Pierre-François Verhulst

Pierre-François Verhulst (1804–1849) war ein belgischer Mathematiker. Er ist heute vor allem als Entdecker der logistischen Gleichung bekannt. Sie beschreibt, wie eine Bevölkerung wächst, wenn Platz und Nahrung begrenzt sind: Am Anfang wächst sie fast exponentiell, dann bremst das Wachstum, und die Zahl nähert sich einer Obergrenze. Die Kurve dazu hat die Form eines lang gezogenen S.

Verhulst widersprach damit dem englischen Ökonomen Thomas Robert Malthus, der 1798 behauptet hatte, die Bevölkerung wachse geometrisch, also ohne Grenze. Verhulst veröffentlichte seine Idee 1838. Sie blieb jahrzehntelang kaum beachtet und wurde im 20. Jahrhundert mehrfach wiederentdeckt. Heute steht sie in jedem Lehrbuch zu den Wachstumsmodellen.

Leben: Schüler von Quetelet

Verhulst wurde 1804 in Brüssel geboren. Am Athenäum der Stadt unterrichtete ihn Adolphe Quetelet, der später ein berühmter Statistiker wurde und sein Förderer und Freund blieb. 1822 beendete Verhulst die Schule und begann ein Studium der exakten Wissenschaften in Gent. Dort errang er innerhalb eines Jahres zwei Preise, einen in Leiden für Überlegungen zu Maxima und Minima und die Goldmedaille der Universität Gent für eine Arbeit zur Variationsrechnung. 1825 promovierte er mit einer Arbeit über binomische Gleichungen. Zeitweise plante er, die gesammelten Werke von Leonhard Euler herauszugeben, gab den Plan aber zugunsten der Sozialstatistik auf.

Verhulst war lange kränklich, vermutlich an Tuberkulose erkrankt. Er musste deshalb Lehrverpflichtungen aufgeben und reiste 1830 nach Rom, in der Hoffnung auf das milde Klima. Dort erlebte er ein Abenteuer: Er arbeitete einen Verfassungsentwurf für den Kirchenstaat aus und wollte ihn dem Papst übergeben. Die römischen Behörden wiesen ihn aus. Als in Belgien die Revolution ausbrach, trat er 1831 in die Armee ein. Ein Jahr später half er Quetelet bei der Berechnung von Sterbetafeln für den neuen belgischen Staat.

1834 wurde Verhulst auf Empfehlung Quetelets Lehrer für Analysis an der neu gegründeten Militärakademie in Brüssel. 1835 berief ihn die Université Libre de Bruxelles zum Professor der Mathematik, wo er Astronomie, Himmelsmechanik, Differential- und Integralrechnung, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Geometrie lehrte. 1841 wurde er in die Belgische Akademie der Wissenschaften gewählt, 1848 ihr Präsident. Er starb 1849 mit nur 44 Jahren. Die letzten Jahre waren von seiner Krankheit überschattet: Er ging weiter zur Arbeit, brauchte aber für den kurzen Weg mehr als eine Stunde.

Das Gesetz des Bevölkerungswachstums

Verhulst begann sich unter dem Einfluss Quetelets für Wahrscheinlichkeitsrechnung und Bevölkerungsstatistik zu interessieren. Damals galt Malthus’ Lehre: Die Bevölkerung wächst wie eine geometrische Folge, also exponentiell, und verdoppelt sich in gleichen Zeiträumen, zum Beispiel alle 25 Jahre. Quetelet vermutete, dass Kräfte dieses Wachstum bremsen. Verhulst ging der Sache mathematisch nach.

Seine Überlegung: Der Satz von Malthus stimmt nur, solange man außer Acht lässt, dass es immer schwerer wird, genug Nahrung zu finden. Die Bevölkerung kann nicht über das hinaus wachsen, was Größe und Fruchtbarkeit des Landes tragen. Wächst sie, nähert sie sich also einem Gleichgewichtswert. Dieses Bremsen sollte stärker werden, je mehr sich die Bevölkerung der Grenze nähert.

Seine erste Arbeit dazu, die Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement, erschien 1838 in der von Quetelet herausgegebenen Correspondance mathématique et physique. Eine ausführliche Fassung trug er am 30. November 1844 vor, gedruckt wurde sie 1845 unter dem Titel Recherches mathématiques sur la loi d’accroissement de la population. Dabei nannte er die Kurve der Lösung „courbe logistique“. 1847 folgte ein zweiter Aufsatz, in dem er Kritik an seinem eigenen Modell übte und den Korrekturterm änderte.

Verhulst wandte sein Modell auf Belgien an und schätzte, die Bevölkerung des Landes werde sich der Obergrenze von etwa 9,4 Millionen nähern. Wie die Gleichung rechnerisch gelöst wird und wie man mit ihr rechnet, steht bei den Differentialgleichungen.

Vergessen und wiederentdeckt

Verhulsts Gleichung wurde lange nicht beachtet. Quetelets Nachruf lobte vor allem Verhulsts Arbeiten zu elliptischen Funktionen und kritisierte die zur Bevölkerung. Hinzu kam, dass Verhulst selbst Zweifel an seinem Modell geäußert hatte. Im 20. Jahrhundert wurde die Gleichung mehrfach neu gefunden. 1911 stellte sie A. G. McKendrick für das Wachstum von Bakterien in einer Nährlösung auf. 1920 stießen Raymond Pearl und Lowell Reed an der Johns Hopkins University in Baltimore bei der Untersuchung von Bevölkerungszahlen auf dieselbe Kurve, und manchmal heißt sie deshalb Verhulst-Pearl-Gleichung. 1925 leitete sie Alfred Lotka erneut her und nannte sie das Gesetz des Bevölkerungswachstums.

Heute begegnet man der logistischen Funktion in vielen Gebieten, von der Ökologie über die Wirtschaft bis zu künstlichen neuronalen Netzen. Seit den 1970er-Jahren findet die logistische Gleichung zudem in der Chaostheorie Beachtung, weil sie schon in einfacher Form überraschend komplexes Verhalten zeigen kann; Edward Lorenz gehört zu den Wegbereitern dieses Gebiets. Zu den Grundlagen zählt auch die Exponentialfunktion, aus der das logistische Wachstum hervorgeht.

Elliptische Funktionen und weitere Arbeiten

Zu Lebzeiten galt Verhulst vor allem als Mathematiker der elliptischen Funktionen. Er kaufte bei einer Versteigerung die gesammelten Werke von Adrien-Marie Legendre und las die Arbeiten von Niels Henrik Abel und Carl Gustav Jacob Jacobi. Daraus entstand sein Traité élémentaire des fonctions elliptiques (1841), ein kritischer Überblick über diese Theorie, den Quetelet hoch lobte. Das Werk trug dazu bei, dass er im selben Jahr in die Belgische Akademie gewählt wurde. Bereits 1829 hatte er gemeinsam mit Quetelet das Buch Theory of Light des britischen Astronomen John Herschel ins Französische übersetzt.

Seine Arbeit zur Bevölkerung hängt eng mit Quetelets Statistik zusammen. Quetelet hatte die Methoden der Sternkunde auf die Gesellschaft übertragen und das Bild vom „mittleren Menschen“ geprägt, nachzulesen im Abschnitt Quetelet und der mittlere Mensch auf der Seite Statistik. Verhulst übertrug diese Denkweise auf die Frage, wie Gesellschaften wachsen.

Zeitleiste: Pierre-François Verhulsts Leben

1. 1804 Geburt in Brüssel am 28. Oktober
2. 1825 Promotion an der Universität Gent am 3. August
3. 1830 Aufenthalt in Rom, Verfassungsentwurf für den Kirchenstaat
4. 1835 Professor an der Université Libre de Bruxelles
5. 1838 Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement
6. 1841 Traité élémentaire des fonctions elliptiques, Aufnahme in die Belgische Akademie
7. 1845 Veröffentlichung der Recherches mathématiques mit der „courbe logistique“
8. 1848 Präsident der Belgischen Akademie der Wissenschaften
9. 1849 Tod in Brüssel am 15. Februar

Bedeutung und Nachwirkung

Verhulst zeigte, dass Wachstum nicht unbegrenzt sein kann und dass sich diese Einsicht in einer einfachen Formel fassen lässt. Seine Kurve gehört heute zu den Standardmodellen: für Tierbestände in einem begrenzten Lebensraum, für die Ausbreitung von Pflanzen und Krankheiten oder für Märkte, die sich sättigen. Sie macht auch verständlich, warum sich Prognosen mit dem exponentiellen Modell, wie es Malthus aufstellte, nur für kurze Zeit bewähren.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Pierre-François Verhulst: Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement. In: Correspondance mathématique et physique 10 (1838), S. 113–121.
• Pierre-François Verhulst: Recherches mathématiques sur la loi d’accroissement de la population. In: Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles 18 (1845), S. 1–42.
• Pierre-François Verhulst: Deuxième mémoire sur la loi d’accroissement de la population. In: Mémoires de l’Académie Royale de Belgique 20 (1847), S. 1–32.
• Bernard Delmas: Pierre-François Verhulst et la loi logistique de la population. In: Mathématiques et sciences humaines 167 (2004), S. 51–81.
• MacTutor History of Mathematics: Pierre Verhulst (englisch)
• Wikipedia: Pierre-François Verhulst