Steckbriefaufgaben: Funktionsgleichung bestimmen

Bei einer Steckbriefaufgabe ist der Graph einer ganzrationalen Funktion wie bei einem Fahndungsplakat nur durch Eigenschaften beschrieben: „Gesucht ist eine Funktion 3. Grades mit Hochpunkt $H (1 | 3)$ und Tiefpunkt $T (3 | - 1)$ .“ Du sollst die Funktionsgleichung finden. Es ist die Umkehrung der Kurvendiskussion, bei der du aus der Gleichung die Eigenschaften bestimmst.

Dafür brauchst du die ganzrationalen Funktionen und ihre Ableitungen. Der Weg ist immer derselbe: Ansatz aufstellen, die Eigenschaften in Gleichungen übersetzen, das Gleichungssystem lösen und die Probe machen. Zum Üben gibt es die Aufgabenseite Steckbriefaufgaben: Übungen.

Schritt 1: Der Ansatz nach dem Grad

Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ hat $n + 1$ Koeffizienten, zum Beispiel $a, b, c, d$ bei Grad 3. Diese Zahlen sind die Unbekannten. Du brauchst darum $n + 1$ unabhängige Bedingungen. Ist der Grad nicht angegeben, schließt du ihn aus der Zahl der Bedingungen: Bei vier Bedingungen genügt Grad 3.

Der Ansatz je nach Grad und Symmetrie
Funktion	Ansatz	Unbekannte
Grad 2	$f (x) = a x^{2} + b x + c$	3
Grad 3	$f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$	4
Grad 4	$f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$	5
Grad 4, achsensymmetrisch zur $y$ -Achse	$f (x) = a x^{4} + b x^{2} + c$	3
Grad 3, punktsymmetrisch zum Ursprung	$f (x) = a x^{3} + b x$	2

Bei Achsensymmetrie zur $y$ -Achse kommen nur gerade Exponenten vor, bei Punktsymmetrie zum Ursprung nur ungerade. Das ist die Erkenntnis aus dem Abschnitt Symmetrie. Die fehlenden Glieder sind null, und diese Bedingungen bekommst du kostenlos.

Schreibe sofort die Ableitungen mit auf. Für Grad 3 sind das

f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c, f'' (x) = 6 a x + 2 b .

Vorsicht: Die Koeffizienten bleiben beim Ableiten stehen, $a$ wird zu $3 a$ und nicht zu 1.

Schritt 2: Eigenschaften in Gleichungen übersetzen

Übersetzungstabelle für Steckbriefaufgaben
Eigenschaft im Text	Gleichung(en)
Der Graph geht durch $P (2 \| 5)$	$f (2) = 5$
Schnittpunkt mit der $y$ -Achse bei 3	$f (0) = 3$
Nullstelle bei $x = 4$	$f (4) = 0$
Extrempunkt (Hoch- oder Tiefpunkt) $E (1 \| 3)$	$f (1) = 3$ und $f' (1) = 0$
Extremstelle bei $x = 1$ , $y$ unbekannt	$f' (1) = 0$
Wendepunkt $W (2 \| 2)$	$f (2) = 2$ und $f'' (2) = 0$
Sattelpunkt $S (1 \| 1)$	$f (1) = 1$ , $f' (1) = 0$ und $f'' (1) = 0$
Steigung $m$ an der Stelle $a$	$f' (a) = m$
Wendetangente $y = - 3 x + 8$ im Wendepunkt $W (2 \| 2)$	$f (2) = 2$ , $f'' (2) = 0$ und $f' (2) = - 3$
Graph berührt die $x$ -Achse bei $x = 3$	$f (3) = 0$ und $f' (3) = 0$
Graph berührt die Gerade $y = m x + t$ bei $x = a$	$f (a) = m a + t$ und $f' (a) = m$

Schritt 3: Das Gleichungssystem lösen

Die Gleichungen sind linear in den Unbekannten $a, b, c, \dots$ . Du löst sie mit den Verfahren für lineare Gleichungssysteme:

Einfache Gleichungen zuerst: $f (0) = d$ liefert sofort $d$ , und $f' (0) = c$ liefert $c$ . Setze solche Werte in die anderen Gleichungen ein.
Einsetzen: Löse eine Gleichung nach einer Unbekannten auf und setze das Ergebnis in die übrigen ein.
Gauß-Verfahren: Subtrahiere Gleichungen voneinander, bis eine Unbekannte nach der anderen wegfällt. Mehr dazu bei Matrizen und Gauß-Verfahren.

Für größere Systeme kannst du den Gleichungssystem-Rechner nutzen. Den Rechenweg musst du in einer Klausur aber meist selbst zeigen.

Schritt 4: Probe und Antwort

Setze die gefundene Funktion in alle Bedingungen ein, nicht nur in die, die du zuletzt benutzt hast. Prüfe außerdem, ob die Art des Punkts stimmt: Ist ein Hochpunkt verlangt, muss $f'' (x_{0}) < 0$ sein. Schreibe zum Schluss einen Antwortsatz mit der Funktionsgleichung.

Beispiel 1: mit Symmetrie

Ohne die Symmetrie hätte der Ansatz fünf Unbekannte, und die drei Bedingungen reichten nicht aus.

Beispiel 2: mit Wendetangente

Beispiel: Funktion 3. Grades mit Wendetangente

Aufgabe: Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung und hat den Wendepunkt $W (2 | 2)$ . Die Wendetangente hat die Gleichung $y = - 3 x + 8$ .

Ansatz: $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ , $f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ , $f'' (x) = 6 a x + 2 b$ .
Bedingungen: (I) $f (0) = 0$ , (II) $f (2) = 2$ , (III) $f'' (2) = 0$ , (IV) $f' (2) = - 3$ . Die Steigung $- 3$ der Wendetangente ist die Steigung des Graphen im Wendepunkt.
Gleichungen: (I) $d = 0$ , (II) $8 a + 4 b + 2 c + d = 2$ , (III) $12 a + 2 b = 0$ , (IV) $12 a + 4 b + c = - 3$ .
Lösen: Aus (III) folgt $b = - 6 a$ . Aus (IV) folgt $c = - 3 - 12 a - 4 b = - 3 - 12 a + 24 a = 12 a - 3$ . In (II) eingesetzt: $8 a - 24 a + 24 a - 6 = 2$ , also $8 a = 8$ und $a = 1$ . Damit sind $b = - 6$ und $c = 9$ .
Probe: Für $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ gilt $f (2) = 8 - 24 + 18 = 2$ , $f' (2) = 12 - 24 + 9 = - 3$ und $f'' (2) = 12 - 12 = 0$ . Wegen $f''' (x) = 6 \neq 0$ liegt wirklich ein Wendepunkt vor.

Antwort: $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ .

Diese Funktion kennst du schon: Sie ist das Hauptbeispiel der Kurvendiskussion. Dort wurde aus der Gleichung der Wendepunkt bestimmt, hier der Weg zurück.

Beispiel 3: Hoch- und Tiefpunkt mit dem Gauß-Verfahren

Beispiel: Funktion 3. Grades mit zwei Extrempunkten

Aufgabe: Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades mit dem Hochpunkt $H (1 | 3)$ und dem Tiefpunkt $T (3 | - 1)$ .

Bedingungen: $f (1) = 3$ , $f' (1) = 0$ , $f (3) = - 1$ , $f' (3) = 0$ . Mit dem Ansatz von oben ergibt das:

(I) $a + b + c + d = 3$
(II) $3 a + 2 b + c = 0$
(III) $27 a + 9 b + 3 c + d = - 1$
(IV) $27 a + 6 b + c = 0$

Gauß-Verfahren: Du eliminierst schrittweise Unbekannte, bis nur noch $a$ übrig bleibt.

(IV) − (II) ergibt (V): $24 a + 4 b = 0$ .
(III) − (I) ergibt (VI): $26 a + 8 b + 2 c = - 4$ . Dann (VI) − 2 · (II) ergibt (VII): $20 a + 4 b = - 4$ .
(VII) − (V) ergibt $- 4 a = - 4$ , also $a = 1$ .
Aus (V): $24 + 4 b = 0$ , also $b = - 6$ . Aus (II): $3 - 12 + c = 0$ , also $c = 9$ . Aus (I): $1 - 6 + 9 + d = 3$ , also $d = - 1$ .

Probe: Für $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 1$ ist $f (1) = 3$ , $f (3) = 27 - 54 + 27 - 1 = - 1$ und $f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x - 1) (x - 3)$ hat die Nullstellen 1 und 3. Mit $f'' (x) = 6 x - 12$ gilt $f'' (1) = - 6 < 0$ (Hochpunkt) und $f'' (3) = 6 > 0$ (Tiefpunkt).

Antwort: $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 1$ .

Gesucht war die Funktion 3. Grades mit Hochpunkt H(1|3) und Tiefpunkt T(3|−1). Das Ergebnis f(x) = x³ − 6x² + 9x − 1 erfüllt alle vier Bedingungen.

Anwendung: glatte Übergänge

Steckbriefaufgaben haben praktischen Nutzen: Sie verbinden Kurvenstücke ohne Knick. Zwei Straßenstücke liegen parallel mit einem Höhenunterschied von 2 und einem Abstand von 4 (alle Angaben in derselben Längeneinheit). Die Straße 1 läuft bei $y = 0$ bis zum Punkt $A (0 | 0)$ , die Straße 2 beginnt in $B (4 | 2)$ bei $y = 2$ . Dazwischen soll eine Funktion $f$ ohne Knick verbinden. Das heißt: $f (0) = 0$ , $f' (0) = 0$ , $f (4) = 2$ und $f' (4) = 0$ . Damit ist $d = 0$ und $c = 0$ , und aus $64 a + 16 b = 2$ und $48 a + 8 b = 0$ folgen $a = - \frac{1}{16}$ und $b = \frac{3}{8}$ :

f (x) = - \frac{x^{3}}{16} + \frac{3 x^{2}}{8} .

Zwei parallele Straßenstücke mit einem Höhenunterschied von 2 werden durch eine ganzrationale Funktion ohne Knick verbunden. Die Kurve vom Grad 3 passt Wert und Steigung an, die vom Grad 5 zusätzlich die Krümmung.

Die Kurve hat in $A$ und $B$ kein Knick, die Krümmung springt aber: Es ist $f'' (0) = \frac{3}{4}$ und $f'' (4) = - \frac{3}{4}$ , auf den geraden Stücken ist sie null. Ein Fahrer müsste das Lenkrad plötzlich bewegen. Bezieht man $f'' (0) = 0$ und $f'' (4) = 0$ mit ein, braucht man sechs Bedingungen und Grad 5. Das Ergebnis ist $f (x) = \frac{5}{16} x^{3} - \frac{15}{128} x^{4} + \frac{3}{256} x^{5}$ (gestrichelt im Bild). Im echten Straßenbau verwendet man dafür meist Klothoiden, bei denen die Krümmung linear mit der Bogenlänge wächst. Bei der Bahn nutzt man bei niedrigeren Geschwindigkeiten auch kubische Parabeln.

Ein zweites Beispiel ist ein Brückenbogen. Er ist symmetrisch, 40 m breit und in der Mitte 8 m hoch. Mit dem Ansatz $f (x) = a x^{2} + c$ , $f (0) = 8$ und $f (20) = 0$ ergibt sich $f (x) = - 0,02 x^{2} + 8$ . In 10 m Abstand von der Mitte ist der Bogen noch $f (10) = 6$ m hoch.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: Kurven durch vorgegebene Punkte

Die Aufgabe, eine Kurve durch vorgegebene Punkte zu legen, heißt in der Mathematik Interpolation. Zwei bekannte Verfahren tragen die Namen von Newton und Lagrange: die Newton-Interpolation und die Lagrange-Interpolation. Werden außer den Funktionswerten auch Ableitungen vorgegeben wie bei Steckbriefaufgaben, spricht man von der Hermite-Interpolation, nach dem französischen Mathematiker Charles Hermite. Gelöst werden die entstehenden Gleichungssysteme mit dem Eliminationsverfahren, das nach Gauß benannt ist. Seine Geschichte steht bei den linearen Gleichungssystemen.

Häufige Fragen

Woher weiß ich, welchen Grad ich ansetzen muss?

Oft steht der Grad in der Aufgabe. Sonst zählst du die Bedingungen: Mit $n + 1$ Bedingungen kommst du mit Grad $n$ aus. Symmetrie verringert die Zahl der Unbekannten.

Was tun, wenn das Gleichungssystem keine Lösung hat?

Dann gibt es keine Funktion dieses Grades mit allen Eigenschaften, oder du hast dich verrechnet. Prüfe zuerst die Ableitungen und das Aufstellen der Gleichungen, danach erhöhe notfalls den Grad.

Warum heißt es Steckbriefaufgabe?

Wie bei einem Steckbrief, der eine gesuchte Person durch Merkmale beschreibt, wird hier eine gesuchte Funktion durch Merkmale ihres Graphen beschrieben.

Kann ich auch gebrochenrationale oder Exponentialfunktionen bestimmen?

Ja, mit demselben Prinzip: Ansatz, Bedingungen, System. Bei Funktionen wie $f (x) = a \cdot e^{k x}$ ist das System nicht mehr linear in allen Unbekannten und wird schwieriger.

Schritt 1: Der Ansatz nach dem Grad

Schritt 2: Eigenschaften in Gleichungen übersetzen

Schritt 3: Das Gleichungssystem lösen

Schritt 4: Probe und Antwort

Beispiel 1: mit Symmetrie

Beispiel 2: mit Wendetangente

Beispiel 3: Hoch- und Tiefpunkt mit dem Gauß-Verfahren

Anwendung: glatte Übergänge

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: Kurven durch vorgegebene Punkte

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

Weiterlesen

Analysis

Ganzrationale Funktionen

Lineare Gleichungs­systeme

Matrizen

Carl Friedrich Gauß

Extremwertaufgaben

Lineare Gleichungssysteme