Eulers Identität: die schönste Formel der Welt

Sie ist kurz genug für ein T-Shirt und trotzdem Stoff für Bücher: e^iπ + 1 = 0. Die Eulersche Identität verbindet fünf der wichtigsten Zahlen der Mathematik mit Addition, Multiplikation und Potenzieren. Wer sie zum ersten Mal sieht, fragt sich, wie Zahlen aus so verschiedenen Ecken der Mathematik zusammenpassen können. Dieser Beitrag geht der Frage nach, woher die fünf Zahlen kommen und warum die Gleichung so oft zur schönsten der Mathematik gewählt wird.

Die Herleitung aus der Eulerschen Formel steht auf der Seite über Leonhard Euler und wird hier nicht wiederholt. Im Mittelpunkt stehen die Geschichte der Zahlen, die Anschauung und die Frage nach der Schönheit.

Eine Gleichung, fünf Zahlen

Auf der linken Seite stehen vier Zahlen: die Eulersche Zahl e ≈ 2,71828, die imaginäre Einheit i, die Kreiszahl π ≈ 3,14159 und die Eins. Rechts steht die Null. Verknüpft werden sie mit einer Hochzahl, einem Mal und einem Plus. Es fehlt nichts und es ist nichts überflüssig, das ist ein Teil der Faszination.

Das Erstaunliche ist die Herkunft der Zutaten. Die Null kommt aus der Rechenkunst, π aus der Geometrie des Kreises, e aus der Zinsrechnung, i aus der Lösung von Gleichungen. Vier Jahrtausende Mathematik laufen in einer Zeile zusammen. Die Zahlen im Einzelnen:

Woher die fünf Zahlen kommen

Die Eins: der Anfang des Zählens

Die Eins ist die älteste der fünf Zahlen. Sie ist das Neutrale der Multiplikation: Wer mit 1 malnimmt, ändert nichts. Aus der Eins entstehen durch Addieren alle natürlichen Zahlen. Schon auf den Tontafeln und Papyri der frühen Hochkulturen (siehe sumerische und babylonische Mathematik) wird mit ihr gerechnet.

Die Null: eine Erfindung mit langer Anlaufzeit

Die Null als Platzhalter kannten bereits die Babylonier. Als eigene Zahl, mit der man rechnet, tritt sie in Indien auf. Brahmagupta beschrieb in seinem Werk von 628 Regeln wie „eine Zahl plus Null ist die Zahl“. Seine Regeln zum Rechnen mit Null und mit negativen Zahlen gelten als erste ausführliche Darstellung dieser Art. Über die islamische Welt gelangte das Stellenwertsystem mit der Null später nach Europa.

π: der Kreis und sein Umfang

Das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises ist bei jedem Kreis gleich, ob Münze oder Erdbahn. Sein Wert beschäftigte Mathematiker seit den Babyloniern und Ägyptern. Archimedes schachtelte π im 3. Jahrhundert v. Chr. mit Vielecken ein: Beim 96-Eck erhielt er 3 10/71 < π < 3 1/7, also 3,1408 < π < 3,1429. Dass π irrational ist, also keine abbrechende oder periodische Dezimalzahl, bewies erst im 18. Jahrhundert Johann Heinrich Lambert.

e: Wachstum und Zinseszins

Die Zahl e entdeckte Jakob Bernoulli um 1683 bei einer Frage aus dem Geldverkehr. Ein Taler, ein Jahr lang zu 100 Prozent verzinst, wird bei jährlicher Gutschrift zu 2 Talern. Wird häufiger gutgeschrieben, wächst das Kapital, aber nicht beliebig: Es nähert sich einer Grenze, der Zahl e. Euler gab ihr den Buchstaben und erkannte sie als natürliche Basis von Exponentialfunktion und Logarithmus. Überall, wo etwas proportional zu seiner eigenen Größe wächst oder zerfällt, taucht e auf.

i: die Wurzel aus minus eins

Die imaginäre Einheit i ist die Zahl, deren Quadrat −1 ist. Unter den reellen Zahlen gibt es sie nicht, denn das Quadrat jeder reellen Zahl ist nicht negativ. Trotzdem zwang die Algebra Mathematiker dazu, mit ihr zu rechnen. Beim Lösen von Gleichungen dritten Grades stieß Gerolamo Cardano in der Ars Magna von 1545 auf Wurzeln aus negativen Zahlen. Rafael Bombelli zeigte 1572 in seiner L’Algebra, wie man mit ihnen konsequent rechnet, und erhielt so reelle Lösungen. Der Name „imaginär“ stammt von Descartes und war abwertend gemeint; das Symbol i geht auf Euler zurück. Mehr zur Zeit steht im Überblick über die Mathematik des 16. Jahrhunderts.

Was die Gleichung anschaulich bedeutet

Mit einer imaginären Hochzahl bekommt die Exponentialfunktion eine geometrische Bedeutung. In der Zahlenebene, in der waagerecht die reellen und senkrecht die imaginären Zahlen stehen, beschreibt e^iφ einen Punkt auf dem Einheitskreis. Der Winkel φ (im Bogenmaß) sagt, wie weit man vom Punkt 1 aus gegen den Uhrzeigersinn gewandert ist. Das ist die Aussage der Eulerschen Formel, die Exponentialfunktion und Trigonometrie verbindet.

Setzt man für den Winkel π ein, ist das ein halber Umlauf. Man steht dann auf der gegenüberliegenden Seite des Kreises, bei −1. Damit gilt e^iπ = −1, und nach Addition von 1 bleibt die Null. Die Formel besagt also nichts anderes als: Eine halbe Drehung macht aus 1 die Zahl −1.

Wer die Zahlen schrittweise nachvollziehen möchte, findet die Rechnung im Abschnitt Eulersche Formel und Eulersche Identität. Der Zusammenhang erklärt, warum die Identität in der Technik wichtig ist: Schwingungen und Wechselströme lassen sich als Drehungen beschreiben. Die imaginäre Hochzahl erweitert die gewohnten Potenzen, und diese Erweiterung nutzte erst Euler konsequent.

Warum gilt sie als schön?

Schönheit ist Geschmackssache, und doch gibt es Messversuche. Der Mathematiker David Wells bat 1988 die Leser der Zeitschrift The Mathematical Intelligencer, 24 Sätze der Mathematik nach ihrer Schönheit zu bewerten. Auf Platz 1 landete die Eulersche Identität, vor der Eulerschen Polyederformel und dem Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Die Auswertung erschien 1990. Zu bedenken ist: Ausgewertet wurden nur 68 Antworten von Leserinnen und Lesern eines Fachmagazins, keine repräsentative Umfrage.

Einen Schritt weiter ging 2014 ein Team um den Neurowissenschaftler Semir Zeki vom University College London. 15 Mathematikerinnen und Mathematiker bewerteten Formeln nach ihrer Schönheit und sahen sie dann im Hirnscanner (fMRI) wieder. Die Eulersche Identität erhielt im Durchschnitt die höchste Schönheitsnote, eine Reihe für 1/π von Ramanujan die niedrigste. Je schöner eine Formel bewertet wurde, desto stärker war ein bestimmter Bereich des Stirnhirns aktiv (mediale orbitofrontale Rinde). Das ist dieselbe Region, die auch bei als schön empfundener Musik oder Kunst aktiv wird. Auch hier gilt: kleine Stichprobe, und die Studie zeigt Korrelation, nicht Ursache.

Was Euler damit zu tun hat

Die Formel e^iφ = cos φ + i sin φ steht in Eulers Introductio in analysin infinitorum von 1748. Die Identität ergibt sich daraus für φ = π. In seinen veröffentlichten Schriften steht sie allerdings wohl nicht in dieser Gestalt, wer sie zuerst ausdrücklich aufschrieb, ist unbekannt. Der Name „Eulersche Identität“ ehrt also eher den Urheber der Formel dahinter. Mehr zum Leben und zu den Mythen um Euler steht auf der Seite Leonhard Euler; das 18. Jahrhundert insgesamt behandelt die Mathematik des 18. Jahrhunderts.

Fazit: Warum die Formel mehr ist als ein Schmuckstück

Die Eulersche Identität ist nicht nur hübsch, sie ist nützlich. Die dahinterliegende Eulersche Formel bildet die Grundlage der Signalverarbeitung, der Elektrotechnik und der Quantenphysik. Schön wirkt die Gleichung, weil sie Unerwartetes verbindet und dabei mit minimalen Mitteln auskommt. Ob man das schön nennt, bleibt Geschmack, aber wenige Gleichungen haben so viele Menschen überzeugt, dass Mathematik mehr ist als Rechnen.

Quellen und weiterführende Literatur

• Semir Zeki, John Paul Romaya, Dionigi M. T. Benincasa, Michael F. Atiyah: The experience of mathematical beauty and its neural correlates. Frontiers in Human Neuroscience 8, 2014 (englisch)
• David Wells: Are these the most beautiful? The Mathematical Intelligencer, 1990 (Auswertung der Umfrage von 1988, englisch).
• MacTutor History of Mathematics: Leonhard Euler (englisch)
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1 und 2, Springer, Berlin 2008/2009.