“ enthält dieselbe Information wie ein Bruch, kommt aber ohne ihn aus. Diese Technik prägt die gesamte astronomische Rechnung der Maya.

Die Null der Maya

Ein Stellenwertsystem braucht ein Zeichen für leere Stellen. Die ältesten bekannten Daten der Langen Zählung stammen aus dem 1. Jahrhundert v. Chr. und wurden außerhalb des Maya-Kerngebiets gefunden; das früheste steht auf der Stele 2 von Chiapa de Corzo in Chiapas und entspricht nach gängiger Lesung dem Dezember 36 v. Chr. Dieses Datum (7.16.3.2.13) enthält selbst keine Null, setzt aber ein festes Stellenschema voraus, in dem leere Positionen markiert werden müssen. Deshalb gilt das Nullkonzept in Mesoamerika als mindestens so alt. Da die frühesten Belege nicht von den Maya stammen, vermutet die Forschung, dass es bereits ihre Nachbarn kannten. In klassischen Maya-Inschriften und in den Codices ist das Nullzeichen dann vielfach belegt.

Zum Vergleich: In Babylonien kam spätestens im 1. Jahrtausend v. Chr. ein Lückenzeichen in Gebrauch, das meist nur im Inneren einer Zahl stand und nicht als eigene Zahl galt. Ptolemäus benutzte im 2. Jahrhundert n. Chr. ein eigenes Symbol in astronomischen Tabellen. In Indien wurde die Null im 7. Jahrhundert durch Brahmagupta zur Zahl, mit der man rechnen kann. Für die Maya ist ein solches Rechnen mit der Null, etwa Regeln wie a + 0 = a, nicht überliefert. Ihre Null war vor allem ein Platzhalter und ein Zeichen für einen vollendeten Zyklus.

Tzolk’in, Haab und Kalenderrunde

Der Tzolk’in ist ein Ritualkalender von 260 Tagen. Er kombiniert die Zahlen 1 bis 13 mit 20 Tagesnamen, die beide gleichzeitig weiterlaufen: Auf 1 Imix folgen 2 Ik’, 3 Ak’bal und so fort bis 13 Ben; dann beginnt die Zahlenreihe wieder bei 1 (1 Ix), während die Namen weiterlaufen. Erst nach 13 · 20 = 260 Tagen trifft dieselbe Zahl wieder auf denselben Namen. Der Haab ist ein Sonnenjahr aus 18 Monaten zu je 20 Tagen und fünf Zusatztagen (Wayeb’), insgesamt 365 Tage. Einen Schalttag kannte er nicht, sodass er sich gegenüber den Jahreszeiten langsam verschob.

Jeder Tag hatte einen Namen in beiden Kalendern, etwa „4 Ajaw 8 Kumk’u“. Wann kehrt eine solche Kombination wieder? Genau dann, wenn eine Zahl von Tagen vergangen ist, die sowohl durch 260 als auch durch 365 teilbar ist. Gesucht ist also das kleinste gemeinsame Vielfache. Diesen Zyklus von 52 Haab-Jahren nennt man Kalenderrunde; auch die Azteken kannten ihn und feierten seinen Abschluss mit einer Neufeuer-Zeremonie.

Daneben führten die Maya weitere Zyklen. Viele Inschriften enthalten eine Mondserie mit dem Alter des Mondes und der Position des Monats in einer Gruppe von sechs Lunationen. Hinzu kommt ein Zyklus von 819 Tagen, dessen Länge sich als 7 · 9 · 13 zerlegen lässt. Die Kunst der Maya-Schreiber bestand darin, all diese Kreisläufe gleichzeitig im Blick zu behalten.

Die Lange Zählung: Tage seit dem Anfang der Welt

Die Kalenderrunde wiederholt sich nach 52 Jahren. Für Geschichtsschreibung und Herrscherinschriften reichte das nicht, denn ein Datum musste eindeutig sein. Die Lange Zählung löste das Problem, indem sie schlicht alle Tage seit einem festen Anfangspunkt zählte. Dieser Nullpunkt, geschrieben 13.0.0.0.0 4 Ajaw 8 Kumk’u, entspricht nach der heute meist verwendeten Umrechnung (der sogenannten GMT-Korrelation) dem 11. August 3114 v. Chr. im gregorianischen Kalender. Für die Maya war es der Tag, an dem die gegenwärtige Welt ihren Anfang nahm.

Auffällig ist die dritte Stelle: Ein Tun umfasst 18 statt 20 Winal, also 360 Tage, was ungefähr einem Jahr entspricht. Ab dort wird wieder mit 20 gebündelt. Die Stellenwerte lauten daher 1, 20, 360, 7.200 und 144.000, und das System ist kein reines Zwanzigersystem mehr. Für sehr große Zeiträume gab es noch höhere Einheiten. Die Stele 1 von Cobá stellt dem Schöpfungsdatum sogar eine lange Reihe höherer Stellen voran, fast alle mit dem Wert 13, und beschreibt so eine Zeitspanne, die alle menschlichen Maßstäbe sprengt.

Der Dresdner Codex: ein Rechenbuch aus Rindenpapier

Die wichtigste Quelle für die Mathematik der Maya liegt heute in der Sächsischen Landesbibliothek, Staats- und Universitätsbibliothek Dresden. Der Dresdner Codex besteht aus 39 beidseitig beschriebenen Blättern, also 78 Seiten (davon vier leer), die wie ein Leporello gefaltet sind; ausgebreitet ist er gut dreieinhalb Meter lang. Das Papier wurde aus der Rinde von Feigenbäumen hergestellt und mit einer dünnen Kalkschicht überzogen, auf die die Schreiber mit Pinsel in Schwarz und Rot malten. Entstanden ist die Handschrift vermutlich im 13. Jahrhundert im Norden Yucatáns, wohl als Abschrift älterer Vorlagen.

Wie das Buch nach Europa kam, ist unbekannt. 1739 erwarb Johann Christian Götze, Leiter der kurfürstlichen Bibliothek in Dresden, die Handschrift von einem Privatmann in Wien. Lange konnte niemand sie lesen. Erst der Dresdner Bibliothekar Ernst Förstemann veröffentlichte 1880 eine vollständige Faksimile-Ausgabe und erkannte in den folgenden Jahren das Zwanzigersystem, die Null, die Lange Zählung und die Venus-Tafel. Im Februar 1945 erlitt der Codex bei den Luftangriffen auf Dresden schwere Wasserschäden; einige Seiten sind seither nur noch teilweise lesbar.

Inhaltlich besteht der Codex aus Wahrsage-Almanachen, die auf dem 260-Tage-Kalender beruhen, und aus astronomischen Teilen: der Venus-Tafel (Seiten 24 und 46–50), der Finsternistafel (Seiten 51–58), einer Tafel, die vermutlich mit dem Planeten Mars zusammenhängt, sowie Tabellen mit Vielfachen bestimmter Zahlen. Auf den Rechentafeln reihen sich Zahlenkolonnen aus Punkten, Strichen und Nullzeichen, oft im Wechsel von schwarzer und roter Farbe.

Venus-Tafel und Finsternistafel: Astronomie mit ganzen Zahlen

Die Venus erscheint abwechselnd als Morgen- und Abendstern. Von einem Erscheinen als Morgenstern bis zum nächsten vergehen im Mittel etwa 583,92 Tage; die Maya rechneten mit 584. Der Clou ihrer Venus-Tafel ist ein ganzzahliger Zusammenhang: Fünf Venus-Zyklen dauern 5 · 584 = 2.920 Tage und damit genau acht Haab-Jahre (8 · 365 = 2.920). Die ganze Tafel umfasst 65 Venus-Zyklen, also 37.960 Tage. Diese Zahl ist zugleich 104 Haab-Jahre, 146 Tzolk’in-Runden und zwei Kalenderrunden. Nach einem Durchgang stimmen alle drei Kreisläufe wieder überein.

Weil 584 etwas zu groß ist, sammelt sich pro Durchgang ein Fehler von rund fünf Tagen an. Die Einleitungsseiten der Tafel enthalten deshalb Korrekturen: An bestimmten Stellen wird der Startpunkt um einige Tage verschoben, sodass die Tafel über viele Generationen wiederverwendet werden konnte, ohne dass die Vorhersagen aus dem Ruder liefen. Ähnliches leistet eine Tafel mit Perioden von 780 Tagen (3 · 260), die viele Forschende auf den Mars beziehen, dessen mittlere Umlaufperiode von der Erde aus gesehen etwa 779,94 Tage beträgt.

Die Finsternistafel erfasst 405 Mondmonate in 11.960 Tagen und ordnet sie in Gruppen von sechs oder fünf Monaten. Diese Gruppen markieren die Zeitfenster, in denen Sonnen- oder Mondfinsternisse möglich sind. Auch hier steckt eine kalendarische Pointe darin: 11.960 Tage sind genau 46 Tzolk’in-Runden. Der daraus folgende Mittelwert von 11.960 : 405 ≈ 29,5309 Tagen pro Mondmonat liegt sehr nahe am heutigen Wert von 29,53059 Tagen. Ähnliche Gleichungen kennt man aus Inschriften: In Palenque setzte man 81 Mondmonate mit 2.392 Tagen gleich (dasselbe Verhältnis wie im Dresdner Codex), in Copán 149 Mondmonate mit 4.400 Tagen.

Fernrohre oder Winkelmessgeräte besaßen die Maya nicht. Ihre Genauigkeit beruhte auf geduldigen Beobachtungen über Jahrhunderte, auf Visierlinien zu Gebäuden und Horizontmarken und auf der Fähigkeit, lange Zahlenreihen fehlerfrei fortzuschreiben. Mathematisch betrachtet lösten sie Aufgaben, die heute zur Zahlentheorie gehören: Sie suchten Zeiträume, die gleichzeitig Vielfache mehrerer Perioden sind.

Schreiber, Gelehrte und Entzifferer

Namen einzelner Maya-Mathematiker sind nicht überliefert. Rechnen und Schreiben lagen in den Händen einer gebildeten Oberschicht. Schreiber trugen den Titel aj tz’ib („der vom Schreiben“) und stammten oft aus Adelsfamilien; auf Keramik und in Skulpturen erscheinen sie mit Pinseln und Schreibgefäßen. Einen seltenen Blick in ihre Arbeit gewährt ein kleiner Raum in Xultún (Guatemala), der 2010 entdeckt wurde. Seine Wände aus dem frühen 9. Jahrhundert tragen Mondtafeln und lange Zahlenreihen, die vermutlich auch die Zyklen von Venus und Mars betreffen. Sie zeigen, dass es astronomische Tafeln schon in der Klassik gab, Jahrhunderte vor dem Dresdner Codex.

Für die Wiederentdeckung der Maya-Mathematik waren vor allem Forscher der Neuzeit entscheidend. Ernst Förstemann entschlüsselte im 19. Jahrhundert das Zahlen- und Kalendersystem. Der sowjetische Linguist Juri Knorosow zeigte ab 1952, dass die Maya-Schrift auch Silbenzeichen enthält, und Tatiana Proskouriakoff wies 1960 nach, dass die Inschriften die Geschichte realer Herrscher erzählen. Seitdem lassen sich viele Texte lesen, in denen Zahlen und Daten eingebettet sind.

Zeitleiste der Maya-Mathematik

1. ca. 2000 v. Chr. Beginn der Präklassik: erste sesshafte Dorfgemeinschaften im Maya-Gebiet.
2. Mitte 1. Jt. v. Chr. Punkt-Strich-Zahlen und Kalenderdaten bei Nachbarkulturen in Oaxaca und im olmekisch geprägten Raum.
3. 36 v. Chr. Ältestes bekanntes Datum der Langen Zählung auf der Stele 2 von Chiapa de Corzo (nach gängiger Lesung).
4. 292 Stele 29 von Tikal: ältestes Long-Count-Datum im Maya-Tiefland.
5. ca. 250–900 Klassik: Stadtstaaten mit Hunderten datierter Monumente.
6. frühes 9. Jh. Astronomische Wandtafeln im Raum von Xultún.
7. vermutlich 13. Jh. Entstehung des Dresdner Codex mit Venus- und Finsternistafel.
8. 1562 Bücherverbrennung von Maní unter Diego de Landa.
9. 1697 Fall von Nojpetén, der letzten unabhängigen Maya-Stadt.
10. 1739 Johann Christian Götze erwirbt den Codex in Wien für Dresden.
11. 1880 Ernst Förstemann veröffentlicht das Faksimile und beginnt die Entschlüsselung der Zahlen.
12. 2012 Die Lange Zählung erreicht am 21. Dezember wieder den Stand 13.0.0.0.0.

Erbe und Einfluss der Maya-Mathematik

Auf die Mathematik Europas, Afrikas und Asiens hatte das Zwanzigersystem der Maya keinen Einfluss. Als die Spanier im 16. Jahrhundert kamen, brachten sie die über die islamische Welt vermittelten indisch-arabischen Ziffern mit, und die einheimische Schrifttradition brach innerhalb weniger Generationen ab. Gerade diese Unabhängigkeit macht die Maya-Mathematik wissenschaftsgeschichtlich wertvoll: Sie zeigt, dass Stellenwert und Null keine einmalige Erfindung waren. Die Babylonier kamen mit der Basis 60 zu einem Stellenwertsystem, die Maya mit der Basis 20, die Inder mit der Basis 10; die Römer dagegen kamen ganz ohne Stellenwert aus.

Im Vergleich mit der chinesischen Mathematik, die ihr Stellenwertsystem auf dem Rechenbrett lange ohne geschriebenes Nullzeichen betrieb, fällt auf, wie früh die Maya ein eigenes Zeichen für die leere Stelle besaßen. Anders als in Indien oder China entwickelte sich aus dieser Arithmetik aber keine Algebra oder Geometrie, zumindest ist davon nichts überliefert. Die Stärke der Maya lag im Umgang mit großen ganzen Zahlen, Perioden und ihren gemeinsamen Vielfachen.

Heute erleben die Maya-Ziffern ein kleines Comeback. In Mexiko und Guatemala gehören sie zum Schulunterricht, und seit 2018 sind die Zeichen 0 bis 19 als eigener Block im Unicode-Standard enthalten. Für den Unterricht sind sie ein ideales Beispiel, um zu zeigen, dass der Aufbau eines Zahlensystems nicht von der Basis 10 abhängt.

Häufige Fragen

Welches Zahlensystem benutzten die Maya?

Die Maya rechneten im Zwanzigersystem. Die Ziffern 0 bis 19 bestanden aus Punkten (1), Strichen (5) und einem Nullzeichen. Größere Zahlen schrieben sie senkrecht in Stufen, wobei jede höhere Stufe den zwanzigfachen Wert hatte. Bei Kalenderdaten zählte die dritte Stufe allerdings 360 statt 400.

Haben die Maya die Null erfunden?

Die Maya besaßen eines der frühesten Nullzeichen der Welt und nutzten es konsequent als Platzhalter. Die ältesten Hinweise auf das Nullkonzept in Mesoamerika stammen allerdings von Nachbarkulturen aus dem 1. Jahrhundert v. Chr. Unabhängig davon entstand die Null auch in Babylonien (als Lückenzeichen) und in Indien, wo sie als erste Kultur zur vollwertigen Rechenzahl wurde.

Was ist die Lange Zählung?

Die Lange Zählung ist eine fortlaufende Tageszählung seit einem mythischen Schöpfungstag, der dem 11. August 3114 v. Chr. entspricht. Sie nutzt die Einheiten K’in (1 Tag), Winal (20 Tage), Tun (360 Tage), K’atun (7.200 Tage) und B’ak’tun (144.000 Tage).

Sagten die Maya den Weltuntergang 2012 voraus?

Nein. Am 21. Dezember 2012 endete lediglich der 13. B’ak’tun, ein Zyklus von 1.872.000 Tagen. Maya-Inschriften nennen ausdrücklich Daten, die weit nach 2012 liegen.

Quellen und weiterführende Literatur

• Michael D. Coe: Breaking the Maya Code, Thames & Hudson, London 1992 (mehrfach überarbeitete Neuauflagen).
• Anthony F. Aveni: Skywatchers. A Revised and Updated Version of Skywatchers of Ancient Mexico, University of Texas Press, Austin 2001.
• Nikolai Grube (Hrsg.): Maya. Gottkönige im Regenwald, Könemann, Köln 2000.
• William A. Saturno, David Stuart, Anthony F. Aveni, Franco Rossi: Ancient Maya Astronomical Tables from Xultun, Guatemala. In: Science 336 (2012), S. 714–717.
• Anna Blume: Maya Concepts of Zero. In: Proceedings of the American Philosophical Society 155 (2011).
• MacTutor History of Mathematics: Mayan mathematics (englisch)