Folgen und Grenzwerte

Eine Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen $a_1,a_2,a_3,\dots$. Die tiefgestellte Zahl heißt Index, sie zählt die Glieder durch. Der Grenzwert einer Folge ist die Zahl, der sich die Glieder auf lange Sicht beliebig genau nähern. Er ist der Grundbegriff der Analysis, denn auf ihm bauen Ableitung und Integral auf.

Diese Seite vertieft den Abschnitt aus der Analysis. Zahlenmuster zum Fortsetzen findest du auf der Seite Zahlen, die Frage, warum 0,999… gleich 1 ist, im Beitrag 0,999… = 1. Zum Rechnen hilft der Folgenrechner, zum Üben das Arbeitsblatt Zahlenfolgen.

Folgen beschreiben: explizit und rekursiv

Eine Folge lässt sich auf zwei Arten angeben. Bei der expliziten Form berechnest du jedes Glied direkt aus seinem Index, bei der rekursiven Form aus dem Vorgänger.

Die explizite Form ist bequem, wenn du ein weit entferntes Glied brauchst. Die rekursive Form beschreibt oft einen Vorgang, etwa wie sich ein Bestand von Schritt zu Schritt ändert. Das berühmteste Beispiel ist die Folge von Fibonacci mit $f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

Arithmetische und geometrische Folgen

Zwei Typen kommen besonders oft vor:

• Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz $d$ aufeinanderfolgender Glieder konstant: $a_n=a_1+(n-1)d$. Die Summe der ersten $n$ Glieder ist $s_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$.
• Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient $q$ konstant: $a_n=a_1·q^{n-1}$. Für $q\ne 1$ ist $s_n=a_1·\frac{q^n-1}{q-1}$.

Monotonie und Beschränktheit

Zwei Eigenschaften beschreiben, wie sich eine Folge grob verhält:

• Monoton steigend heißt $a_{n+1}\ge a_n$ für alle $n$, monoton fallend heißt $a_{n+1}\le a_n$. Zum Prüfen bildest du die Differenz $a_{n+1}-a_n$ und untersuchst ihr Vorzeichen.
• Beschränkt heißt: Es gibt Zahlen $s$ und $S$ mit $s\le a_n\le S$ für alle $n$.

Bei $a_n=2-\frac{3}{n}$ ist $a_{n+1}-a_n=\frac{3}{n}-\frac{3}{n+1}=\frac{3}{n(n+1)}>0$, die Folge steigt also.

Der Grenzwert: erst anschaulich, dann mit ε

Anschaulich nähert sich $a_n=2-\frac{3}{n}$ der Zahl 2: Die Glieder sind $-1$; $\mathrm{0,5}$; $1$; $\mathrm{1,25}$; $\mathrm{1,4}$; $\dots$ und wachsen auf 2 zu, ohne die 2 je zu erreichen. Man schreibt ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=2$. Um das genau zu sagen, legst du einen Streifen der Breite $\epsilon$ (Epsilon) um die 2:

Zu jedem noch so schmalen Streifen gibt es einen Index, ab dem alle weiteren Glieder im Streifen liegen. Wegen $|a_n-2|=\frac{3}{n}$ liegt $a_n$ im Streifen, wenn $\frac{3}{n}<\epsilon$ gilt, also für $n>\frac{3}{\epsilon }$.

Der Index $N$ hängt von $\epsilon$ ab: Je kleiner $\epsilon$ ist, desto weiter muss man gehen. Mit dieser Sprache fasste Cauchy den Grenzwert streng, und Weierstraß machte sie zur heutigen Epsilon-Schreibweise. Eine Folge hat höchstens einen Grenzwert.

Grenzwertsätze

Du musst nicht jeden Grenzwert mit $\epsilon$ beweisen. Wenn $a_n\to a$ und $b_n\to b$ gilt, folgen die Grenzwertsätze:

• $a_n\pm b_n\to a\pm b$
• $c·a_n\to c·a$ und $a_n·b_n\to a·b$
• $\frac{a_n}{b_n}\to \frac{a}{b}$, falls $b\ne 0$ ist (und $b_n\ne 0$)

Bei Brüchen aus Polynomen in $n$ kürzt du mit der höchsten Potenz von $n$. Die Faustregel steht in der Tabelle.

Wichtige Grenzwerte

Die Folge $(1+\frac{1}{n}{)}^n$ führt zur Eulerschen Zahl $e$. Die Glieder wachsen, bleiben aber unter 3:

Sie entstand bei der Verzinsung: Verzinst du 1 € mit 100 % pro Jahr und teilst das Jahr in $n$ Teile, die jeweils verzinst werden, wächst der Betrag auf $(1+\frac{1}{n}{)}^n$. Diese Rechnung stammt von Jacob Bernoulli (1683). Bei 5 % Jahreszins und monatlicher Verzinsung werden aus 1000 € nach einem Jahr $1000·(1+\frac{\mathrm{0,05}}{12}{)}^{12}\approx \mathrm{1051,16}$ €, bei stetiger Verzinsung $1000·e^{\mathrm{0,05}}\approx \mathrm{1051,27}$ €. Mehr dazu steht bei der Exponentialfunktion.

Konvergenz und Divergenz

Nicht jede Folge hat einen Grenzwert. Eine divergente Folge kann bestimmt divergent sein ($a_n=n^2$ wächst über alle Grenzen) oder unbestimmt divergent ($a_n=(-1{)}^n$ springt hin und her). Ein nützliches Kriterium sagt, wann ein Grenzwert sicher existiert:

Für die Folge $a_n=2-\frac{3}{n}$ stimmt das: Sie steigt und bleibt unter 2. Das Kriterium sagt allerdings nur, dass ein Grenzwert existiert, nicht, welcher.

Ähnlich verhalten sich die Quotienten aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen: $\frac{f_{n+1}}{f_n}$ ergibt $1$; $2$; $\mathrm{1,5}$; $\mathrm{1,667}$; $\mathrm{1,6}$; $\mathrm{1,625}$; $\mathrm{1,615}$; $\mathrm{1,619}$; … und strebt gegen den goldenen Schnitt $\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx \mathrm{1,618}$.

Reihen und die geometrische Reihe

Eine Reihe entsteht, wenn du die Glieder einer Folge addierst. Die Partialsummen $s_n=a_1+a_2+\dots +a_n$ bilden selbst eine Folge. Konvergiert sie, heißt ihr Grenzwert die Summe der Reihe: $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k={\lim }_{n\to \infty }{s}_n$.

Die wichtigste Reihe ist die geometrische Reihe. Für $|q|<1$ gilt

Das folgt aus der Summenformel $s_n=\frac{1-q^n}{1-q}$, denn $q^n\to 0$. Für $|q|\ge 1$ divergiert die Reihe.

Mit dieser Rechnung löst sich auch das Rätsel von Zenon: Achilles legt die Teilstrecken $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\dots$ einer Strecke zurück, und ihre Summe ist endlich.

Achtung: Aus $a_n\to 0$ folgt nicht, dass die Reihe konvergiert. Die harmonische Reihe $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots$ divergiert, obwohl $\frac{1}{n}\to 0$ gilt. Ihre Partialsummen wachsen sehr langsam: $s_{10}\approx \mathrm{2,93}$, $s_{100}\approx \mathrm{5,19}$, $s_{1000}\approx \mathrm{7,49}$ und $s_{1000000}\approx \mathrm{14,39}$.

Ausblick: Grenzwerte von Funktionen

Der Grenzwert einer Folge lässt sich auf Funktionen übertragen. ${\lim }_{x\to a}f(x)=g$ bedeutet: Für jede Folge $x_n\to a$ (mit $x_n\ne a$) gilt $f(x_n)\to g$. So ist ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$, denn für $x=\mathrm{0,1}$ ergibt sich $\mathrm{0,99833}$ und für $x=\mathrm{0,01}$ der Wert $\mathrm{0,99998}$. Auch ${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$. Mit Grenzwerten von Funktionen werden Stetigkeit und Ableitung definiert, die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: von Zenon bis Weierstraß

Schon Zenon von Elea stieß um 450 v. Chr. auf unendliche Summen. Archimedes füllte das Parabelsegment mit Dreiecken, deren Flächen eine geometrische Reihe mit $q=\frac{1}{4}$ bilden, und kam auf den Wert $\frac{4}{3}$ des größten Dreiecks. Die Zahl $e$ entdeckte 1683 Jacob Bernoulli bei der Verzinsung.

Die moderne Fassung stammt aus dem frühen 19. Jahrhundert. Bernard Bolzano und Augustin-Louis Cauchy beschrieben Folgen und Grenzwerte, Cauchy tat es 1821 im Cours d’analyse. Die heutige Epsilon-Sprache wurde in Weierstraß’ Berliner Vorlesungen ausgearbeitet.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Folge (Mathematik)
• Wikipedia: Grenzwert (Folge)
• Wikipedia: Reihe (Mathematik)
• Wikipedia: Geometrische Reihe
• Wikipedia: Harmonische Reihe
• Wikipedia: e (mathematical constant) (englisch, Abschnitt History)
• Augustin-Louis Cauchy: Cours d’analyse de l’École royale polytechnique, Paris 1821.