Eratosthenes von Kyrene

Eratosthenes von Kyrene war ein griechischer Gelehrter, der im 3. Jahrhundert v. Chr. in Alexandria lebte und dort die berühmte Bibliothek leitete. Er berechnete als Erster mit einer nachvollziehbaren Methode den Umfang der Erde, und nach ihm ist das Sieb des Eratosthenes benannt, ein einfaches Verfahren, mit dem man Primzahlen findet.

Eratosthenes war kein reiner Mathematiker. Er schrieb über Geographie, Astronomie, Literatur und Philosophie, dichtete und entwarf eine Weltkarte. Seine Zeitgenossen nannten ihn halb spöttisch „Pentathlos“ (Fünfkämpfer) und „Beta“, weil er in vielen Fächern glänzte, aber in keinem der Allererste war. Von seinen eigenen Schriften ist fast nichts erhalten. Das meiste wissen wir aus Berichten späterer Autoren.

Leben: Von Kyrene nach Alexandria

Eratosthenes wurde um 276 v. Chr. in Kyrene an der Küste des heutigen Libyen geboren und ging zum Studium nach Athen, damals das Zentrum der Philosophie. Um 245 v. Chr. holte ihn König Ptolemaios III. nach Alexandria, wo er den Thronfolger unterrichtete. Später übernahm er die Leitung der Bibliothek von Alexandria, der größten Büchersammlung der Antike. Dort folgte er auf den Dichter Apollonios von Rhodos, der nicht mit dem Mathematiker Apollonios von Perge zu verwechseln ist.

In Alexandria wirkte damals auch die Schule von Euklid. Mit Archimedes in Syrakus stand Eratosthenes im Austausch: Archimedes schickte ihm seine Methodenlehre und verriet darin, wie er seine Ergebnisse zuerst durch mechanische Überlegungen fand, bevor er sie streng bewies.

Eratosthenes starb um 194 v. Chr. in Alexandria. Spätere Quellen erzählen, er sei im Alter erblindet und habe sich dann selbst verhungern lassen. Eine andere Überlieferung spricht schlicht von einem Tod mit etwa 80 Jahren. Was stimmt, ist offen.

Die Messung des Erdumfangs

Dass die Erde eine Kugel ist, wussten gebildete Griechen schon lange. Eratosthenes fragte als Erster so, dass man die Antwort ausrechnen konnte: Wie groß ist diese Kugel? Seine Schrift Über die Vermessung der Erde ist verloren. Die Rechnung kennen wir vor allem aus dem Bericht des späteren Autors Kleomedes.

Zur Sommersonnenwende steht die Sonne mittags in Syene, dem heutigen Assuan, senkrecht am Himmel, und ein Stab wirft dort keinen Schatten. Im weiter nördlich gelegenen Alexandria wirft derselbe Stab zur selben Zeit einen Schatten. Eratosthenes maß den Winkel zwischen Stab und Sonnenstrahl und erhielt ein Fünfzigstel eines Vollkreises, also 7,2°. Die Sonne ist so weit entfernt, dass ihre Strahlen praktisch parallel einfallen. Deshalb ist der Schattenwinkel genauso groß wie der Winkel am Erdmittelpunkt zwischen den beiden Städten.

Wie genau war das?

Ein Stadion war kein einheitliches Längenmaß. Rechnet man mit 157,5 m, kommen 39.375 km heraus, mit 185 m dagegen rund 46.250 km. Der heutige Wert liegt bei etwa 40.000 km. Ob Eratosthenes also erstaunlich genau war, lässt sich nicht sagen. Sicher ist, dass seine Methode stimmt. Zwei kleine Fehler steckten ebenfalls darin: Syene liegt nicht genau südlich von Alexandria, sondern rund drei Grad weiter östlich, und nicht exakt auf dem Wendekreis. Die Fehler heben sich teilweise auf.

Das Sieb des Eratosthenes: Primzahlen finden

Eine Primzahl ist eine Zahl größer als 1, die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist: 2, 3, 5, 7, 11 und so weiter. Alle anderen Zahlen ab 2 heißen zusammengesetzt. Das Sieb filtert die zusammengesetzten Zahlen heraus, bis nur Primzahlen übrig bleiben. Der Name geht auf Eratosthenes zurück, beschrieben wird das Verfahren aber erst von Nikomachos von Gerasa um 100 n. Chr. Ob Eratosthenes es selbst erfunden hat, ist unklar.

1. Man schreibt die Zahlen von 2 bis 50 auf.
2. Die erste ungestrichene Zahl ist 2. Sie bleibt stehen, alle ihre weiteren Vielfachen (4, 6, 8, …) werden gestrichen.
3. Die nächste ungestrichene Zahl ist 3. Sie bleibt stehen, ihre Vielfachen werden gestrichen.
4. Dasselbe geschieht mit 5 und mit 7. Danach ist das Sieb fertig.

Warum darf man bei 7 aufhören? Jede zusammengesetzte Zahl bis 50 hat einen Teiler, der höchstens √50 ≈ 7,07 beträgt. Weil schon 11 · 11 = 121 größer als 50 ist, kann 11 keine neue Zahl mehr streichen. Gestrichen wurden 34 Zahlen, von den 49 Zahlen zwischen 2 und 50 bleiben also 15 Primzahlen übrig. Eine Anleitung zum Selbermachen bietet der Lernbereich Zahlen. Dass die Reihe der Primzahlen nie endet, bewies später Euklid.

Weitere Arbeiten: Landkarte, Kalender, Würfelverdopplung

In den Geographika beschrieb Eratosthenes in drei Büchern die bekannte Welt. Er ordnete Orte in ein Netz aus Längen- und Breitenlinien und zeichnete eine Weltkarte. Der Begriff „Geographie“ soll von ihm stammen. Hipparchos kritisierte ihn später, weil viele Ortsangaben nicht auf Himmelsbeobachtungen beruhten, und forderte, jeden Ort astronomisch festzulegen.

Auch ein klassisches Rätsel der Geometrie beschäftigte ihn, die Würfelverdopplung: Wie lang muss die Kante eines Würfels sein, damit sein Volumen doppelt so groß wird? Mit Zirkel und Lineal allein geht das nicht. Eratosthenes baute dafür ein mechanisches Gerät, das Mesolabium, und widmete es König Ptolemaios III. in einem Epigramm, einem kurzen Gedicht. Es ist sein einziges vollständig erhaltenes Gedicht. Außerdem soll er die Schiefe der Ekliptik, also die Neigung der Erdachse, mit rund 23°51′ bestimmt haben.

Zeitleiste: Eratosthenes und seine Zeit

1. um 276 v. Chr. Geburt in Kyrene (heute Libyen).
2. um 245 v. Chr. König Ptolemaios III. holt Eratosthenes nach Alexandria.
3. um 240 v. Chr. Messung des Erdumfangs (Datierung unsicher).
4. danach Eratosthenes übernimmt die Leitung der Bibliothek von Alexandria.
5. um 194 v. Chr. Tod in Alexandria.
6. 2. Jh. v. Chr. Hipparchos kritisiert die Geographika.
7. um 100 n. Chr. Nikomachos von Gerasa beschreibt das Sieb des Eratosthenes.

Bedeutung heute: Wo uns Eratosthenes begegnet

Wer eine unzugängliche Größe aus Winkeln und einer bekannten Strecke bestimmt, arbeitet noch heute wie Eratosthenes. Die Landvermessung tut das mit Dreiecksnetzen, die Trigonometrie liefert dazu das Werkzeug. Viele Schulklassen wiederholen das Experiment mit einer Partnerschule im Norden oder Süden: Beide messen zur selben Zeit am Mittag den Schatten eines Stabes, und aus dem Winkelunterschied und der Entfernung der Orte folgt der Erdumfang. Auf dem Mond trägt ein Krater den Namen Eratosthenes.

Auch das Sieb lebt weiter. Primzahlen sichern heute das Bezahlen im Internet, und wer sie in großen Listen braucht, beginnt oft mit einer Variante des Siebs. Mehr zu den Zahlen selbst steht im Lernbereich Zahlen und ihre Eigenschaften, den Rahmen dieser Zeit beschreibt der Artikel Hellenistische Mathematik.

Häufige Fragen

Wie hat Eratosthenes den Erdumfang gemessen?

Er verglich den Sonnenstand in Syene und Alexandria zur Sommersonnenwende. Der Schattenwinkel von 7,2° ist ein Fünfzigstel eines Vollkreises. Bei einem Abstand der Städte von 5.000 Stadien ergibt das 250.000 Stadien für den ganzen Umfang.

Was ist das Sieb des Eratosthenes?

Es ist ein Verfahren, um alle Primzahlen bis zu einer Grenze zu finden. Man streicht der Reihe nach die Vielfachen jeder Primzahl. Was am Ende übrig bleibt, sind Primzahlen.

Wie lang war ein Stadion?

Das ist nicht sicher. Je nach Maßsystem rechnet man mit etwa 157 bis 185 Metern. Deshalb lässt sich das Ergebnis von Eratosthenes nicht eindeutig in Kilometer umrechnen.

Quellen und weiterführende Literatur

• Klaus Geus: Eratosthenes von Kyrene. Studien zur hellenistischen Kultur- und Wissenschaftsgeschichte, C. H. Beck, München 2002.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Eratosthenes of Cyrene (englisch)
• Wikipedia: Eratosthenes