Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beschreibt, wie oft ein Ereignis in einer Reihe gleichartiger Versuche eintritt: wie viele Sechsen bei 10 Würfen fallen, wie viele von 20 Bauteilen defekt sind oder wie viele von 15 Patienten ein Medikament heilt. Sie gehört zu den wichtigsten Verteilungen der Schule und der Statistik.

Diese Seite vertieft den Abschnitt zur Binomialverteilung mit neuen Beispielen: Herleitung der Formel, Tabellen und kumulierte Wahrscheinlichkeiten, Sigma-Regeln und typische Abituraufgaben. Der Binomialverteilung-Rechner liefert alle Werte zur Kontrolle, das Arbeitsblatt Binomialverteilung gibt Übungsaufgaben. Den Binomialkoeffizienten brauchst du aus der Kombinatorik.

Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette

Ein Bernoulli-Experiment hat genau zwei Ausgänge: Treffer mit der Wahrscheinlichkeit $p$ und Niete mit der Wahrscheinlichkeit $q=1-p$. Beispiele sind „Sechs“ oder „keine Sechs“ beim Würfeln und „defekt“ oder „in Ordnung“ bei einem Bauteil. Wiederholst du es $n$-mal, und die Versuche beeinflussen sich nicht, entsteht eine Bernoulli-Kette der Länge $n$. Die Zufallsgröße $X$ zählt die Treffer. Sie ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$, man schreibt $X\sim B(n;p)$.

Das scheitert zum Beispiel beim Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Urne, denn nach jedem Zug ändert sich $p$. Dann gilt die hypergeometrische Verteilung (wie beim Lotto). Ist die Grundgesamtheit sehr groß im Vergleich zur Stichprobe, etwa 20 Bauteile aus einer Tagesproduktion von 10.000, ändert sich $p$ kaum, und die Binomialverteilung ist eine gute Näherung.

Die Formel von Bernoulli

Die Formel folgt aus dem Baumdiagramm. Das Bild zeigt eine Kette mit $n=3$ Versuchen. Jeder Pfad hat drei Äste, und es gibt $2^3=8$ Pfade:

Die Pfade mit genau zwei Treffern sind TTN, TNT und NTT. Jeder hat nach der Produktregel die Wahrscheinlichkeit $p·p·q=p^{2}q$. Weil es drei solche Pfade gibt, addierst du nach der Summenregel: $P(X=2)=3·p^2·q$. Die Zahl 3 ist die Zahl der Möglichkeiten, die zwei Treffer auf die drei Versuche zu verteilen, also $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)$.

Für $p=\mathrm{0,4}$ ergibt sich bei $n=3$ die Verteilung $P(X=0)=\mathrm{0,216}$, $P(X=1)=\mathrm{0,432}$, $P(X=2)=\mathrm{0,288}$ und $P(X=3)=\mathrm{0,064}$. Die Summe ist 1. Zum Beispiel $P(X=2)=3·{\mathrm{0,4}}^2·\mathrm{0,6}=3·\mathrm{0,16}·\mathrm{0,6}=\mathrm{0,288}$.

Im Schnitt ist $E(X)=20·\mathrm{0,05}=1$ Teil defekt. Trotzdem findest du mit etwa 26 % Wahrscheinlichkeit mindestens zwei defekte Teile in der Stichprobe.

Die Verteilung als Histogramm

Für $X\sim B(10;\mathrm{0,3})$ liefert die Formel die Werte der Tabelle. Die zweite Zeile enthält die kumulierten Werte $P(X\le k)$, die du gleich brauchst.

Die höchste Säule steht beim Erwartungswert 3. Für $p<\mathrm{0,5}$ ist die Verteilung rechtsschief (der lange Schwanz zeigt nach rechts), für $p>\mathrm{0,5}$ linksschief und nur für $p=\mathrm{0,5}$ symmetrisch. Mit wachsendem $n$ wird sie flacher und breiter und nähert sich der Glockenkurve der Normalverteilung, wie es de Moivre gezeigt hat.

Ein Sonderfall ist $p=\mathrm{0,5}$, etwa bei einer fairen Münze. Dann ist $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)·{\mathrm{0,5}}^n=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}{2^n}$, und die Zähler sind genau die Zahlen einer Zeile im Pascalschen Dreieck. Für $n=6$ sind das $1,6,15,20,15,6,1$, geteilt durch $2^6=64$. Die größte Wahrscheinlichkeit ist $\frac{20}{64}=\mathrm{0,3125}$ bei $k=3$. Der wahrscheinlichste Wert liegt meist nahe bei $n·p$.

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten

Bei Fragen wie „höchstens“ oder „mindestens“ musst du mehrere Säulen addieren. Dafür gibt es die kumulierte Verteilungsfunktion $F(k)=P(X\le k)$. Sie steht in Tabellenwerken, im Rechner oder lässt sich aufaddieren. Die wichtigsten Umformungen:

• $P(X\le k)=F(k)$
• $P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)=1-F(k-1)$
• $P(a\le X\le b)=F(b)-F(a-1)$
• $P(X>k)=1-F(k)$ und $P(X<k)=F(k-1)$

Hier passieren die meisten Fehler: „mindestens $k$“ führt zu $F(k-1)$, nicht zu $F(k)$.

Erwartungswert und Standardabweichung

Die Trefferzahl lässt sich als Summe von $n$ einzelnen Bernoulli-Zufallsgrößen schreiben, die jeweils 1 (Treffer) oder 0 (Niete) sind. Jede hat den Erwartungswert $p$ und die Varianz $p(1-p)$. Mit den Rechenregeln für Zufallsgrößen folgt:

Für $B(10;\mathrm{0,3})$ ist $\mu =3$, $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}=10·\mathrm{0,3}·\mathrm{0,7}=\mathrm{2,1}$ und $\sigma =\sqrt{\mathrm{2,1}}\approx \mathrm{1,45}$. Bei den 20 Bauteilen oben gilt $\mu =1$ und $\sigma =\sqrt{20·\mathrm{0,05}·\mathrm{0,95}}\approx \mathrm{0,97}$.

Die Sigma-Regeln

Bei genügend großem $\sigma$ (Faustregel $\sigma >3$) liegen die Trefferzahlen mit festen Wahrscheinlichkeiten im Bereich um $\mu$. Sei $X\sim B(100;\mathrm{0,3})$ mit $\mu =30$ und $\sigma \approx \mathrm{4,58}$. Die exakten Werte zeigt die Tabelle:

Die Sigma-Regeln sind Näherungen, aber gute. Mit ihnen schätzt du, welche Trefferzahlen noch „normal“ sind. Mit $\mu \pm 2\sigma$ sind es hier etwa 21 bis 39 Treffer, ein Wert von 45 wäre auffällig. Auf diesem Gedanken beruht der Hypothesentest.

Mindestens einmal und die Frage nach n

Die Wahrscheinlichkeit für „mindestens ein Treffer“ rechnet man über das Gegenereignis „kein Treffer“:

Mit 10 Würfen und $p=\frac{1}{6}$ erhältst du $P(\text{mindestens eine Sechs})=1-(\frac{5}{6}{)}^{10}\approx \mathrm{0,8385}$.

Der Weg über den Logarithmus ist nötig, weil $n$ im Exponenten steht. Ohne Logarithmus kannst du auch probieren und die Werte in den Rechner eintippen.

Typische Abituraufgaben

Im Abitur kommen ähnliche Fragen in vielen Verkleidungen vor. Ein Medikament heilt 80 % der Patienten. 15 Patienten werden behandelt, $X\sim B(15;\mathrm{0,8})$:

Dazu kommen Aufgaben zum Hypothesentest, bei denen du entscheidest, ob eine beobachtete Trefferzahl zu einer vermuteten Wahrscheinlichkeit passt, und die Näherung durch die Normalverteilung für große $n$.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: von Bernoulli zu de Moivre

Die Binomialkoeffizienten und das Pascalsche Dreieck waren schon lange bekannt. Jakob Bernoulli untersuchte in seiner Ars Conjectandi (1713) Folgen unabhängiger Versuche mit nur zwei Ausgängen. Nach ihm heißen Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette. Aus der Binomialverteilung leitete er das Gesetz der großen Zahlen ab.

Für große $n$ sind die Binomialkoeffizienten schwer zu berechnen. Abraham de Moivre fand 1733 eine Näherung durch eine Glockenkurve, die später Normalverteilung hieß. Mehr dazu bei Abraham de Moivre.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Binomialverteilung
• Wikipedia: Bernoulli-Prozess
• Wikipedia: Satz von Moivre-Laplace
• Wikipedia: Gesetz der großen Zahlen
• Jakob Bernoulli: Ars Conjectandi, Basel 1713.
• Abraham de Moivre: Approximatio ad summam terminorum binomii (a + b)ⁿ in seriem expansi, London 1733.