Joseph-Louis Lagrange

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813), geboren als Giuseppe Lodovico Lagrangia in Turin, war einer der bedeutendsten Mathematiker des 18. Jahrhunderts. Er arbeitete in Turin, Berlin und Paris und folgte 1766 in Berlin Leonhard Euler als Leiter der mathematischen Klasse der Akademie. Sein Hauptwerk, die Mécanique analytique (1788), fasste die Mechanik Newtons in die Sprache der Analysis. Die Gleichungen, die seinen Namen tragen, benutzen Physiker und Ingenieure bis heute.

Lagrange arbeitete auch in der Zahlentheorie, der Algebra und der Himmelsmechanik. Er bewies 1770, dass jede natürliche Zahl die Summe von höchstens vier Quadratzahlen ist, und gab mit seinen Untersuchungen über Gleichungen der Gruppentheorie einen wichtigen Anstoß. Nach ihm sind die Lagrange-Punkte benannt, an denen Raumsonden mit wenig Treibstoff ihre Position halten. Zu den Zeitgenossen gehörten Pierre-Simon Laplace und Adrien-Marie Legendre; Napoleon soll Lagrange die „erhabene Pyramide der mathematischen Wissenschaften“ genannt haben.

Leben: Von Turin über Berlin nach Paris

Jugend in Turin

Lagrange wurde am 25. Januar 1736 in Turin geboren, damals Hauptstadt des Königreichs Sardinien-Piemont. Sein Vater verwaltete Gelder für Bauten und Befestigungen des Staates und verlor sein Vermögen bei Spekulationen. Später soll Lagrange gesagt haben, wäre er reich gewesen, hätte er sich wohl nicht der Mathematik gewidmet.

Schon mit 19 Jahren, am 28. September 1755, wurde er Professor für Mathematik an der königlichen Artillerieschule in Turin. Im August 1755 schrieb er an Leonhard Euler und schilderte seine Methode, Maxima und Minima zu bestimmen. Euler war beeindruckt und soll eigene Arbeiten zurückgehalten haben, damit der junge Turiner den Ruhm bekam. Es war der Anfang der Variationsrechnung, die beide in den folgenden Jahren ausbauten. 1756 wählte ihn die Berliner Akademie zum Mitglied.

Berlin (1766–1787)

Als Euler 1766 Berlin verließ, empfahlen ihn Euler selbst und der Pariser Gelehrte Jean le Rond d’Alembert als Nachfolger. Friedrich II. soll an d’Alembert geschrieben haben, der größte König Europas wünsche den größten Mathematiker Europas an seinem Hof. Lagrange wurde am 6. November 1766 Direktor der mathematischen Klasse der Akademie. In Berlin heiratete er 1767 seine Cousine Vittoria Conti, die 1783 starb; Kinder hatten die beiden nicht. Er schrieb 20 Jahre lang an der Mécanique analytique. Als Friedrich 1786 starb, verließ Lagrange Berlin im Mai 1787 und ging an die Pariser Akademie.

Paris, Revolution und Kaiserreich

In Paris erschien 1788 die Mécanique analytique. Die Revolution brachte Gefahren; als Ausländer fiel Lagrange unter ein Gesetz von 1793, doch Antoine Lavoisier verschaffte ihm eine Ausnahme. Als Lavoisier am 8. Mai 1794 hingerichtet wurde, soll Lagrange gesagt haben:

„Es hat sie nur einen Augenblick gekostet, diesen Kopf fallen zu lassen, und hundert Jahre werden vielleicht nicht genügen, um einen zweiten wie ihn hervorzubringen.“

Lagrange gehörte ab 1790 der Kommission für Maße und Gewichte an, aus der das metrische System hervorging, und leitete sie später als Vorsitzender. An der neuen École polytechnique lehrte er Analysis; sein Buch Théorie des fonctions analytiques (1797) ging aus diesen Vorlesungen hervor. Napoleon überhäufte ihn mit Ehren: 1808 wurde er Graf des Kaiserreichs und Senator. Er starb am 10. April 1813 in Paris und wurde im Panthéon beigesetzt.

Die Mécanique analytique

Bis dahin zeichnete man in der Mechanik Kräfte als Pfeile und rechnete mit Richtungen. Lagrange wollte das ändern. Im Vorwort schrieb er, in seinem Werk gebe es keine Figuren, nur algebraische Rechnungen. Heute fasst man seine Methode so zusammen: Statt Pfeile zu betrachten, genügt eine einzige Größe, die Lagrange-Funktion, nämlich die Bewegungsenergie T minus die Lageenergie V. Aus ihr folgen die Bewegungsgleichungen:

Dabei steht q für eine beliebige Koordinate (einen Winkel, eine Länge) und q̇ für deren Änderung pro Zeit. Der Vorteil: Man kann die Koordinaten frei wählen, und Zwangsbedingungen wie eine Pendelstange oder eine Schiene erledigen sich von selbst.

Die Methode ist so allgemein, dass sie die Physik bis heute prägt: In der Robotik, der Raumfahrt und der Teilchenphysik beginnt man fast immer mit einer Lagrange-Funktion. Ebenfalls aus der Mécanique analytique stammen die Lagrange-Multiplikatoren, ein Verfahren, Extremwerte unter Nebenbedingungen zu finden, etwa den größten Flächeninhalt bei vorgegebenem Umfang.

Die Lagrange-Punkte

Das Dreikörperproblem fragt, wie sich drei Himmelskörper bewegen, die einander anziehen, etwa Sonne, Erde und Mond. Allgemein lässt es sich nicht exakt lösen. 1772 teilte Lagrange mit seiner Preisschrift Essai sur le problème des trois corps einen Preis der Pariser Akademie mit Euler und fand dabei Sonderfälle, in denen das Problem einfach wird. Sind zwei Körper groß (Sonne und Erde) und einer klein (eine Raumsonde), gibt es fünf Punkte, an denen sich die Anziehungskräfte so ausgleichen, dass die Sonde mit der Erde mitläuft.

Drei Punkte (L1, L2, L3) liegen auf der Geraden durch die beiden großen Körper; sie hatte Euler schon früher gefunden. Lagrange entdeckte die beiden anderen: L4 und L5 bilden mit den beiden großen Körpern ein gleichseitiges Dreieck. Sie sind stabil, wenn der große Körper mehr als etwa 25-mal so schwer ist wie der kleine. Dort sammeln sich Asteroiden: Vor und hinter Jupiter laufen Tausende „Trojaner“; der erste, Achilles, wurde 1906 von Max Wolf in Heidelberg entdeckt. Die Punkte L1 und L2 liegen etwa 1,5 Millionen Kilometer von der Erde entfernt. Am Punkt L2 beobachtet seit 2022 das James-Webb-Weltraumteleskop das All.

Zahlentheorie und Algebra

Der Vier-Quadrate-Satz (1770)

Lagrange bewies 1770 eine Vermutung, die seit Bachet und Fermat im Raum stand: Jede natürliche Zahl ist die Summe von höchstens vier Quadratzahlen. Euler hatte vorgearbeitet, indem er zeigte, wie sich das Produkt zweier solcher Summen wieder als Summe von vier Quadraten schreiben lässt. Mit drei Quadraten geht es nicht immer: Die 7 ist nicht als Summe von drei Quadratzahlen darstellbar, wie jede Zahl, die bei Division durch 8 den Rest 7 lässt.

Der Satz von Lagrange in der Gruppentheorie

In den Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1770/71) untersuchte Lagrange, wie sich die Lösungen einer Gleichung vertauschen lassen. Dabei entdeckte er, dass die Zahl der verschiedenen Werte, die ein Ausdruck aus n Lösungen beim Vertauschen annehmen kann, immer ein Teiler von n! ist. Daraus entwickelte sich der heutige Satz von Lagrange: In einer endlichen Gruppe teilt die Größe jeder Untergruppe die Größe der Gruppe. In dieser Form hat Lagrange ihn nicht formuliert; die heutige Formulierung entstand erst im 19. Jahrhundert.

Eine Gruppe ist eine Menge von Handlungen, die man hintereinander ausführen und rückgängig machen kann. Ein Beispiel sind die sechs Symmetrien eines gleichseitigen Dreiecks: drei Drehungen (0°, 120°, 240°) und drei Spiegelungen. Die drei Drehungen bilden für sich eine Untergruppe mit 3 Elementen, und 3 teilt 6. Eine Untergruppe mit 4 oder 5 Elementen kann es nach dem Satz nicht geben. Auf solchen Überlegungen baute später Évariste Galois auf, der mit Gruppen klärte, welche Gleichungen sich lösen lassen. Auch der kleine Fermatsche Satz lässt sich aus dem Satz von Lagrange ableiten.

Weitere Ergebnisse

• Er bewies 1768, dass die Pellsche Gleichung x² − d · y² = 1 für jede positive Nichtquadratzahl d unendlich viele ganzzahlige Lösungen hat.
• In der Théorie des fonctions analytiques (1797) schrieb er erstmals f′(x) für die Ableitung und führte den Begriff „Ableitung“ ein; hier steht auch der Mittelwertsatz. Mehr dazu in der Analysis.
• Das Verfahren, ein Polynom durch vorgegebene Punkte zu legen, heißt Lagrange-Interpolation.

Zeitleiste: Joseph-Louis Lagranges Leben

1. 1736 Geburt am 25. Januar in Turin
2. 1755 Professor an der Artillerieschule in Turin; Brief an Euler
3. 1766 Nachfolger Eulers als Direktor der mathematischen Klasse der Berliner Akademie
4. 1770 Beweis des Vier-Quadrate-Satzes; Réflexions zur Gleichungstheorie
5. 1772 Preisschrift zum Dreikörperproblem mit den Lagrange-Punkten
6. 1788 Erscheinen der Mécanique analytique
7. 1813 Tod am 10. April in Paris; Beisetzung im Panthéon

Bedeutung und Nachwirkung

Lagrange machte aus der Mechanik eine Rechenwissenschaft: Wer heute einen Roboterarm steuert oder die Bahn eines Satelliten plant, beginnt oft mit seiner Funktion. Lagrange-Multiplikatoren helfen bei Optimierungsaufgaben in Wirtschaft und Technik. Die Lagrange-Punkte sind begehrte Parkplätze für Weltraumteleskope, weil man dort mit wenig Treibstoff die Position hält.

Quellen und weiterführende Literatur

• Joseph-Louis Lagrange: Œuvres de Lagrange, herausgegeben von J.-A. Serret und G. Darboux, 14 Bände, Gauthier-Villars, Paris 1867–1892.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Springer, Berlin 2008/2009.
• MacTutor History of Mathematics: Joseph-Louis Lagrange (englisch)
• Wikipedia: Joseph-Louis Lagrange