Römische Mathematik

Unter römischer Mathematik versteht man die Mathematik im lateinischsprachigen Teil der antiken Welt, von der frühen Republik um 500 v. Chr. bis zum Ende des Weströmischen Reiches und den Schriften des Boethius um 500 n. Chr. Sie war fast ganz auf die Praxis ausgerichtet: Die Römer schrieben Zahlen mit den bis heute bekannten römischen Zahlzeichen, rechneten auf dem Abakus, vermaßen Land für Kolonien und Steuern, planten Bauten und Wasserleitungen und ordneten mit dem Julianischen Kalender die Zeitrechnung neu.

Eigene mathematische Theorie brachte Rom dagegen kaum hervor. Es gibt keinen römischen Euklid und keinen römischen Archimedes. Das lag nicht an mangelnder Begabung, sondern an Werten, Bildungswegen und der Arbeitsteilung im Reich: Theoretische Mathematik wurde weiterhin auf Griechisch betrieben, vor allem in Alexandria, und zwar unter römischer Herrschaft. Die Leistungen von Heron, Ptolemäus und Diophant gehören deshalb zur hellenistischen Mathematik, obwohl ihre Verfasser Untertanen des Kaisers waren.

Für die spätere Geschichte war die römische Mathematik trotzdem wichtig. Ihre Zahlzeichen blieben in Europa über ein Jahrtausend in Gebrauch, ihre Vermessungslehre prägte Landschaften, ihr Kalender gilt in verbesserter Form bis heute, und die lateinischen Lehrbücher der Spätantike bildeten die Grundlage der mittelalterlichen Mathematik in Europa.

Rom und die griechische Wissenschaft

Rom wuchs von einem Stadtstaat in Mittelitalien zur Vormacht des Mittelmeerraums. Nach der Überlieferung wurde 509 v. Chr. die Republik gegründet; bis zum 3. Jahrhundert v. Chr. kontrollierte Rom Italien. Im Zweiten Punischen Krieg eroberten römische Truppen 212 v. Chr. Syrakus, wobei Archimedes getötet wurde. 146 v. Chr. kam Griechenland unter römische Kontrolle, 30 v. Chr. auch Ägypten mit Alexandria, dem damaligen Zentrum der Wissenschaft.

Damit lebten die führenden Mathematiker der Welt im Römischen Reich. Das Reich war allerdings zweisprachig: Im Osten blieb Griechisch die Sprache von Verwaltung, Bildung und Wissenschaft, im Westen setzte sich Latein durch. Gebildete Römer lernten Griechisch und lasen griechische Fachliteratur im Original. Eine lateinische Fachsprache für höhere Mathematik schien deshalb lange überflüssig. Lateinische Autoren schrieben vor allem Handbücher für Praktiker: für Baumeister, Landvermesser, Gutsbesitzer und Verwalter.

Römische Zahlen: Aufbau und Regeln

Die bekannteste mathematische Hinterlassenschaft Roms sind die römischen Zahlen. Ihre Zeichen gehen auf etruskische Zahlzeichen und noch ältere Kerbzeichen zurück. Die Formen für 50, 100, 500 und 1.000 waren ursprünglich keine Buchstaben; erst im Lauf der Zeit glichen sie sich den Buchstaben L, C, D und M an, wobei C an centum (hundert) und M an mille (tausend) erinnerte.

Das System ist dezimal aufgebaut, mit Zwischenstufen bei 5, 50 und 500. Grundsätzlich werden die Werte addiert, von den großen zu den kleinen: VII = 5 + 1 + 1 = 7, LXXXIX = 89, MMXIV = 2014. Eine Null gibt es nicht, und die Position eines Zeichens ändert seinen Wert nicht. X bedeutet immer zehn, ganz gleich, wo es steht.

Subtraktive Schreibweise: jünger als oft gedacht

Steht ein kleineres Zeichen vor einem größeren, wird es abgezogen: IV = 4, IX = 9, XL = 40, XC = 90, CD = 400, CM = 900. Diese Regel kannten die Römer, wandten sie aber uneinheitlich an. Auf Inschriften und Grabsteinen findet man häufig IIII statt IV oder VIIII statt IX. Die Eingänge des 80 n. Chr. eröffneten Kolosseums tragen Nummern wie XL für 40, aber XLIIII für 44. Die strikte Regel, nach der man heute 1999 als MCMXCIX schreibt, setzte sich erst viel später durch. Dass auf vielen Uhren bis heute IIII statt IV steht, ist also kein Fehler, sondern eine alte Tradition.

Für große Zahlen kannten die Römer Zusatzzeichen. Ein Querstrich über einem Zeichen vervielfachte seinen Wert mit 1.000; in der späten Republik und der Kaiserzeit war diese Schreibweise verbreitet. Für noch größere Beträge rahmte man Zeichen zusätzlich ein. Eine einheitliche Norm gab es dafür nicht.

Brüche im Zwölfersystem

Für Bruchteile rechneten die Römer nicht dezimal, sondern in Zwölfteln. Grundlage war der as, ursprünglich eine Münz- und Gewichtseinheit, die in zwölf unciae (Unzen) zerfiel. Jeder Bruchteil hatte einen eigenen Namen: sextans = 2/12 = 1/6, quadrans = 3/12 = 1/4, triens = 4/12 = 1/3, quincunx = 5/12, semis = 6/12 = 1/2, bes = 8/12 = 2/3, dodrans = 9/12 = 3/4. Geschrieben wurde die Hälfte als S, jede Unze als Punkt oder Strich. Der Vorteil: Halbe, Drittel, Viertel und Sechstel lassen sich mit zwölf ohne Rest darstellen. Das deutsche Wort „Unze“ und das englische inch gehen auf die uncia zurück.

Wie solches Bruchrechnen im Unterricht geübt wurde, zeigt eine Szene beim Dichter Horaz (Ars poetica, Vers 325–330): Ein Lehrer fragt den Sohn eines gewissen Albinus, was übrig bleibt, wenn man von einem quincunx eine Unze abzieht. Die Antwort lautet triens (5/12 − 1/12 = 4/12 = 1/3). Und wenn man eine Unze hinzufügt? Semis, also die Hälfte. Horaz beklagt an dieser Stelle, dass römische Jungen so lange Geld- und Bruchrechnen pauken, dass für Dichtung kein Sinn mehr bleibe. Mehr zum heutigen Rechnen mit Bruchteilen erklärt die Seite Brüche.

Rechnen mit Steinchen: Rechenbrett und Hand-Abakus

Mit römischen Zahlen schriftlich zu rechnen, ist mühsam, und die Römer taten es auch kaum. Die Zahlzeichen dienten dazu, Ergebnisse festzuhalten. Gerechnet wurde mit Steinchen, lateinisch calculi, auf einem Rechenbrett mit Spalten oder Linien für Einer, Zehner, Hunderter und so weiter. Von calculus stammen die Wörter „kalkulieren“ und „Kalkül“. Ähnliche Rechenbretter benutzten schon die Griechen; das bekannteste erhaltene Exemplar ist die marmorne Tafel von Salamis.

Eine handliche Variante war der Hand-Abakus aus Bronze, von dem nur wenige Exemplare erhalten sind, etwa in Paris, Rom und Aosta. Er besaß sieben Spalten für die Stellen von 1 bis 1.000.000. Jede Spalte hatte einen langen Schlitz mit vier Kugeln für die Einer und einen kurzen Schlitz mit einer Kugel für die Fünf. Rechts schlossen sich Schlitze für Zwölftel und kleinere Bruchteile an. Zum Addieren schob man Kugeln hinzu und trug bei Überlauf in die nächste Spalte über, ganz wie beim schriftlichen Addieren heute. Multiplikationen zerlegte man in Teilprodukte. Geübte Rechner kamen so sehr schnell zu Ergebnissen.

Rechnen war ein eigenes Unterrichtsfach. Der calculator unterrichtete Kinder im praktischen Rechnen. Das Höchstpreisedikt Kaiser Diokletians von 301 n. Chr. erlaubte ihm 75 Denare pro Schüler und Monat, mehr als dem Elementarlehrer mit 50 Denaren, aber deutlich weniger als dem Grammatiklehrer. Daneben war das Zählen mit Fingerstellungen verbreitet: Der Satiriker Juvenal erwähnt den greisen Nestor, der seine Lebensjahre schon an der rechten Hand zähle, auf der man die Hunderter darstellte.

Feldmesser und Agrimensoren: Geometrie im Gelände

Die wichtigste mathematische Berufsgruppe Roms waren die Landvermesser, die Agrimensoren oder gromatici. Sie steckten die Grundstücke neuer Kolonien ab, legten Grenzen fest, vermaßen Straßen und Lager und lieferten die Grundlagen für Grundbuch und Besteuerung. Ihr wichtigstes Instrument war die Groma: ein waagerechtes Kreuz auf einem Stab, an dessen vier Enden Lote hingen. Peilte man über zwei gegenüberliegende Schnüre, ließen sich gerade Linien und rechte Winkel abstecken.

Wie eine Groma aussah, ist genau bekannt: 1912 wurden in Pompeji in der Werkstatt eines Vermessers namens Verus die Metallteile einer Groma gefunden, zusammen mit Linealen, Winkeln und weiterem Zubehör eines Vermessers. Für Längen nutzte man Messlatten von zehn Fuß (decempeda), für Höhenunterschiede den chorobates, einen langen Nivelliertisch, den Vitruv beschreibt. Grundmaß war der römische Fuß von etwa 29,6 Zentimetern; 1.000 Doppelschritte (mille passus) ergaben die römische Meile von rund 1,48 Kilometern, auf die das Wort „Meile“ zurückgeht.

Zenturiation: das römische Raster

Bei der Gründung von Kolonien teilten die Agrimensoren das Land in ein rechtwinkliges Raster, die Zenturiation. Zwei Hauptachsen, der decumanus maximus und der cardo maximus, kreuzten sich im Zentrum. Parallel dazu entstanden Wege im Abstand von meist 20 actus (2.400 Fuß, etwa 710 Meter). Jedes Quadrat, eine centuria, umfasste 200 iugera oder rund 50 Hektar; ein iugerum (28.800 Quadratfuß, etwa 0,25 Hektar) entsprach ursprünglich der Fläche, die ein Ochsengespann an einem Tag pflügen konnte. In der Po-Ebene oder in Tunesien sind diese Raster bis heute in Feldgrenzen und Straßen zu erkennen.

Die Fachliteratur der Feldmesser ist im Corpus agrimensorum Romanorum gesammelt, mit Texten von Frontinus, Hyginus, Balbus, Siculus Flaccus und anderen. Die älteste Handschrift, der Codex Arcerianus aus dem 6. Jahrhundert, liegt heute in Wolfenbüttel. Die Texte erklären Vermessungspraxis, Grenzrecht und Flächenberechnung; viele Formeln gehen auf griechische Vorbilder in der Tradition Herons von Alexandria zurück.

Architektur und Wasserbau: Vitruv und Frontinus

Der Architekt Vitruv widmete Kaiser Augustus zwischen etwa 30 und 15 v. Chr. sein Werk De architectura in zehn Büchern, das einzige vollständig erhaltene Architekturlehrbuch der Antike. Es enthält viel angewandte Mathematik: Proportionsregeln für Tempel und Säulen, die Maßverhältnisse des menschlichen Körpers, auf die sich später Leonardo da Vinci mit seinem „vitruvianischen Menschen“ bezog, und Anleitungen für Sonnenuhren. Für Treppen empfiehlt Vitruv das Verhältnis 3 : 4 : 5 und beruft sich dabei ausdrücklich auf Pythagoras. Bei ihm steht auch die Geschichte, wie Archimedes die Goldkrone König Hierons prüfte.

Vitruv beschreibt außerdem einen Wegmesser, ein Wagenrad mit Zahnradgetriebe, das nach jeder Meile einen Stein in einen Kasten fallen ließ. Pro Umdrehung legt das Rad nach Vitruv zwölfeinhalb Fuß zurück, 400 Umdrehungen ergeben eine Meile. Die überlieferte Angabe zum Raddurchmesser passt allerdings nicht genau dazu: Je nach Lesart der Handschriften ergibt sich ein Verhältnis von Umfang zu Durchmesser zwischen 3 und 3,125. Ob Vitruv hier grob rechnete oder der Text verderbt ist, ist umstritten. Von der Genauigkeit des Archimedes ist beides weit entfernt.

Sextus Iulius Frontinus wurde 97 n. Chr. Aufseher über die Wasserversorgung Roms und schrieb darüber De aquaeductu. Er erfasste die Leitungen, ihre Längen und die Zuteilung des Wassers über genormte Rohrquerschnitte. Dabei maß er die Wassermenge allein am Querschnitt der Rohre und berücksichtigte die Fließgeschwindigkeit nicht. Die Differenzen zwischen Zu- und Abfluss, die er deshalb fand, deutete er als Wasserdiebstahl. Die Ingenieurleistung der Aquädukte selbst beruhte auf sorgfältiger Nivellierung: Die Leitung nach Nîmes verliert auf rund 50 Kilometern nur wenige Meter Höhe, und auf der Brücke Pont du Gard sinkt die Rinne auf 456 Metern nur um etwa 2,5 Zentimeter.

Kalender und Zeitrechnung: von 355 Tagen zum Julianischen Kalender

Der ältere römische Kalender hatte nur 355 Tage. Um ihn mit dem Sonnenjahr in Einklang zu halten, schalteten die Priester (pontifices) in manchen Jahren einen zusätzlichen Monat ein, den Mercedonius. Da sie dies auch aus politischen Gründen taten, um Amtszeiten zu verlängern oder zu verkürzen, war der Kalender Mitte des 1. Jahrhunderts v. Chr. um etwa drei Monate gegenüber den Jahreszeiten verschoben.

Julius Caesar ließ den Kalender 46 v. Chr. reformieren und stützte sich dabei auf den griechischen Astronomen Sosigenes aus Alexandria. Der Julianische Kalender galt ab 45 v. Chr.: 365 Tage, dazu alle vier Jahre ein Schalttag, im Mittel also 365,25 Tage. Um den alten Rückstand auszugleichen, dauerte das Jahr 46 v. Chr. 445 Tage. Anfangs schalteten die Priester irrtümlich jedes dritte Jahr ein, weil sie das Ausgangsjahr mitzählten; Augustus korrigierte dies, indem er für zwölf Jahre die Schalttage aussetzte. Der Schalttag wurde übrigens nicht ans Monatsende angehängt, sondern der sechste Tag vor den Kalenden des März doppelt gezählt (bis sextus). Daher heißt ein Schaltjahr etwa im Französischen bis heute année bissextile.

Weil das wahre Sonnenjahr gut elf Minuten kürzer ist, wich der Julianische Kalender alle 128 Jahre um etwa einen Tag ab. Diese Abweichung behob erst die Gregorianische Reform von 1582. Auch das Wort „Kalender“ ist römisch: Es kommt von den Kalendae, dem Monatsersten, an dem Zinsen fällig wurden; das Schuldbuch hieß calendarium. Am Ende der Antike entwickelte der Mönch Dionysius Exiguus 525 n. Chr. eine Ostertafel, in der er die Jahre erstmals „seit der Menschwerdung des Herrn“ zählte. Darauf geht die heutige Jahreszählung nach Christi Geburt zurück.

Boethius und die mathematische Bildung der Spätantike

Schon der Gelehrte Marcus Terentius Varro (116–27 v. Chr.) stellte in einem verlorenen Werk neun „Disziplinen“ zusammen, darunter Geometrie und Arithmetik. Martianus Capella verdichtete das im 5. Jahrhundert n. Chr. zu den sieben freien Künsten, wie sie das Mittelalter kannte: Grammatik, Rhetorik und Dialektik (später Trivium) sowie Arithmetik, Geometrie, Astronomie und Musik.

Die entscheidende Gestalt am Übergang zum Mittelalter war Anicius Manlius Severinus Boethius (um 480/485–524/526). Der römische Senator, 510 Konsul und später einer der höchsten Beamten am Hof des Ostgotenkönigs Theoderich, wollte die griechische Wissenschaft ins Lateinische übertragen. Seine De institutione arithmetica ist eine freie Bearbeitung der „Einführung in die Arithmetik“ des Nikomachos von Gerasa (um 100 n. Chr.) und behandelt gerade und ungerade Zahlen, Primzahlen, vollkommene Zahlen, figurierte Zahlen und Proportionen. Für die vier mathematischen Fächer prägte Boethius den Begriff Quadrivium. Er schrieb auch über Musiktheorie und übersetzte Schriften zur Logik des Aristoteles; seine Bücher zu Geometrie und Astronomie sind verloren. Wegen angeblichen Hochverrats wurde er hingerichtet; im Gefängnis verfasste er den „Trost der Philosophie“ (Consolatio philosophiae).

Boethius’ Arithmetik wurde zum Standardlehrbuch an Kloster- und Domschulen und später an den Universitäten. Rund tausend Jahre lang lernten Studenten in Europa die Zahlenlehre nach Boethius und damit indirekt nach Vorbildern der griechischen Mathematik. Sein Zeitgenosse Cassiodor (ca. 485–580) sorgte in seinem Kloster Vivarium dafür, dass solche Texte abgeschrieben und bewahrt wurden. Spätere Geometrietexte, die man Boethius zuschrieb, stammen nicht von ihm.

Warum brachte Rom so wenig mathematische Theorie hervor?

Die Frage beschäftigt Historiker seit Langem. Eine einzelne Ursache gibt es nicht, wohl aber mehrere Gründe, die zusammenwirkten. Schon Cicero sah den Unterschied zwischen Griechen und Römern deutlich:

„Bei ihnen stand die Geometrie in höchstem Ansehen, und darum war niemand angesehener als die Mathematiker. Wir dagegen haben dieser Kunst als Grenze den Nutzen beim Messen und Rechnen gesetzt.“

• Wertvorstellungen: Die römische Oberschicht schätzte Recht, Politik, Kriegsführung und Redekunst. Wissenschaft ohne praktischen Nutzen galt als Beschäftigung für die Mußezeit, nicht als Lebensaufgabe.
• Bildungsweg: Der höhere Unterricht führte über Grammatik zur Rhetorik. Mathematik lernte man nur so weit, wie man sie zum Rechnen und Messen brauchte.
• Sprache und Arbeitsteilung: Theoretische Mathematik war griechisch. Wer sie betreiben wollte, schrieb auf Griechisch, wie Heron, Ptolemäus, Diophant oder Hypatia. Für lateinische Übersetzungen sah man lange keinen Bedarf.
• Soziale Stellung: Technische Fachleute, darunter Architekten, Vermesser und Rechner, waren oft Freigelassene, Sklaven oder Griechen. Ihr Wissen genoss Ansehen als Handwerk, nicht als Philosophie.
• Institutionen: Ein Gegenstück zum Museion von Alexandria, das Forschung um ihrer selbst willen finanzierte, gab es in Rom nicht.

Die römischen Zahlzeichen waren dagegen kaum die Ursache. Auch die Griechen besaßen kein Stellenwertsystem, und ihre große Mathematik war geometrisch, nicht rechnerisch. Gerechnet wurde in beiden Kulturen auf dem Rechenbrett. Folgenreich wurde die römische Zurückhaltung erst, als im Westen ab dem 3. und 4. Jahrhundert immer weniger Menschen Griechisch lasen. Was nicht übersetzt war, geriet dort für Jahrhunderte außer Reichweite.

Wichtige Persönlichkeiten der römischen Mathematik

Zeitleiste der römischen Mathematik

1. 212 v. Chr. Römer erobern Syrakus; Archimedes wird getötet.
2. 75 v. Chr. Cicero entdeckt auf Sizilien das Grab des Archimedes.
3. 46/45 v. Chr. Caesars Kalenderreform: Das Jahr 46 v. Chr. hat 445 Tage, ab 45 v. Chr. gilt der Julianische Kalender.
4. um 30–15 v. Chr. Vitruv verfasst De architectura.
5. 30 v. Chr. Ägypten wird römische Provinz; Alexandria gehört nun zum Römischen Reich.
6. um 60 n. Chr. Columella schreibt über Landwirtschaft und Flächenberechnung.
7. 80 n. Chr. Eröffnung des Kolosseums mit durchnummerierten Eingängen.
8. 97/98 n. Chr. Frontinus verfasst De aquaeductu über Roms Wasserversorgung.
9. 301 n. Chr. Diokletians Höchstpreisedikt legt den Lohn für Rechenlehrer fest.
10. 476 n. Chr. Ende des Weströmischen Reiches.
11. vor 507 n. Chr. Boethius schreibt De institutione arithmetica.
12. 525 n. Chr. Dionysius Exiguus begründet die Jahreszählung nach Christi Geburt.

Erbe und Einfluss

Im frühen Mittelalter war die römische Tradition fast das Einzige, was Westeuropa an Mathematik besaß: Boethius’ Arithmetik, Reste der Feldmesserliteratur, das Rechnen auf dem Abakus und die Osterrechnung. Gelehrte wie Gerbert von Aurillac, der spätere Papst Silvester II., verbesserten um 1000 den Abakus mit Rechensteinen, auf denen bereits indisch-arabische Ziffern standen. Den Durchbruch der neuen Ziffern im Alltag brachte aber erst Leonardo von Pisa mit seinem Liber Abaci von 1202. Bis ins 16. Jahrhundert hielten sich römische Zahlen in Rechnungsbüchern, ehe die indisch-arabischen Ziffern sie endgültig verdrängten.

Ganz verschwunden sind die römischen Zahlen nie. Sie stehen auf Zifferblättern, Grundsteinen und Denkmälern, zählen Kapitel, Monarchen und Päpste und erscheinen im Abspann von Filmen. Die Zenturiation prägt bis heute Landschaften in Italien und Nordafrika, und der heute gültige Kalender ist der leicht verbesserte Kalender Caesars. Mathematisch weit bedeutender war jedoch, was in griechischer Sprache unter römischer Herrschaft entstand: Die Werke von Heron und Ptolemäus gelangten über die Mathematik der islamischen Welt zurück nach Europa. Wie Zahlen und Zahlsysteme heute aufgebaut sind, erklärt die Seite Zahlen und ihre Eigenschaften.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• Karl Menninger: Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichte der Zahl, 2. Auflage, 2 Bände, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1957–1958.
• Moritz Cantor: Die römischen Agrimensoren und ihre Stellung in der Geschichte der Feldmeßkunst, Teubner, Leipzig 1875.
• Oswald A. W. Dilke: The Roman Land Surveyors. An Introduction to the Agrimensores, David & Charles, Newton Abbot 1971.
• MacTutor History of Mathematics: Anicius Manlius Severinus Boethius (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Marcus Vitruvius Pollio (englisch)