Isaac Newton

Isaac Newton (1643–1727) war ein englischer Mathematiker, Physiker und Astronom. In den Jahren 1665 und 1666 entwickelte er als junger Absolvent der Universität Cambridge seine „Fluxionsrechnung“, eine Form der Infinitesimalrechnung, dazu die binomische Reihe und erste Ideen zur Gravitation. 1687 veröffentlichte er die Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, in der er die Bewegungsgesetze und das Gravitationsgesetz formulierte und damit die klassische Mechanik begründete.

Newton gilt zusammen mit Archimedes und Carl Friedrich Gauß als einer der größten Mathematiker aller Zeiten. Zugleich war er eine schwierige, misstrauische Persönlichkeit, die viele Ergebnisse jahrzehntelang zurückhielt, sich mit Zeitgenossen erbittert stritt und neben der Wissenschaft intensiv Alchemie und Theologie betrieb. Um seine Person ranken sich zudem Legenden, allen voran die vom fallenden Apfel.

Kindheit in Woolsthorpe und Studium in Cambridge

Isaac Newton kam auf dem Gutshof Woolsthorpe Manor in der Grafschaft Lincolnshire zur Welt. Sein gleichnamiger Vater, ein Landwirt, war wenige Monate vor der Geburt gestorben. Als Isaac drei Jahre alt war, heiratete seine Mutter Hannah den Pfarrer Barnabas Smith und zog zu ihm; den Jungen ließ sie bei der Großmutter zurück. Erst nach Smiths Tod 1653 kehrte sie mit drei weiteren Kindern zurück. Biografen sehen in dieser frühen Trennung eine Wurzel für Newtons späteres Misstrauen.

Newton besuchte die Lateinschule in Grantham. Als seine Mutter ihn um 1659 nach Hause holte, damit er den Hof übernehme, zeigte er dafür wenig Talent; auf Drängen seines Lehrers durfte er zurück an die Schule. Im Juni 1661 begann er sein Studium am Trinity College in Cambridge, zunächst als „Subsizar“, also als Student, der sich durch Dienste für andere finanzierte. Der Lehrplan war noch stark von Aristoteles geprägt. Newton las daneben auf eigene Faust die neue Mathematik: die Géométrie von René Descartes in der lateinischen Ausgabe Frans van Schootens, die Arithmetica infinitorum von John Wallis und Schriften von François Viète. Anfang 1665 schloss er mit dem Bachelor ab.

Die Pestjahre 1665–1667: Newtons schöpferische Phase

Im Sommer 1665 schloss die Universität wegen der Pest, die in London Zehntausende Opfer forderte. Newton ging zurück nach Woolsthorpe und blieb, mit einer kurzen Unterbrechung, bis 1667 dort. In diesen knapp zwei Jahren legte er den Grund für fast alle seine späteren Arbeiten:

• Er fand die binomische Reihe für beliebige, auch gebrochene und negative Exponenten (schon im Winter 1664/65).
• Er entwickelte die Fluxionsrechnung; ein Manuskript vom Oktober 1666 fasst sie zusammen.
• Mit Prismen zeigte er, dass weißes Licht aus Farben zusammengesetzt ist.
• Er verglich die Fallbeschleunigung auf der Erde mit der Kraft, die den Mond auf seiner Bahn hält, und fand eine grobe Übereinstimmung mit einem Abstandsgesetz „eins durch Abstand zum Quadrat“.

Rund fünfzig Jahre später schrieb Newton, er sei damals in der Blüte seines Erfindungsalters gewesen. Die Zeit wird deshalb oft als annus mirabilis, „Wunderjahr“, bezeichnet. Historiker weisen allerdings darauf hin, dass Newton diese Rückschau mitten im Prioritätsstreit mit Leibniz verfasste und dass vieles, etwa die Gravitationstheorie, erst in den folgenden zwei Jahrzehnten ausreifte.

Lucasischer Professor in Cambridge

1667 wurde Newton Fellow des Trinity College. 1669 schrieb er die Abhandlung De analysi per aequationes numero terminorum infinitas über das Rechnen mit unendlichen Reihen. Isaac Barrow, der erste Inhaber des neuen Lucasischen Lehrstuhls für Mathematik, schickte sie an den Londoner Mathematikvermittler John Collins und empfahl Newton als seinen Nachfolger. Noch 1669 übernahm der 26-Jährige die Professur.

Bekannt wurde Newton zunächst nicht als Mathematiker, sondern als Erfinder: Sein kleines Spiegelteleskop, das statt einer Linse einen Hohlspiegel nutzt, beeindruckte die Royal Society in London so sehr, dass sie ihn Anfang 1672 zum Mitglied wählte. Seine anschließend veröffentlichte Theorie des Lichts und der Farben stieß jedoch auf Kritik, vor allem von Robert Hooke. Newton reagierte gereizt und zog sich weitgehend aus der Öffentlichkeit zurück. In den 1670er-Jahren widmete er viel Zeit der Alchemie und dem Studium der Bibel. Seine Mathematik verbreitete sich nur in Abschriften unter wenigen Kennern.

Die Fluxionsrechnung: Newtons Weg zur Infinitesimalrechnung

Das Tangentenproblem: Steigung in einem Punkt

Die mittlere Steigung einer Kurve zwischen zwei Punkten lässt sich leicht berechnen: Höhenunterschied geteilt durch waagerechten Abstand. Wie steil eine Kurve aber in einem einzigen Punkt ist, war eine schwierige Frage. Auf einem Weg-Zeit-Diagramm entspricht diese Steigung der Momentangeschwindigkeit. Vor Newton hatten unter anderem Pierre de Fermat, Descartes und Barrow Verfahren für einzelne Kurventypen gefunden, und für Flächen unter Kurven gab es die Indivisibilienmethode von Bonaventura Cavalieri. Ein allgemeiner Kalkül, der beide Aufgaben verbindet, fehlte.

Fluenten und Fluxionen

Newton dachte kinematisch. Er stellte sich Größen wie x und y als „fließend“ vor, als Größen, die sich mit der Zeit ändern. Er nannte sie Fluenten, ihre Änderungsgeschwindigkeiten Fluxionen. In seiner späteren Schreibweise, die er erst ab etwa 1691 benutzte, ist ẋ die Fluxion von x. In einer unendlich kleinen Zeitspanne o wächst x um ẋo. Am Beispiel y = x² sieht das so aus:

Das Verschwindenlassen von o war logisch angreifbar: Erst teilt man durch o, dann setzt man o gleich null. Der Philosoph George Berkeley spottete 1734 über diese „Geister verstorbener Größen“. Eine strenge Begründung mit dem Grenzwertbegriff lieferten erst im 19. Jahrhundert Augustin-Louis Cauchy und Karl Weierstraß. Heute definiert man die Ableitung so:

Aus diesem Ansatz folgen die bekannten Regeln: Die Ableitung von f(x) = 4x ist überall 4, die von x² ist 2x, die von x³ ist 3x². Allgemein hat x^r die Ableitung r · x^r−1. Hinzu kommen Regeln für Summen, Produkte und verkettete Funktionen. So hat f(x) = x⁴ − 5x³ + sin(x²) die Ableitung f′(x) = 4x³ − 15x² + 2x · cos(x²). Die Schreibweise f′(x) stammt übrigens weder von Newton noch von Leibniz, sondern von Joseph-Louis Lagrange (1797). Nicht jede Kurve ohne Sprünge besitzt überall eine Steigung: Weierstraß fand eine stetige Funktion, die an keiner Stelle differenzierbar ist.

Fläche und Steigung: der Hauptsatz

Die zweite Grundaufgabe ist die Berechnung von Flächen unter Kurven, die Quadratur. Auf einem Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm entspricht diese Fläche dem zurückgelegten Weg. Newtons entscheidende Einsicht war, dass beide Aufgaben einander umkehren: Wer zu einer Fluxion die zugehörige Fluente findet, hat die Fläche berechnet. In De analysi steht als erste Regel, dass die Fläche unter y = x^r von 0 bis x gleich x^r+1 / (r + 1) ist, ausdrücklich auch für gebrochene Exponenten. Als Stammfunktion taugt dieser Ausdruck für jedes r ≠ −1; der Ausnahmefall r = −1 führt auf den natürlichen Logarithmus. Die Fläche unter der Parabel y = x² zwischen 0 und 1 beträgt also 1/3. Heute formuliert man diesen Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung so, wobei F eine Stammfunktion von f ist, also F′ = f:

Barrow hatte einen geometrischen Vorläufer dieses Satzes bewiesen. Newton und unabhängig von ihm Leibniz machten daraus ein allgemeines Rechenverfahren. Mehr zu den Grundbegriffen erklärt die Lernseite Analysis.

Weitere mathematische Leistungen

Die binomische Reihe

Für natürliche Exponenten war der binomische Lehrsatz bekannt: (1 + x)² = 1 + 2x + x². Newton übertrug ihn, ausgehend von Wallis’ Tabellen, auf beliebige rationale Exponenten r. Dann bricht die Summe nicht mehr ab, sondern wird zu einer unendlichen Reihe, die für |x| < 1 konvergiert:

Für r = ½ ergibt sich √(1 + x) = 1 + x/2 − x²/8 + x³/16 − … Mit x = 0,2 liefern schon diese vier Glieder √1,2 ≈ 1,0955; der genaue Wert ist 1,09545… Newton teilte die Reihe 1676 in zwei Briefen an Leibniz mit, der Epistola prior und der Epistola posterior. Unendliche Reihen wurden für ihn zum Universalwerkzeug: Er entwickelte Funktionen wie den Sinus oder den Logarithmus in Potenzreihen und integrierte sie Glied für Glied.

Das Newton-Verfahren

Viele Gleichungen lassen sich nicht exakt lösen. In De analysi zeigte Newton an der Gleichung x³ − 2x − 5 = 0, wie man eine Näherungslösung schrittweise verbessert. In der heutigen Form, die auf Joseph Raphson (1690) und Thomas Simpson (1740) zurückgeht, ersetzt man die Kurve in der Nähe der Näherung x_n durch ihre Tangente und nimmt deren Nullstelle als neue Näherung:

Ein Spezialfall ist das uralte Verfahren von Heron von Alexandria zur Berechnung von Quadratwurzeln: Wendet man das Newton-Verfahren auf x² − a = 0 an, erhält man genau Herons Rechenvorschrift.

Interpolation, kubische Kurven und Gleichungslehre

Newton entwickelte Formeln, mit denen man durch gegebene Messpunkte ein Polynom legt und Zwischenwerte schätzt; die Newtonsche Interpolationsformel mit ihren Differenzen wird bis heute gelehrt. In der Schrift Enumeratio linearum tertii ordinis, die 1704 als Anhang zur Opticks erschien, ordnete er die Kurven dritten Grades in 72 Arten; einige weitere hatte er übersehen. Seine Vorlesungen über Algebra, 1707 als Arithmetica universalis gedruckt, enthalten unter anderem die Newtonschen Identitäten, die Summen von Potenzen der Lösungen einer Gleichung mit deren Koeffizienten verbinden.

Die Principia (1687): Mathematik des Himmels

Im August 1684 besuchte der Astronom Edmond Halley Newton in Cambridge und fragte ihn, welche Bahn ein Planet beschreibt, wenn die Anziehungskraft der Sonne mit dem Quadrat des Abstands abnimmt. Newton antwortete: eine Ellipse, er habe das berechnet. Halley drängte ihn, die Rechnung auszuarbeiten. Aus einer kurzen Schrift De motu corporum wurde in rund zwei Jahren ein Werk in drei Büchern, das Halley auf eigene Kosten drucken ließ. Die Philosophiae Naturalis Principia Mathematica („Mathematische Prinzipien der Naturphilosophie“) erschien im Juli 1687.

Das erste Buch entwickelt die Bewegungslehre mit den drei Newtonschen Axiomen: dem Trägheitsprinzip, dem Zusammenhang zwischen Kraft und Bewegungsänderung und dem Prinzip von actio und reactio. Die heute übliche Formel F = m · a schrieb erst Leonhard Euler in dieser Form auf. Das zweite Buch behandelt Bewegungen in Flüssigkeiten und widerlegt die Wirbeltheorie von Descartes. Das dritte Buch, das „System der Welt“, wendet das Gravitationsgesetz auf das Sonnensystem an: Jede Masse zieht jede andere mit einer Kraft an, die proportional zum Produkt der Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstands ist. Modern geschrieben:

Die Gravitationskonstante G kommt bei Newton noch nicht vor; sie wurde erst durch Henry Cavendishs Versuch von 1798 zugänglich. Mit dem Gesetz erklärte Newton die Keplerschen Gesetze der Planetenbewegung, die Bahnen der Kometen, Ebbe und Flut, die Präzession der Erdachse und Unregelmäßigkeiten der Mondbewegung. Er sagte außerdem voraus, dass die Erde an den Polen abgeplattet ist. Französische Expeditionen bestätigten das in den 1730er-Jahren.

Bemerkenswert ist die Form: Newton bewies fast alles im Stil der klassischen griechischen Geometrie, ergänzt um eine Lehre von „ersten und letzten Verhältnissen“, die Grenzwertgedanken enthält. Die Fluxionsrechnung selbst tritt kaum offen hervor. Das machte das Werk schwer zugänglich; erst Mathematiker wie Euler übersetzten die Mechanik in die Sprache der Analysis. Eine zweite Auflage erschien 1713, eine dritte 1726. Robert Hooke beanspruchte, das Abstandsgesetz vor Newton erkannt zu haben, was das Verhältnis der beiden endgültig zerrüttete.

„Wenn ich weiter gesehen habe, dann deshalb, weil ich auf den Schultern von Riesen stand.“

Das Bild von den Riesen und den Zwergen auf ihren Schultern ist übrigens viel älter; es geht auf den mittelalterlichen Gelehrten Bernhard von Chartres zurück.

Der Prioritätsstreit mit Leibniz

Newton hatte seine Fluxionsrechnung 1665/66 entwickelt, aber nicht veröffentlicht. Gottfried Wilhelm Leibniz fand seine Differentialrechnung 1675 in Paris und publizierte sie 1684 in der Leipziger Zeitschrift Acta Eruditorum. Von Newtons Methode erschienen Auszüge erst 1693 im zweiten Band von Wallis’ gesammelten Werken; die Abhandlung über Quadraturen folgte 1704, De analysi 1711, die ausführliche „Methode der Fluxionen“ von 1671 erst 1736 nach seinem Tod.

Zunächst blieb es ruhig. In der ersten Auflage der Principia erwähnte Newton sogar, Leibniz verfüge über eine ähnliche Methode. Um 1699 warf jedoch Newtons Vertrauter Nicolas Fatio de Duillier Leibniz öffentlich vor, er habe Newtons Ideen übernommen, und 1708 erhob John Keill denselben Vorwurf in den Philosophical Transactions. Leibniz beschwerte sich 1711 bei der Royal Society. Deren Präsident war Newton. Die Gesellschaft setzte 1712 einen Ausschuss ein, dessen Bericht, das Commercium epistolicum, Anfang 1713 erschien und Newton die Erfindung zusprach, verbunden mit dem kaum verhüllten Vorwurf des Plagiats. Den Bericht hatte Newton im Wesentlichen selbst verfasst; 1715 veröffentlichte er auch noch eine anonyme, lobende Besprechung davon.

Die Wissenschaftsgeschichte urteilt heute anders: Newton war mit der Entdeckung zuerst, Leibniz mit der Veröffentlichung, und beide gelangten unabhängig voneinander zu ihren Ergebnissen. Leibniz’ Schreibweise mit dx und ∫ setzte sich durch. Die britischen Mathematiker hielten aus Loyalität an Newtons Punktnotation fest und verloren für fast ein Jahrhundert den Anschluss an die Entwicklung auf dem Kontinent, die vor allem von den Brüdern Bernoulli und Euler vorangetrieben wurde.

London: Münze, Royal Society und späte Jahre

1689/90 und noch einmal 1701/02 vertrat Newton die Universität Cambridge im Parlament. 1693 durchlebte er eine schwere seelische Krise mit Schlaflosigkeit und wirren Briefen an Freunde. Als Ursachen werden Überarbeitung, Depression, das Zerbrechen der Freundschaft mit Fatio und eine Vergiftung durch seine alchemistischen Versuche diskutiert; Haaranalysen aus dem 20. Jahrhundert ergaben erhöhte Quecksilberwerte, beweisen den Zusammenhang aber nicht.

1696 wechselte Newton als Aufseher (Warden) an die königliche Münze nach London, 1699 wurde er ihr Leiter (Master) und blieb es bis zu seinem Tod. Er leitete die große Neuprägung der englischen Münzen und verfolgte Falschmünzer mit großer Härte. 1703 wählte ihn die Royal Society zum Präsidenten; er führte sie bis 1727 mit straffer Hand. 1704 erschien die Opticks, auf Englisch und erst nach Hookes Tod. 1705 schlug Königin Anne ihn bei einem Besuch in Cambridge zum Ritter; der Zeitpunkt kurz vor einer Parlamentswahl, bei der Newton erneut antrat und verlor, spricht für einen politischen Hintergrund.

Ein großer Teil seiner Manuskripte behandelt Theologie und Alchemie. Newton lehnte die Dreifaltigkeitslehre ab, hielt das aber geheim, und versuchte, aus biblischen Prophezeiungen eine Chronologie der Welt zu berechnen. Der Ökonom John Maynard Keynes, der Teile des Nachlasses erwarb, nannte ihn deshalb nicht den ersten Vertreter des Zeitalters der Vernunft, sondern „den letzten der Magier“. Newton starb am 31. März 1727 in Kensington, damals ein Vorort Londons, vermutlich an den Folgen eines Blasen- oder Nierenleidens. Er wurde mit großen Ehren in der Westminster Abbey beigesetzt.

Zeitleiste: Isaac Newtons Leben

1. 1643 Geburt am 4. Januar (julianisch: 25. Dezember 1642) in Woolsthorpe.
2. 1661 Studienbeginn am Trinity College in Cambridge.
3. 1665–1667 Pestjahre in Woolsthorpe: binomische Reihe, Fluxionsrechnung, Farbenlehre, erste Gravitationsideen.
4. 1669 De analysi; Berufung auf den Lucasischen Lehrstuhl.
5. 1672 Wahl in die Royal Society nach der Vorstellung des Spiegelteleskops.
6. 1687 Die Principia erscheinen.
7. 1696 Wechsel an die königliche Münze in London, ab 1699 deren Leiter.
8. 1703 Präsident der Royal Society; 1704 erscheint die Opticks.
9. 1712–1713 Ausschuss der Royal Society und Commercium epistolicum im Prioritätsstreit mit Leibniz.
10. 1727 Tod am 31. März in Kensington, Beisetzung in der Westminster Abbey.

Newtons Bedeutung heute

Newtons Mechanik ist bis heute die Grundlage der Ingenieurwissenschaften. Brücken, Maschinen und Flugbahnen von Raumsonden werden mit seinen Gesetzen berechnet; erst bei sehr hohen Geschwindigkeiten, starken Gravitationsfeldern oder auf atomarer Ebene braucht man Einsteins Relativitätstheorie oder die Quantenmechanik. Die Einheit der Kraft heißt ihm zu Ehren Newton (N).

In der Mathematik begegnet man ihm auf Schritt und Tritt: in der Differential- und Integralrechnung, auch wenn man sie heute in Leibniz’ Schreibweise lernt, in der binomischen Reihe, die in der Physik für Näherungen wie √(1 + x) ≈ 1 + x/2 genutzt wird, und im Newton-Verfahren, mit dem Taschenrechner und Computerprogramme Wurzeln ziehen und Gleichungen lösen. Newtonsche Spiegelteleskope sind bei Hobbyastronomen bis heute beliebt.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Richard S. Westfall: Never at Rest. A Biography of Isaac Newton, Cambridge University Press, Cambridge 1980.
• A. Rupert Hall: Philosophers at War. The Quarrel between Newton and Leibniz, Cambridge University Press, Cambridge 1980.
• Thomas de Padova: Leibniz, Newton und die Erfindung der Zeit, Piper, München 2013.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1: Von den Anfängen bis Leibniz und Newton, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Isaac Newton (englisch)
• The Newton Project: Online-Edition von Newtons Schriften (englisch)