Mathematik des 17. Jahrhunderts

Die Mathematik des 17. Jahrhunderts verwandelte sich in wenigen Jahrzehnten von einer Kunst des geschickten Rechnens und Konstruierens in die Sprache der Naturwissenschaft. Zwischen 1600 und 1700 entstanden die Logarithmen, die analytische Geometrie, die Wahrscheinlichkeitsrechnung, die projektive Geometrie, die moderne Zahlentheorie und als Höhepunkt die Infinitesimalrechnung, also die Differential- und Integralrechnung von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz.

Schauplatz war vor allem Europa. Dort trafen das wiederentdeckte Erbe der hellenistischen Mathematik, die Buchstabenalgebra der Renaissance und eine neue Naturforschung zusammen, die ihre Gesetze in Zahlen und Gleichungen fassen wollte. Ebenso neu war die Organisation des Wissens: Briefnetzwerke, Akademien und die ersten wissenschaftlichen Zeitschriften sorgten dafür, dass sich Ergebnisse schneller verbreiteten und öffentlich geprüft werden konnten.

Die wissenschaftliche Revolution als Rahmen

Das 17. Jahrhundert gilt als Kernzeit der wissenschaftlichen Revolution. Den Anstoß hatte Nikolaus Kopernikus gegeben, der 1543 ein Weltbild mit der Sonne im Zentrum vorlegte (siehe Mathematik des 16. Jahrhunderts). Der dänische Astronom Tycho Brahe sammelte danach die genauesten Planetenbeobachtungen vor der Erfindung des Fernrohrs. Johannes Kepler, ab 1600 sein Assistent in Prag, wertete diese Daten jahrelang aus und fand die Gesetze der Planetenbewegung: 1609 die elliptischen Bahnen und den Flächensatz, 1619 den Zusammenhang zwischen Umlaufzeit und Bahngröße.

Galileo Galilei richtete ab 1609 ein Fernrohr auf den Himmel und entdeckte 1610 die vier großen Jupitermonde. Für die Mathematik noch folgenreicher waren seine Untersuchungen zur Bewegung: In den Discorsi (1638) beschrieb er den freien Fall mit Zahlenverhältnissen und zeigte, dass ein geworfener Körper eine Parabel durchläuft. Sein Prozess vor der römischen Inquisition 1633 zeigt, wie umstritten das neue Weltbild war.

„Es [das Buch des Universums] ist in der Sprache der Mathematik geschrieben, und die Buchstaben sind Dreiecke, Kreise und andere geometrische Figuren.“

Viele der Hauptfiguren waren keine Professoren: Pierre de Fermat war Jurist in Toulouse, René Descartes ein Privatgelehrter, John Napier ein schottischer Gutsherr, Marin Mersenne ein Mönch und Leibniz Diplomat und Bibliothekar. Die Universitäten hinkten oft hinterher; der Lucasische Lehrstuhl in Cambridge wurde erst 1663 gestiftet. Zugleich verwüstete der Dreißigjährige Krieg (1618–1648) weite Teile Mitteleuropas, sodass die Zentren der Mathematik vor allem in Frankreich, England, Italien und den Niederlanden lagen.

Briefe, Akademien und die ersten Fachzeitschriften

Bevor es Fachzeitschriften gab, liefen neue Ergebnisse über Briefe. Die wichtigste Drehscheibe war der Minimenmönch Marin Mersenne in Paris. Er korrespondierte unter anderem mit Descartes, Fermat, Gilles Personne de Roberval, Étienne und Blaise Pascal, Evangelista Torricelli und dem jungen Christiaan Huygens, stellte Aufgaben, leitete Lösungen weiter und lud zu regelmäßigen Treffen in seine Klosterzelle. Aus diesem Kreis ging später die Pariser Akademie hervor.

In der zweiten Jahrhunderthälfte bekam die Forschung feste Institutionen. In Italien bestanden bereits die Accademia dei Lincei (1603), der auch Galilei angehörte, und die Florentiner Accademia del Cimento (1657); in Schweinfurt wurde 1652 die heutige Leopoldina gegründet. In London entstand 1660 die Royal Society (königliche Charta 1662), in Paris 1666 auf Betreiben des Ministers Jean-Baptiste Colbert die Académie des sciences, deren Mitglieder der König besoldete. Leibniz regte schließlich die Gründung der Berliner Sozietät der Wissenschaften im Jahr 1700 an und wurde ihr erster Präsident.

1665 erschienen die ersten wissenschaftlichen Zeitschriften: im Januar das Journal des sçavans in Paris, im März die Philosophical Transactions der Royal Society, herausgegeben von deren Sekretär Henry Oldenburg. 1682 folgten in Leipzig die Acta Eruditorum, in denen Leibniz seine Infinitesimalrechnung veröffentlichte. Mit diesen Journalen wurde das Datum einer Veröffentlichung zum Beleg für Priorität. Das sollte im Streit zwischen Newton und Leibniz eine große Rolle spielen.

Logarithmen: Rechnen wird leichter

Astronomen, Navigatoren und Landvermesser mussten um 1600 riesige Mengen mehrstelliger Zahlen multiplizieren und dividieren, etwa für trigonometrische Berechnungen. Der schottische Gutsherr John Napier arbeitete vermutlich rund zwanzig Jahre an einer Abkürzung und veröffentlichte 1614 seine Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio („Beschreibung der wunderbaren Logarithmentafel“). Das Wort Logarithmus bildete er aus den griechischen Wörtern für „Verhältnis“ und „Zahl“.

Die Grundidee: Der Logarithmus einer Zahl ist der Exponent, mit dem man eine feste Basis potenzieren muss, um diese Zahl zu erhalten. Zur Basis 10 gilt etwa log 100 = 2, weil 10² = 100. Weil sich beim Multiplizieren von Potenzen die Exponenten addieren, wird aus jeder Multiplikation eine Addition: log(a · b) = log a + log b. Entsprechend wird aus einer Division eine Subtraktion und aus dem Potenzieren eine Multiplikation: log(aⁿ) = n · log a. Eine Quadratwurzel zieht man, indem man den Logarithmus halbiert. Napiers eigene Logarithmen waren allerdings noch anders aufgebaut und hatten keine Basis im heutigen Sinn.

Unabhängig von Napier hatte der Schweizer Instrumentenbauer Jost Bürgi eine ähnliche Tafel berechnet, die 1620 in Prag erschien. Den entscheidenden Schritt zur Praxis tat der Londoner Professor Henry Briggs: Er besuchte Napier 1615 und 1616, gemeinsam einigten sie sich auf die Basis 10, und Briggs veröffentlichte 1624 in der Arithmetica logarithmica die dekadischen Logarithmen von 1 bis 20.000 und von 90.000 bis 100.000 mit 14 Stellen. Kepler berechnete damit seine Rudolfinischen Tafeln (1627). Edmund Gunter trug 1620 Logarithmen auf ein Lineal auf, und William Oughtred erfand um 1622 den Rechenschieber, indem er zwei solche Skalen gegeneinander verschob. Bis zur Verbreitung des Taschenrechners in den 1970er-Jahren blieb er das wichtigste Rechenwerkzeug von Ingenieuren.

Dem Mathematiker Pierre-Simon Laplace wird der Satz zugeschrieben, die Logarithmen hätten durch die Verkürzung der Rechenarbeit das Leben der Astronomen verdoppelt; eine sichere Quelle für das Zitat ist allerdings nicht bekannt. Der heute wichtige natürliche Logarithmus kam auf anderem Weg hinzu: Grégoire de Saint-Vincent und Alphonse Antonio de Sarasa erkannten in den 1640er-Jahren, dass die Fläche unter der Hyperbel y = 1/x logarithmisch wächst, und Nicolaus Mercator fand 1668 eine Reihe für den Logarithmus. Die Zahl e, die Basis dieses Logarithmus, erhielt ihren Namen erst im 18. Jahrhundert durch Leonhard Euler. Mehr zum Rechnen mit Logarithmen steht auf der Lernseite Logarithmen.

Napiers Rechenstäbchen und das Dezimaltrennzeichen

1617 beschrieb Napier in der Rabdologia ein zweites Hilfsmittel: beschriftete Stäbchen, die als „Napiers Knochen“ bekannt wurden. Sie setzen die Gittermethode der Multiplikation mechanisch um, die in arabischen, indischen und italienischen Rechenbüchern längst verbreitet war, und erleichterten so das Multiplizieren großer Zahlen ohne Kopfrechnen. Im selben Buch verwendete Napier einen Trennpunkt zwischen ganzen Zahlen und Dezimalstellen. Die Dezimalbrüche selbst hatte der flämische Mathematiker Simon Stevin 1585 in De Thiende propagiert, allerdings mit einer umständlichen Schreibweise; Napiers Punkt (im Deutschen später das Komma) setzte sich durch. Wie man heute damit rechnet, zeigt die Seite Dezimalzahlen.

Neue Zeichen: Die Formelsprache entsteht

Ein unterschätzter Fortschritt des Jahrhunderts ist die Schreibweise. Das Gleichheitszeichen hatte Robert Recorde schon 1557 eingeführt, und François Viète rechnete mit Buchstaben für bekannte und unbekannte Größen. Erst im 17. Jahrhundert aber entstand der Grundbestand an Symbolen, der Formeln kurz und eindeutig macht. Viele davon konkurrierten noch jahrzehntelang mit anderen Vorschlägen.

Analytische Geometrie: Descartes und Fermat

1637 veröffentlichte René Descartes seinen Discours de la méthode mit drei Anhängen; einer davon war La Géométrie. Darin übersetzte er geometrische Probleme in Gleichungen, löste sie algebraisch und deutete die Lösung wieder geometrisch. Er ordnete Kurven nach dem Grad ihrer Gleichung, löste ein altes Problem des Pappos von Alexandria und gab die nach ihm benannte Vorzeichenregel für die Anzahl positiver Nullstellen eines Polynoms an. Nebenbei prägte er Schreibweisen, die bis heute gelten: x, y, z für Unbekannte und Hochzahlen für Potenzen (für das Quadrat schrieb er allerdings meist noch xx).

Ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit zwei gleichberechtigten Achsen, wie es heute „kartesisch“ heißt, findet sich bei Descartes noch nicht. Er arbeitete mit einer Bezugslinie und schrägen Strecken; die vertraute Form entstand erst durch spätere Bearbeiter wie Frans van Schooten, der die Géométrie 1649 ins Lateinische übersetzte und kommentierte, sowie durch Wallis und Newton. Unabhängig von Descartes kam Pierre de Fermat zur gleichen Grundidee. Seine kurze Schrift Ad locos planos et solidos isagoge zirkulierte ab etwa 1636 als Manuskript und zeigte, dass Gleichungen ersten Grades Geraden und Gleichungen zweiten Grades Kegelschnitte beschreiben, etwa x² + y² = r² einen Kreis. Gedruckt wurde sie erst 1679.

Die Verbindung von Algebra und Geometrie war die Voraussetzung für alles Weitere: Wer eine Kurve als Gleichung kennt, kann Tangenten, Flächen und Schnittpunkte berechnen, statt sie zu konstruieren. Aus diesem Ansatz gingen der Funktionsbegriff (siehe Funktionen) und die Infinitesimalrechnung hervor. Descartes selbst ist heute mindestens ebenso als Philosoph bekannt: Sein Satz „Ich denke, also bin ich“ steht in französischer Form im Discours von 1637 und in lateinischer Form („cogito, ergo sum“) in den Principia philosophiae von 1644.

Projektive Geometrie: Desargues und Pascal

Der Lyoner Architekt und Ingenieur Girard Desargues untersuchte, was mit Figuren geschieht, wenn man sie von einem Punkt aus auf eine andere Ebene projiziert, so wie ein Maler einen Gegenstand perspektivisch abbildet. In seiner Schrift über Kegelschnitte von 1639 (Brouillon project) zeigte er, dass Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel bei solchen Projektionen ineinander übergehen und daher als Varianten einer einzigen Kurvenart behandelt werden können. Dazu führte er unendlich ferne Punkte ein, in denen sich parallele Geraden „schneiden“.

Nach ihm benannt ist der Satz von Desargues: Liegen zwei Dreiecke perspektivisch zu einem Punkt (verlaufen also die Verbindungsgeraden entsprechender Ecken durch einen gemeinsamen Punkt), dann liegen die drei Schnittpunkte entsprechender Seiten auf einer gemeinsamen Geraden. Der Kupferstecher Abraham Bosse machte den Satz 1648 bekannt. Der erst sechzehnjährige Blaise Pascal griff Desargues’ Ideen auf und veröffentlichte 1640 einen Essai pour les coniques mit dem nach ihm benannten Sechsecksatz: Bei einem einem Kegelschnitt einbeschriebenen Sechseck liegen die Schnittpunkte gegenüberliegender Seiten auf einer Geraden.

Desargues’ Werk wurde kaum gelesen und geriet in Vergessenheit; erst 1845 tauchte eine handschriftliche Kopie seiner Hauptschrift wieder auf. Seine Ideen lebten im 19. Jahrhundert auf, als Jean-Victor Poncelet die projektive Geometrie neu begründete, vorbereitet durch die darstellende Geometrie von Gaspard Monge (siehe Mathematik des 19. Jahrhunderts).

Zahlentheorie: Fermats Randnotizen und Mersennes Primzahlen

Fermat las die Arithmetica des Diophant von Alexandria in der lateinischen Ausgabe von Claude-Gaspard Bachet (1621) und notierte am Rand eigene Entdeckungen. Damit begründete er die moderne Zahlentheorie, also die Lehre von den Eigenschaften der ganzen Zahlen. Beweise veröffentlichte er fast nie; seine Ergebnisse kennt man aus Briefen und aus der Ausgabe, die sein Sohn Samuel 1670 drucken ließ.

• Kleiner Fermatscher Satz (Brief von 1640): Ist p eine Primzahl und a nicht durch p teilbar, dann lässt a^p−1 bei Division durch p den Rest 1. Beispiel: 2⁶ = 64 = 9 · 7 + 1. Der Satz ist heute Grundlage von Primzahltests und Verschlüsselungsverfahren.
• Zwei-Quadrate-Satz: Jede Primzahl der Form 4n + 1 ist Summe zweier Quadratzahlen, etwa 13 = 4 + 9.
• Fermat-Zahlen: Fermat vermutete, alle Zahlen 2²ⁿ + 1 seien Primzahlen. Euler widerlegte das 1732.
• Großer Fermatscher Satz: Neben einer Aufgabe Diophants notierte Fermat (vermutlich um 1637), die Gleichung xⁿ + yⁿ = zⁿ habe für n > 2 keine Lösung in positiven ganzen Zahlen; für einen „wahrhaft wunderbaren Beweis“ sei der Rand zu schmal. Bewiesen hat den Satz erst Andrew Wiles 1994/95.

Marin Mersenne untersuchte Zahlen der Form 2^p − 1. Primzahlen dieser Form heißen heute Mersenne-Primzahlen, etwa 3 = 2² − 1, 7 = 2³ − 1, 31 = 2⁵ − 1, 127 = 2⁷ − 1 und 8191 = 2¹³ − 1. Dass der Exponent prim ist, reicht nicht aus: 2¹¹ − 1 = 2047 = 23 · 89. In seinen Cogitata physico-mathematica (1644) behauptete Mersenne, für Exponenten bis 257 seien genau 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 und 257 die richtigen. Die Liste enthielt fünf Fehler, die erst über Jahrhunderte aufgedeckt wurden: Édouard Lucas zeigte 1876, dass 2⁶⁷ − 1 zusammengesetzt ist, Iwan Perwuschin wies 1883 nach, dass 2⁶¹ − 1 prim ist, und Ralph Powers fand 1911 und 1914 die fehlenden Fälle 89 und 107. Vollständig geprüft war Mersennes Bereich erst 1947. Weil sich Mersenne-Zahlen besonders effizient testen lassen, sind die größten bekannten Primzahlen bis heute fast immer Mersenne-Primzahlen.

Die Geburt der Wahrscheinlichkeitsrechnung

1654 wandte sich der Schriftsteller Antoine Gombaud, bekannt als Chevalier de Méré, mit Fragen aus dem Glücksspiel an Pascal. Die bekannteste ist das Teilungsproblem: Wie teilt man den Einsatz gerecht, wenn ein Spiel vorzeitig abgebrochen wird? Im Sommer 1654 lösten Pascal und Fermat das Problem in einem Briefwechsel auf verschiedenen Wegen: Fermat durch Abzählen aller möglichen Spielverläufe, Pascal durch eine rekursive Rechnung. Damit war die mathematische Behandlung des Zufalls geboren.

Im Zusammenhang mit diesen Fragen schrieb Pascal 1654 seinen Traité du triangle arithmétique (gedruckt 1665) über das Zahlendreieck, in dem jede Zahl die Summe der beiden darüberstehenden ist. Er nutzte es für Kombinationen und Binomialkoeffizienten und formulierte dabei ausdrücklich das Beweisprinzip der vollständigen Induktion. Neu war das Dreieck nicht: Es findet sich schon bei al-Karadschi, bei Yang Hui und in europäischen Rechenbüchern des 16. Jahrhunderts. Der Name „Pascalsches Dreieck“ hat sich trotzdem gehalten.

Das erste gedruckte Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung verfasste der Niederländer Christiaan Huygens nach einem Paris-Aufenthalt: De ratiociniis in ludo aleae (1657) führte den Begriff des Erwartungswerts systematisch ein. Fast gleichzeitig begann die Statistik: John Graunt wertete 1662 die Londoner Sterberegister aus, der niederländische Ratspensionär Jan de Witt berechnete 1671 Leibrenten mit Wahrscheinlichkeiten, und Edmond Halley veröffentlichte 1693 eine Sterbetafel für Breslau. Die Fortsetzung schrieb Jakob Bernoulli mit dem Gesetz der großen Zahlen. Grundlagen zum Thema bietet die Seite Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Die ersten Rechenmaschinen

Um seinem Vater, einem Steuerbeamten, die Arbeit zu erleichtern, entwickelte Pascal ab 1642 eine Rechenmaschine für Additionen und Subtraktionen, die Pascaline; mehrere Exemplare sind erhalten. Die erste bekannte Rechenmaschine war sie allerdings nicht: Der Tübinger Professor Wilhelm Schickard hatte bereits 1623 Kepler eine „Rechenuhr“ beschrieben. Leibniz entwarf ab den 1670er-Jahren eine Maschine mit Staffelwalze, die auch multiplizieren und dividieren sollte, und beschäftigte sich mit dem Dualsystem, das nur die Ziffern 0 und 1 kennt (Abhandlung von 1703).

Wege zur Infinitesimalrechnung

Vier Problemkreise beschäftigten die Mathematiker der Jahrhundertmitte: Tangenten an Kurven, Flächen und Volumina krummlinig begrenzter Figuren, größte und kleinste Werte sowie Geschwindigkeiten veränderlicher Bewegungen. Für Flächen gab es das Vorbild der Exhaustionsmethode von Archimedes, doch sie war mühsam und musste für jede Figur neu erfunden werden. Gesucht war ein allgemeines Verfahren.

• Johannes Kepler berechnete 1615 in seiner Nova stereometria doliorum vinariorum das Volumen von Weinfässern, indem er sie in unendlich viele dünne Scheiben zerlegte.
• Bonaventura Cavalieri machte daraus 1635 eine Methode der „Indivisiblen“. Nach dem Prinzip von Cavalieri haben zwei Körper gleiches Volumen, wenn sie in jeder Höhe gleich große Querschnitte besitzen.
• Evangelista Torricelli zeigte 1641, dass ein unendlich langer Körper (später „Gabriels Horn“ genannt) ein endliches Volumen haben kann.
• Pierre de Fermat bestimmte in den 1630er-Jahren Maxima, Minima und Tangenten mit einem Verfahren, das dem heutigen Nullsetzen der Ableitung sehr nahekommt, und berechnete Flächen unter Kurven y = xⁿ.
• John Wallis übertrug in der Arithmetica infinitorum (1656) solche Rechnungen in die Arithmetik, verwendete negative und gebrochene Exponenten und fand ein unendliches Produkt für π.
• James Gregory (1668) und Isaac Barrow (1670) bewiesen in geometrischer Form, dass Tangenten- und Flächenproblem zueinander umgekehrt sind, eine Vorstufe des Hauptsatzes.

Das Wallissche Produkt (oben) gehört zu den ersten unendlichen Ausdrücken für π in Europa. Unendliche Reihen für π und trigonometrische Funktionen hatte die Kerala-Schule um Madhava in Indien allerdings schon rund 250 Jahre früher gefunden (siehe Indische Mathematik); ein Weg dieser Ergebnisse nach Europa ist nicht belegt. Christiaan Huygens schließlich verband Geometrie und Mechanik: In seinem Horologium oscillatorium (1673) bewies er, dass ein Pendel auf einer Zykloidenbahn unabhängig von der Auslenkung gleich schnell schwingt, und entwickelte dafür eine Theorie der Evoluten.

Newton und Leibniz: die Infinitesimalrechnung

Aus diesen Einzelverfahren machten zwei Mathematiker unabhängig voneinander einen allgemeinen Kalkül, also ein Regelwerk, mit dem sich Tangenten- und Flächenprobleme fast mechanisch lösen lassen. Entscheidend war bei beiden die Einsicht, dass Differenzieren und Integrieren Umkehrungen voneinander sind (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung).

Newtons Fluxionsrechnung

Isaac Newton studierte am Trinity College in Cambridge. Als die Universität 1665/66 wegen der Pest schloss, arbeitete er auf dem elterlichen Hof in Woolsthorpe und entwickelte in dieser Zeit die binomische Reihe, seine „Methode der Fluxionen“ und erste Ideen zu Optik und Gravitation. Newton dachte kinematisch: Veränderliche Größen („Fluenten“) fließen in der Zeit, ihre Änderungsgeschwindigkeiten nannte er „Fluxionen“ und schrieb sie mit einem Punkt (ẋ).

Mit der binomischen Reihe (oben, gültig für |x| < 1) entwickelte Newton Wurzeln und gebrochene Potenzen in unendliche Reihen und integrierte diese gliedweise. Veröffentlicht hat er davon zunächst nichts. Die Schrift De analysi (1669) zirkulierte nur unter Bekannten, die ausführliche Methodus fluxionum (1671) wurde erst 1736 gedruckt. 1669 übernahm Newton von Isaac Barrow den Lucasischen Lehrstuhl. Auf ihn geht auch das Newton-Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen zurück, das Joseph Raphson 1690 in vereinfachter Form veröffentlichte; in heutiger Schreibweise lautet es:

1687 erschienen, angestoßen und finanziert von Edmond Halley, die Philosophiae Naturalis Principia Mathematica („Mathematische Grundlagen der Naturphilosophie“). Newton leitete darin aus drei Bewegungsgesetzen und dem Gravitationsgesetz die Keplerschen Gesetze, die Gezeiten und die Bahnen von Kometen ab. Bemerkenswerterweise argumentierte er überwiegend geometrisch, mit „ersten und letzten Verhältnissen“ verschwindender Größen, und nicht in der Sprache seiner Fluxionen. Zu Newtons weiteren mathematischen Leistungen gehören eine Klassifikation der Kurven dritten Grades und die Arithmetica universalis (1707). Ab 1703 war er bis zu seinem Tod Präsident der Royal Society.

Leibniz’ Differentiale und das Integralzeichen

Gottfried Wilhelm Leibniz, in Leipzig geboren und als Jurist ausgebildet, kam 1672 als Diplomat nach Paris. Dort führte ihn Christiaan Huygens in die neuere Mathematik ein. Leibniz arbeitete sich in kurzer Zeit an die Front der Forschung, fand 1673/74 die Reihe π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + … (die schon Madhava und James Gregory kannten) und notierte am 29. Oktober 1675 erstmals das Integralzeichen ∫, ein langgezogenes S für summa. Für unendlich kleine Differenzen schrieb er dx und dy. Ab 1676 stand er in den Diensten der Herzöge von Hannover.

Im Oktober 1684 veröffentlichte Leibniz in den Acta Eruditorum den nur wenige Seiten langen Aufsatz Nova Methodus pro maximis et minimis, die erste gedruckte Darstellung der Differentialrechnung, mit Produkt- und Quotientenregel und Anwendungen auf Extrema und Wendepunkte. 1686 folgte De geometria recondita mit dem gedruckten Integralzeichen. Seine Schreibweise war so gut gewählt, dass Rechenregeln fast von selbst aus ihr folgen; sie wird bis heute benutzt. Den Hauptsatz schreibt man damit so (die Grenzen am Integralzeichen führte allerdings erst Joseph Fourier um 1820 ein):

Verbreitet wurde Leibniz’ Kalkül vor allem durch die Basler Brüder Jakob und Johann Bernoulli und durch den Marquis de l’Hospital, der 1696 nach Johann Bernoullis Unterricht das erste Lehrbuch der Differentialrechnung herausgab. Leibniz selbst arbeitete daneben an Rechenmaschinen, am Dualsystem, an einer universellen Zeichensprache für das Denken und führte 1693 Determinanten zur Lösung linearer Gleichungssysteme ein, unabhängig vom Japaner Seki Takakazu, der das schon 1683 getan hatte. Auch der Begriff „Funktion“ geht auf ihn zurück. Wie die Analysis heute gelernt wird, zeigt die Seite Analysis.

Der Prioritätsstreit zwischen Newton und Leibniz

Die Frage, wer die Infinitesimalrechnung erfunden hat, führte zu einem der bittersten Konflikte der Wissenschaftsgeschichte. Nach heutigem Forschungsstand gilt: Newton hatte seine Methode zuerst (1665/66), Leibniz kam etwa zehn Jahre später unabhängig zu seiner eigenen und veröffentlichte sie zuerst (1684/86). Beide bauten auf denselben Vorgängern auf, nutzten aber unterschiedliche Begriffe und Schreibweisen.

Der Streit entzündete sich an wenigen Kontakten. 1676 schrieb Newton auf Vermittlung Oldenburgs zwei Briefe an Leibniz, die Epistola prior und die Epistola posterior; darin beschrieb er seine Reihen, verbarg den Kern der Fluxionsmethode aber in einem Buchstabenrätsel (Anagramm). Bei einem London-Besuch im Herbst 1676 sah Leibniz zudem Auszüge aus De analysi. Zu diesem Zeitpunkt besaß er seinen eigenen Kalkül allerdings schon, und seine Manuskripte zeigen einen anderen Gedankengang als Newtons. In der ersten Auflage der Principia erkannte Newton in einer Anmerkung sogar an, dass Leibniz eine ähnliche Methode gefunden habe; in der dritten Auflage von 1726 strich er diese Passage.

Offen ausgetragen wurde der Konflikt ab 1699, als der Schweizer Nicolas Fatio de Duillier Leibniz unterstellte, er habe von Newton abgeschrieben. 1708 erhob der schottische Mathematiker John Keill den Plagiatsvorwurf ausdrücklich. Leibniz bat 1711 die Royal Society um Klarstellung. Deren Ausschuss legte 1712 das Commercium epistolicum vor, eine Briefsammlung mit Gutachten zugunsten Newtons, gedruckt 1713. Präsident der Society war allerdings Newton selbst, der den Bericht maßgeblich steuerte und 1715 eine anonyme Besprechung dazu verfasste. Leibniz antwortete mit einem anonymen Flugblatt und starb 1716 in Hannover, ohne rehabilitiert zu sein.

Die Folgen reichten weit ins 18. Jahrhundert. Britische Mathematiker hielten aus Loyalität an Newtons Punktschreibweise und geometrischen Methoden fest, während auf dem Kontinent die Bernoullis und Euler mit der beweglicheren Leibniz-Notation die Analysis rasch ausbauten. Erst 1812 gründeten Studenten in Cambridge um Charles Babbage und George Peacock die Analytical Society, um die kontinentale Schreibweise in England einzuführen.

Wichtige Mathematiker des 17. Jahrhunderts

• John Napier (1550–1617): Logarithmen, Rechenstäbchen, Dezimaltrennzeichen
• Marin Mersenne (1588–1648): Mersenne-Primzahlen, Zentrum des gelehrten Briefwechsels
• Girard Desargues (1591–1661): projektive Geometrie, Satz von Desargues
• René Descartes (1596–1650): analytische Geometrie, moderne Formelschreibweise
• Bonaventura Cavalieri (1598–1647): Indivisiblenmethode, Prinzip von Cavalieri
• Pierre de Fermat (1607–1665): Zahlentheorie, Extremwerte, Wahrscheinlichkeit
• John Wallis (1616–1703): Arithmetica infinitorum, Symbol ∞, Wallissches Produkt
• Blaise Pascal (1623–1662): Wahrscheinlichkeitsrechnung, Pascalsches Dreieck, Pascaline
• Isaac Newton (1643–1727): Fluxionsrechnung, binomische Reihe, Principia
• Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716): Differential- und Integralrechnung, Notation dx und ∫, Dualsystem

Ebenfalls prägend waren Johannes Kepler (1571–1630), Galileo Galilei (1564–1642), Henry Briggs (1561–1630), Evangelista Torricelli (1608–1647), Christiaan Huygens (1629–1695), Isaac Barrow (1630–1677) und James Gregory (1638–1675). Eine Gesamtübersicht bietet die Seite Wichtige Mathematiker.

Zeitleiste: Mathematik von 1600 bis 1700

1. 1609 Kepler veröffentlicht die Astronomia nova mit elliptischen Planetenbahnen.
2. 1614 Napier stellt die Logarithmen vor; 1624 folgen Briggs’ dekadische Logarithmen.
3. 1635 Cavalieri veröffentlicht seine Methode der Indivisiblen.
4. 1637 Descartes’ La Géométrie erscheint; um diese Zeit notiert Fermat seinen „Großen Satz“.
5. 1639 Desargues’ Schrift über Kegelschnitte begründet die projektive Geometrie.
6. 1654 Briefwechsel zwischen Pascal und Fermat über das Teilungsproblem.
7. 1657 Huygens veröffentlicht das erste Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
8. 1660 Gründung der Royal Society in London; 1666 folgt die Pariser Académie des sciences.
9. 1665 Erste wissenschaftliche Zeitschriften; Newton beginnt während der Pestjahre mit der Fluxionsrechnung.
10. 1684 Leibniz veröffentlicht die Differentialrechnung in den Acta Eruditorum.
11. 1687 Newtons Principia erscheinen.
12. 1696 L’Hospital gibt das erste Lehrbuch der Differentialrechnung heraus; Johann Bernoulli stellt das Brachistochronenproblem.

Erbe: Was das 17. Jahrhundert hinterließ

Das 17. Jahrhundert knüpfte an die Algebra der Renaissance an, vor allem an Viètes Buchstabenrechnung und an die Gleichungslösungen von Tartaglia, Cardano und Ferrari, und machte daraus eine Mathematik der Veränderung. Logarithmen, Koordinaten, Wahrscheinlichkeiten und Ableitungen gehören heute zum Schulstoff; fast alles davon wurde in diesen hundert Jahren geschaffen.

Zugleich hinterließ das Jahrhundert ein ungelöstes Problem. Was genau eine „unendlich kleine“ Größe sein sollte, konnten weder Newton noch Leibniz befriedigend erklären. Der Philosoph George Berkeley spottete 1734 über die „Geister verstorbener Größen“. Die Mathematiker des 18. Jahrhunderts nutzten den neuen Kalkül dennoch mit großem Erfolg, allen voran die Bernoullis und Leonhard Euler. Eine strenge Grundlegung mit Grenzwerten gelang erst im 19. Jahrhundert, vor allem durch Augustin-Louis Cauchy und Karl Weierstraß.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1: Von den Anfängen bis Leibniz und Newton, Springer, Berlin 2008.
• Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Geschichte, Kulturen, Menschen, Springer, Berlin/Heidelberg 2011.
• Thomas Sonar: Die Geschichte des Prioritätsstreits zwischen Leibniz und Newton, Springer Spektrum, Berlin 2016.
• A. Rupert Hall: Philosophers at War. The Quarrel between Newton and Leibniz, Cambridge University Press, Cambridge 1980.
• MacTutor History of Mathematics: Calculus history (englisch)