Konfidenzintervalle

Ein Konfidenzintervall (auch Vertrauensintervall) ist ein Bereich, den du aus einer Stichprobe berechnest und der den unbekannten wahren Wert mit einer vorgegebenen Sicherheit einschließt. Der wahre Wert kann ein Anteil $p$ sein, etwa der Stimmenanteil einer Partei, oder ein Mittelwert $\mu$, etwa die durchschnittliche Körpergröße. Statt einer einzelnen Zahl nennst du eine Spanne.

Dabei ist die Grundgesamtheit alles, worüber du etwas wissen willst (zum Beispiel alle Wahlberechtigten), und die Stichprobe der kleine Teil, den du wirklich befragst oder misst. Die Sicherheit heißt Konfidenzniveau, meist 95 Prozent. Die Grundlagen zu Normalverteilung und Standardabweichung findest du auf der Seite Statistik.

Die Idee des Vertrauensbereichs

Eine Umfrage unter 1000 Wahlberechtigten ergibt: 520 würden Partei X wählen. Der Schätzwert für den Anteil ist $\widehat{p}=\frac{520}{1000}=\mathrm{0,52}$. Das Zeichen $\widehat{p}$ liest du „p Dach“. Es steht für den Anteil in der Stichprobe, im Unterschied zum wahren Anteil $p$ in der Grundgesamtheit.

Befragst du andere 1000 Personen, bekommst du etwa 0,50 oder 0,54. Der Zufall bei der Auswahl lässt $\widehat{p}$ schwanken. Deshalb ist die Frage nach dem wahren Anteil nicht mit einer Zahl zu beantworten. Du gibst einen Bereich an, in dem er mit hoher Sicherheit liegt.

Der Schätzwert $\widehat{p}$ streut um den wahren Anteil $p$ in Form einer Glockenkurve, wie im Bild. Die Breite wird durch den Standardfehler $SE$ gemessen, die Standardabweichung des Schätzwerts. In 95 % aller Stichproben liegt $\widehat{p}$ höchstens $\mathrm{1,96}·SE$ von $p$ entfernt. Dann liegt auch $p$ höchstens $\mathrm{1,96}·SE$ von $\widehat{p}$ entfernt. Daraus entsteht das Intervall

Je größer die Stichprobe, desto kleiner ist der Standardfehler und desto enger das Intervall. Je höher die gewünschte Sicherheit, desto breiter wird es.

Die Sigma-Regeln

Bei einer Normalverteilung mit der Standardabweichung $\sigma$ liegen etwa 68 % der Werte höchstens $1\sigma$ vom Mittelwert entfernt, 95 % höchstens $2\sigma$ und 99,7 % höchstens $3\sigma$. Für Konfidenzintervalle brauchst du die Faktoren zu den runden Sicherheiten. Man nennt sie Sigma-Regeln:

Mit einem Rechner wie dem Normalverteilungsrechner kannst du die Werte nachprüfen. Der Standardfehler eines Anteils folgt aus der Binomialverteilung (siehe Binomialverteilungs-Rechner): Für $n$ Versuche mit dem Anteil $p$ ist

Die Glockenform ist nur eine Näherung. Als Faustregel gilt sie ab $n·p·(1-p)>9$ als gut genug.

Ein Anteil: das Wald-Intervall

Den wahren Anteil $p$ in der Formel für $SE$ kennst du nicht. Im einfachsten Verfahren, dem Wald-Intervall, ersetzt du ihn durch den Schätzwert $\widehat{p}$:

Die Genauigkeit gibst du in Prozentpunkten an: Hier sind es $\pm \mathrm{3,1}$ Prozentpunkte. Mit „3,1 Prozent“ wäre etwas anderes gemeint, nämlich 3,1 % von 52 %.

Das Wilson-Intervall

Das Wald-Intervall hat Schwächen, wenn $n$ klein ist oder $\widehat{p}$ nahe bei 0 oder 1 liegt. Dann kann die untere Grenze sogar negativ werden. Das Wilson-Intervall löst die Ungleichung $|\widehat{p}-p|\le z·\sqrt{p(1-p)/n}$ nach $p$ auf, statt $p$ in der Wurzel zu ersetzen. Es ergibt sich

Für die Praxis gilt: Bei großem $n$ und mittlerem $\widehat{p}$ sind beide Verfahren gleich gut. In allen anderen Fällen nimm das Wilson-Intervall. Es gibt noch ein „exaktes“ Verfahren (Clopper-Pearson) aus der Binomialverteilung, das etwas vorsichtiger ausfällt.

Ein Mittelwert und die t-Verteilung

Bei einem Mittelwert $\mu$ ist der Standardfehler des Stichprobenmittels $\overline{x}$ gleich $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$, wobei $\sigma$ die Standardabweichung der Einzelwerte ist. Das Mittel streut also weniger als ein einzelner Wert, und zwar um den Faktor $\sqrt{n}$. Ist $\sigma$ bekannt, lautet das Intervall $\overline{x}\pm z·\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$.

Meist kennst du $\sigma$ aber nicht und musst sie durch die Standardabweichung $s$ der Stichprobe ersetzen. Das macht das Ergebnis unsicherer, und zwar umso mehr, je kleiner $n$ ist. Deshalb nimmst du statt $z$ einen größeren Faktor $t$ aus der t-Verteilung mit $n-1$ Freiheitsgraden:

Bei kleinem $n$ ist $t$ deutlich größer als 1,96. Bei großem $n$ nähert sich $t$ dem Wert $z=\mathrm{1,96}$ an. Mehr zur Herkunft der t-Verteilung steht im Geschichtsteil.

Wie groß muss die Stichprobe sein?

Vor einer Umfrage fragst du: Wie viele Personen muss ich befragen, damit die Fehlergrenze höchstens $e$ beträgt? Die halbe Breite des Intervalls ist $z·\sqrt{p(1-p)/n}$. Der Ausdruck $p(1-p)$ ist höchstens $\frac{1}{4}$, nämlich bei $p=\mathrm{0,5}$. Wenn du $p$ nicht kennst, rechnest du mit diesem ungünstigsten Fall:

Die Genauigkeit wächst nur mit der Wurzel von $n$: Soll das Intervall nur halb so breit werden, brauchst du viermal so viele Personen. Genauer als ±1 Prozentpunkt wird es schnell teuer. Deshalb haben Wahlumfragen meist 1000 bis 2000 Befragte und eine Fehlergrenze von rund 2 bis 3 Prozentpunkten.

Die richtige Deutung

Der wahre Anteil $p$ ist eine feste Zahl, unbekannt, aber nicht zufällig. Zufällig ist die Stichprobe, und damit auch das Intervall. Ein 95-%-Konfidenzintervall bedeutet:

Im Bild siehst du eine Simulation. Der wahre Anteil ist hier bekannt ($p=\mathrm{0,5}$), und es werden 20 Stichproben mit je 100 Personen gezogen. Fast alle Intervalle enthalten den wahren Wert, eines nicht. Das ist typisch und kein Fehler der Rechnung: Bei 20 Intervallen erwartet man ungefähr eines, das danebenliegt.

Für ein einzelnes fertiges Intervall wie $[\mathrm{0,489};\mathrm{0,551}]$ ist die Aussage „mit 95 % Wahrscheinlichkeit liegt $p$ darin“ streng genommen nicht richtig, denn $p$ liegt entweder darin oder nicht. Du weißt nur, dass das Verfahren, das dieses Intervall erzeugt hat, in 95 % der Fälle funktioniert.

Zusammenhang mit dem Hypothesentest

Konfidenzintervall und Hypothesentest sind zwei Seiten derselben Sache. Ein Wert $p_0$ liegt im 95-%-Intervall, wenn der zweiseitige Test mit dem Signifikanzniveau $\alpha =\mathrm{0,05}$ die Hypothese $H_0:p=p_0$ nicht ablehnt. Beim Wilson-Intervall gilt das genau, beim Wald-Intervall näherungsweise. Das Intervall ist also die Menge aller Hypothesen, die zu den Daten passen.

Beim Beispiel mit $\widehat{p}=\mathrm{0,52}$ und $n=1000$ liegt $p_0=\mathrm{0,5}$ im Intervall $[\mathrm{0,489};\mathrm{0,551}]$. Der Test bestätigt das: Es ist $z=\frac{\mathrm{0,52}-\mathrm{0,5}}{\sqrt{\mathrm{0,25}/1000}}\approx \mathrm{1,26}$. Das ist kleiner als 1,96, also wird $H_0$ nicht abgelehnt.

Beispiel: Wahlumfragen

Bei Wahlumfragen siehst du Konfidenzintervalle im Alltag. Eine Meldung wie „Partei X liegt bei 52 Prozent, Fehlertoleranz drei Prozentpunkte“ bedeutet ein Intervall von etwa 49 % bis 55 %. Zwei Parteien mit 52 % und 48 % lassen sich bei diesem Umfang nicht sicher unterscheiden: Die Fehlergrenze für den Abstand zweier Parteien in derselben Umfrage beträgt hier etwa 6 Prozentpunkte, und der Abstand ist nur 4 Prozentpunkte groß.

Ein Vorbehalt bleibt: Die Formeln setzen eine einfache Zufallsstichprobe voraus, bei der jeder Wahlberechtigte dieselbe Chance hat, befragt zu werden. In Wirklichkeit antworten manche Gruppen seltener, und die Institute gewichten ihre Daten. Die tatsächliche Unsicherheit ist deshalb meist größer, als die Formel allein zeigt.

Zur Kontrolle eigener Rechnungen kannst du den Konfidenzintervall-Rechner nutzen.

Typische Fehler

Übungen

Mehr Aufgaben findest du unter Normalverteilung: Aufgaben.

Geschichte: von Laplace bis Neyman

Die Glockenform für Anteile geht auf Pierre-Simon Laplace und Abraham de Moivre zurück (de Moivre-Laplace-Satz). Laplace nutzte sie in seinem Werk Théorie analytique des probabilités von 1812, um aus Beobachtungen auf unbekannte Wahrscheinlichkeiten zu schließen. Die Normalverteilung als Gesetz der Messfehler hatte Carl Friedrich Gauß begründet.

Den Mittelwert bei kleinen Stichproben löste William Sealy Gosset. Er arbeitete in der Dubliner Guinness-Brauerei, wo er mit kleinen Stichproben auskommen musste, etwa bei der Qualität von Gerste. Der Arbeitgeber gestattete die Veröffentlichung nicht, deshalb erschien seine Arbeit über die t-Verteilung 1908 unter dem Pseudonym „Student“. Daher heißt sie auch Student-Verteilung.

Edwin B. Wilson veröffentlichte 1927 das nach ihm benannte Intervall für Anteile. Und Jerzy Neyman gab 1937 die erste gründliche, allgemeine Darstellung des Konfidenzintervalls, die Idee, dass sich die Sicherheit auf das Verfahren und nicht auf den einzelnen Fall bezieht.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Konfidenzintervall
• Wikipedia: Studentsche t-Verteilung
• Wikipedia: William Sealy Gosset
• Student (William S. Gosset): The Probable Error of a Mean. Biometrika, Band 6, Heft 1, 1908, S. 1 ff. (DOI 10.2307/2331554)
• Edwin B. Wilson: Probable Inference, the Law of Succession, and Statistical Inference. Journal of the American Statistical Association, Band 22, Heft 158, 1927, S. 209 bis 212 (DOI 10.1080/01621459.1927.10502953)
• Jerzy Neyman: Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability. Philosophical Transactions of the Royal Society A, Band 236, 1937, S. 333 bis 380 (DOI 10.1098/rsta.1937.0005)