Normalverteilung

Die Normalverteilung ist die wichtigste Verteilung der Statistik. Ihr Bild ist die Glockenkurve: Die meisten Werte liegen nahe beim Mittelwert, nach beiden Seiten werden sie gleichmäßig seltener. Körpergrößen, Füllmengen von Flaschen und Messfehler folgen ihr oft näherungsweise. Zwei Zahlen legen sie fest: der Erwartungswert $\mu$ (die Lage der Mitte) und die Standardabweichung $\sigma$ (die Breite).

Diese Seite vertieft den Abschnitt zur Normalverteilung in der Statistik. Du lernst die Dichtefunktion, die z-Transformation, den Umgang mit der $\Phi$-Tabelle und die Näherung der Binomialverteilung. Der Normalverteilung-Rechner liefert alle Werte, das Arbeitsblatt Normalverteilung gibt Übungsaufgaben.

Glockenkurve und Dichtefunktion

Bei einer Zufallsgröße wie der Körpergröße kann jeder Wert in einem Bereich vorkommen, nicht nur ganze Zahlen. Man nennt sie stetig. Dann gibt es keine Einzelwahrscheinlichkeiten wie $P(X=175)$, denn die ist genau 0. Stattdessen beschreibt eine Dichtefunktion $f$, wie dicht die Werte liegen, und die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall ist die Fläche unter dem Graphen von $f$.

Die Parameter bestimmen die Form: $\mu$ verschiebt die Kurve nach rechts oder links, $\sigma$ macht sie breiter und flacher oder schmaler und höher. Weil die Fläche immer 1 bleibt, gilt: Je größer $\sigma$, desto niedriger der Gipfel. Für $\sigma =\mathrm{0,5}$ ist die Höhe $\frac{1}{\mathrm{0,5}\sqrt{2\pi }}\approx \mathrm{0,80}$, für $\sigma =1$ etwa $\mathrm{0,40}$ und für $\sigma =2$ etwa $\mathrm{0,20}$.

Die Sigma-Regeln

Unabhängig von $\mu$ und $\sigma$ liegen immer dieselben Anteile in den Bereichen um $\mu$:

Standardnormalverteilung und z-Transformation

Die Fläche unter der Glockenkurve lässt sich nicht mit einer einfachen Stammfunktion berechnen. Man hat sie deshalb tabelliert, und zwar nur für die Standardnormalverteilung $N(0;1)$ mit $\mu =0$ und $\sigma =1$. Ihre Verteilungsfunktion heißt $\Phi$: $\Phi (z)$ ist die Fläche links von $z$, also $P(Z\le z)$. Jede andere Normalverteilung führst du mit der z-Transformation darauf zurück:

Für negative $z$ nutzt du die Symmetrie $\Phi (-z)=1-\Phi (z)$. Die wichtigsten Rechenregeln:

• $P(X\le b)=\Phi \left(\frac{b-\mu }{\sigma }\right)$
• $P(X\ge a)=1-\Phi \left(\frac{a-\mu }{\sigma }\right)$
• $P(a\le X\le b)=\Phi \left(\frac{b-\mu }{\sigma }\right)-\Phi \left(\frac{a-\mu }{\sigma }\right)$

Quantile

Manchmal ist die Wahrscheinlichkeit gegeben und du suchst die Grenze dazu. Das Quantil $z_p$ ist der Wert mit $\Phi (z_p)=p$. Man liest in der Tabelle rückwärts. Drei Werte solltest du kennen:

Der Faktor 1,96 erklärt, warum man bei 95-%-Aussagen oft „$\mu \pm \mathrm{1,96}\sigma$“ liest, und nicht $2\sigma$. Er ist die Grundlage der Konfidenzintervalle. Für die Körpergröße oben liegen 95 % der Menschen zwischen $175-\mathrm{1,96}·7\approx \mathrm{161,3}$ cm und $175+\mathrm{1,96}·7\approx \mathrm{188,7}$ cm. Bei einem Intelligenztest mit $\mu =100$ und $\sigma =15$ gehören die besten 5 % zu Werten über $100+\mathrm{1,645}·15\approx \mathrm{124,7}$.

Näherung der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung $B(n;p)$ rechnet sich bei großem $n$ mühsam. Der Satz von de Moivre und Laplace hilft: Ist $\sigma =\sqrt{np(1-p)}>3$ (Faustregel), liegt die Normalverteilung mit $\mu =np$ und diesem $\sigma$ nahe an den Säulen.

Bei der Berechnung muss die Treppe der Säulen berücksichtigt werden: Die Säule zu $k$ reicht von $k-\mathrm{0,5}$ bis $k+\mathrm{0,5}$. Das ist die Stetigkeitskorrektur:

Die Korrektur kann bei sehr großem $\sigma$ vernachlässigt werden, bei kleinem $\sigma$ ist sie wichtig. Das Prinzip „viele kleine unabhängige Einflüsse ergeben eine Glocke“ steckt hinter dem zentralen Grenzwertsatz. Er sagt, dass Summen unabhängiger Zufallsgrößen unter milden Voraussetzungen ungefähr normalverteilt sind.

Das Galtonbrett

Das Galtonbrett macht die Glockenkurve sichtbar. Kugeln fallen durch Reihen von Nägeln und gehen an jedem Nagel mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links oder rechts. Unten sammeln sie sich in Fächern. Die Zahl der Rechtsschritte ist binomialverteilt mit $p=\mathrm{0,5}$, und die Füllhöhen der Fächer zeichnen eine Glocke. Bei 6 Nagelreihen gibt es $2^6=64$ Wege. Zu den sieben Fächern führen $1,6,15,20,15,6,1$ davon, das ist die Zeile 6 im Pascalschen Dreieck. Mit mehr Reihen wird die Glocke immer glatter. Erfunden hat das Gerät Francis Galton, der es 1874 vorstellte.

Anwendungen und Grenzen

• Messfehler: Viele kleine Störungen addieren sich, die Fehler sind etwa normalverteilt. Mit dieser Idee beschrieb Gauß die Fehler der Sternbeobachtung.
• Qualitätskontrolle: Füllmengen und Maße schwanken um einen Sollwert. Man prüft, ob Produkte im Toleranzbereich $\mu \pm 3\sigma$ liegen.
• Natürliche Größen: Körpergröße, Gewicht von Neugeborenen oder Blutwerte folgen oft näherungsweise der Glocke.
• Tests: Intelligenztests werden so normiert, dass der Mittelwert 100 und die Standardabweichung 15 beträgt.

Nicht alles ist normalverteilt. Einkommen oder Vermögen sind stark schief, Wartezeiten und Lebensdauern folgen anderen Verteilungen, und Körpergrößen können nicht negativ sein, die Glocke aber schon. Prüfe immer, ob das Modell passt.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: von de Moivre zu Gauß

Die Glockenkurve tauchte zuerst bei Abraham de Moivre auf, der 1733 die Binomialverteilung für große $n$ annäherte. Carl Friedrich Gauß leitete sie 1809 in seiner Theoria motus corporum coelestium als Verteilung der Messfehler her, deshalb die Gaußsche Glockenkurve. Pierre-Simon Laplace zeigte um 1810, dass sie bei der Summe vieler kleiner unabhängiger Einflüsse entsteht (zentraler Grenzwertsatz). Francis Galton machte sie mit seinem Brett anschaulich. Im 19. Jahrhundert wandten Statistiker sie auf Körpermaße und Vererbung an. Der Begriff „normal“ gilt als irreführend, denn nicht jede Größe ist normalverteilt.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Normalverteilung
• Wikipedia: Satz von Moivre-Laplace
• Wikipedia: Zentraler Grenzwertsatz
• Wikipedia: Galtonbrett
• Wikipedia: Galton board (englisch)
• Carl Friedrich Gauß: Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium, Hamburg 1809.