Benoît Mandelbrot (1924–2010): Fraktale und Apfelmännchen

Benoît Mandelbrot (1924–2010) war ein französisch-amerikanischer Mathematiker, der den Begriff Fraktal prägte und eine neue Art von Geometrie begründete: die Mathematik rauer, zerklüfteter und unendlich fein verzweigter Formen. Wolken, Küsten, Gebirge, Blitze und Blumenkohl sind für das klassische Lineal und den Zirkel zu kompliziert. Mandelbrot zeigte, dass sich ihre Struktur trotzdem mit Zahlen fassen lässt, nämlich mit einer gebrochenen Dimension.

Weltberühmt wurde er durch die Mandelbrot-Menge, im Volksmund Apfelmännchen. Sie entsteht aus einer sehr einfachen Rechenvorschrift und enthält doch unendlich viele Details. Mandelbrot arbeitete nicht an einer Universität, sondern lange bei der Firma IBM, und das gab ihm die Freiheit, Fragen aus Physik, Wirtschaft und Natur ohne Fächergrenzen zu verfolgen.

Kindheit, Flucht und Ausbildung

Benoît Mandelbrot kam am 20. November 1924 in Warschau in einer jüdischen Familie litauischer Herkunft zur Welt. Sein Onkel Szolem Mandelbrojt war Mathematikprofessor am Collège de France in Paris. 1936 zog die Familie nach Frankreich, um der wachsenden Gefahr in Europa zu entgehen. Während der deutschen Besetzung lebte sie in Tulle in Mittelfrankreich. Der Schulbesuch war unterbrochen, deshalb brachte sich Mandelbrot vieles selbst bei.

Nach dem Krieg studierte er an der École polytechnique, unter anderem bei Gaston Julia und Paul Lévy, dann am California Institute of Technology (1949 Abschluss in Luftfahrttechnik). 1952 promovierte er in Paris in Mathematik. Es folgte ein Jahr am Institute for Advanced Study in Princeton, wo auch John von Neumann arbeitete. 1958 ging er zu IBM in die USA und forschte dort im Thomas J. Watson Research Center.

Wie lang ist die Küste von Britannien?

Ein Maßstab-Paradox

Der britische Meteorologe und Friedensforscher Lewis Fry Richardson hatte bemerkt: Misst man die Küste mit einem kürzeren Lineal, wird sie länger, weil das Lineal mehr Buchten und Zacken erfasst. Mandelbrot griff das auf und veröffentlichte 1967 in der Zeitschrift Science den Aufsatz How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Seine Antwort: Es gibt keine „wahre“ Länge. Sie hängt vom Lineal ab. Für die Westküste Großbritanniens ergab sich eine Dimension von etwa 1,25.

Die Koch-Kurve als Modell

Das lässt sich mit einer Kurve nachrechnen, die der Schwede Helge von Koch 1904 erfand. Man startet mit einer Strecke der Länge 1, ersetzt das mittlere Drittel durch eine spitze Zacke aus zwei gleich langen Stücken und wiederholt das mit jeder neuen Strecke.

Die Koch-Kurve nach drei Schritten. Mit jedem Schritt wird sie um ein Drittel länger, die Randlinie bleibt aber im gleichen Bereich.

Mit jedem Schritt wächst die Länge auf das 4/3-Fache, während das „Lineal“ auf ein Drittel schrumpft:

Länge der Koch-Kurve bei kürzer werdendem Lineal
Schritt	Länge des Lineals	Gemessene Länge
0	1	1
1	1/3	4/3 ≈ 1,33
2	1/9	16/9 ≈ 1,78
3	1/27	64/27 ≈ 2,37
4	1/81	256/81 ≈ 3,16

Die Länge wächst ohne Grenze. Trotzdem passt die Kurve in einen kleinen Rahmen. Sie liegt zwischen einer Linie (Dimension 1) und einer Fläche (Dimension 2).

Die fraktale Dimension

Wie viele Teile bekommt man, wenn man eine Figur auf ein Drittel verkleinert? Bei einer Strecke sind es 3 Kopien, bei einem Quadrat 9, bei einem Würfel 27. Allgemein gilt: Bei Verkleinerung auf 1/s braucht man N = s^D Kopien, und die Hochzahl D ist die Dimension. Bei der Koch-Kurve sind es 4 Kopien mit je einem Drittel der Größe:

D = \frac{\ln 4}{\ln 3} \approx 1,26

Die Rechnung nutzt Logarithmen. Die Dimension ist also keine ganze Zahl; deshalb sagt man „gebrochene“ oder fraktale Dimension. Mandelbrot erfand dafür 1975 das Wort Fraktal (von lateinisch fractus, „gebrochen“), im selben Jahr erschien sein Buch Les objets fractals, 1982 gefolgt von The Fractal Geometry of Nature. Es beginnt mit dem Satz:

„Wolken sind keine Kugeln, Berge keine Kegel, Küstenlinien keine Kreise, und Rinde ist nicht glatt, noch bewegt sich ein Blitz auf einer geraden Linie.“
Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature (1982, übersetzt)

Mathematische Vorbilder gab es lange: die Cantor-Menge, Kurven von Karl Weierstraß und eben die Koch-Kurve galten als „Monster“, die man höchstens als Kuriosität bestaunte. Mandelbrot erkannte, dass solche Gebilde der Natur oft näher kommen als Kreis und Dreieck der klassischen Geometrie.

Die Mandelbrot-Menge

Die Mandelbrot-Menge entsteht aus der Vorschrift z → z² + c, die wir bei Julia und Fatou schon kennen, mit einem Trick: Man startet immer bei z = 0 und variiert den Parameter c, eine komplexe Zahl, also ein Punkt der Zahlenebene. Zur Menge gehören alle c, für die die Folge nicht ins Unendliche davonläuft. Sobald ein Wert weiter als 2 vom Ursprung entfernt ist, ist das Schicksal besiegelt: Er läuft davon.

Die Vorschrift z → z² + c für vier Werte von c
Wert c	Folge der Werte z	Gehört zur Menge?
0	0, 0, 0, …	ja
−1	0, −1, 0, −1, …	ja
i	0, i, −1 + i, −i, −1 + i, −i, …	ja
1	0, 1, 2, 5, 26, 677, …	nein

Die Mandelbrot-Menge, das Apfelmännchen, mit einer großen herzförmigen Fläche, einer Kreisscheibe daneben und zahlreichen Knospen am Rand — Die Mandelbrot-Menge. Ihr Rand ist unendlich fein verzweigt: Vergrößert man ihn, tauchen immer neue Formen auf, darunter verkleinerte Kopien der gesamten Menge. Bild: Created by Wolfgang Beyer with the program Ultra Fractal 3., CC BY-SA 3.0 · Wikimedia Commons

Die Mandelbrot-Menge sortiert alle Julia-Mengen: Liegt c in der Menge, ist die zugehörige Julia-Menge ein zusammenhängendes Stück, sonst zerfällt sie in „Staub“. Mandelbrot untersuchte sie ab etwa 1979 mit dem Computer; die ersten Bilder entstanden bei IBM um 1980. Die mathematische Grundlage der Menge, etwa dass sie zusammenhängend ist, bewiesen 1982 die Franzosen Adrien Douady und John H. Hubbard, die sie auch nach Mandelbrot benannten.

Zufall und Finanzmärkte

Mandelbrot nutzte Fraktale nicht nur für Bilder. Schon in den 1960er-Jahren untersuchte er Baumwollpreise und fand, dass starke Ausschläge viel häufiger vorkommen, als die übliche Normalverteilung der Statistik erwartet. Daraus entwickelte er eine Kritik an Finanzmodellen, die er später in dem Buch The (Mis)Behavior of Markets (2004) zusammenfasste. Auch in der Physik, bei Flüssen, Rauschen auf Telefonleitungen und in der Astronomie wandte er Selbstähnlichkeit an. Seine Ideen verbinden sich mit dem Chaos von Edward Lorenz, dessen Attraktor ebenfalls eine fraktale Struktur hat.

Späte Jahre und Tod

Als IBM 1987 die Grundlagenforschung in seiner Abteilung beendete, lehrte Mandelbrot an verschiedenen Universitäten; 1999 erhielt er mit 75 Jahren an der Yale University seine erste feste Professur. Er erhielt 1986 die Franklin-Medaille, 1993 den Wolf-Preis für Physik und 2003 den Japan-Preis. Seine Erinnerungen erschienen 2012 nach seinem Tod unter dem Titel The Fractalist. Benoît Mandelbrot starb am 14. Oktober 2010 in Cambridge (Massachusetts) im Alter von 85 Jahren an Bauchspeicheldrüsenkrebs.

Zeitleiste: Benoît Mandelbrots Leben

1924 Geburt am 20. November in Warschau
1936 Übersiedlung der Familie nach Frankreich
1952 Promotion in Mathematik in Paris
1958 Wechsel zu IBM in die USA
1967 „How Long Is the Coast of Britain?“ in Science
1975 Wort „Fraktal“ und Buch Les objets fractals
1982 The Fractal Geometry of Nature
1993 Wolf-Preis für Physik
2010 Tod am 14. Oktober in Cambridge

Bedeutung heute: Fraktale im Alltag

Fraktale sind heute überall. Die Computergrafik erzeugt mit ihnen realistische Gebirge und Wolken für Filme und Spiele, der Pionier Loren Carpenter ließ sich für seine fraktalen Landschaften von Mandelbrots Buch inspirieren. Mobiltelefone enthalten teilweise Antennen mit fraktalen Formen, Ärztinnen und Ärzte beschreiben damit die Verzweigung von Blutgefäßen und Bronchien, Geologen die Rauheit von Gesteinen. Mandelbrots wichtigster Beitrag ist ein neuer Blick: Das Raue und Unregelmäßige ist keine Störung, sondern hat selbst eine Ordnung. Mehr zum wissenschaftlichen Umfeld bietet die Mathematik des 20. Jahrhunderts; für das Rechnen mit Hochzahlen hilft die Seite zu Potenzen.

Häufige Fragen

Wann lebte Benoît Mandelbrot?

Benoît Mandelbrot wurde am 20. November 1924 in Warschau geboren und starb am 14. Oktober 2010 in Cambridge (Massachusetts) im Alter von 85 Jahren.

Was ist ein Fraktal?

Eine Form, die auf allen Vergrößerungsstufen ähnlich fein verzweigt aussieht (Selbstähnlichkeit) und oft eine gebrochene Dimension hat. Beispiele sind Küstenlinien, Farne und die Koch-Kurve.

Wie entsteht das Apfelmännchen?

Man wiederholt die Rechnung z → z² + c, beginnend bei z = 0. Alle Zahlen c, für die die Werte nicht ins Unendliche laufen, bilden die Mandelbrot-Menge.

Quellen und weiterführende Literatur

Benoît Mandelbrot: How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. In: Science 156 (1967), S. 636–638.
Benoît Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman, New York 1982.
Benoît Mandelbrot: The Fractalist. Memoir of a Scientific Maverick. Pantheon, New York 2012.
Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter: Die Schönheit der Fraktale. Springer, Berlin 1986.
MacTutor History of Mathematics: Benoît Mandelbrot (englisch)