Tartaglia, Cardano und Ferrari

Niccolò Tartaglia, Gerolamo Cardano und Lodovico Ferrari lösten in der ersten Hälfte des 16. Jahrhunderts ein Problem, an dem Mathematiker seit der Antike gescheitert waren: die allgemeine Lösung der Gleichungen dritten und vierten Grades durch Wurzelausdrücke. Veröffentlicht wurden die Verfahren 1545 in Cardanos Buch Ars Magna. Es war der erste große Fortschritt der Algebra über das Wissen der Babylonier, Griechen und arabischen Gelehrten hinaus.

Die Geschichte dahinter ist einer der bekanntesten Prioritätsstreite der Wissenschaftsgeschichte. Sie handelt von einem Universitätsprofessor, der sein Geheimnis mit ins Grab nahm, einem öffentlichen Rechenwettkampf in Venedig, einem Schweigeeid und einer Disputation in Mailand, die einen der Beteiligten seine Stellung kostete. Nebenbei stießen die drei Italiener auf Wurzeln aus negativen Zahlen, den Keim der komplexen Zahlen.

Das Problem: Gleichungen dritten Grades

Quadratische Gleichungen konnten schon babylonische Schreiber lösen, und al-Chwarizmi hatte im 9. Jahrhundert ihre Lösungsverfahren systematisch dargestellt. Für Gleichungen mit x³ fehlte dagegen eine allgemeine Rechenvorschrift. Omar Chayyam fand um 1070 geometrische Lösungen, indem er Kegelschnitte zum Schnitt brachte, und Leonardo von Pisa berechnete 1225 eine einzelne kubische Gleichung näherungsweise. Noch Luca Pacioli hielt eine allgemeine Lösung 1494 beim damaligen Stand des Wissens für unmöglich.

Erschwert wurde die Sache durch die Schreibweise. Es gab noch keine Buchstabenrechnung; Gleichungen wurden in Worten formuliert, etwa „ein Würfel und Dinge sind gleich einer Zahl“ (cubo e cose eguali a numero), also x³ + px = q. Weil negative Zahlen als Koeffizienten unüblich waren, zerfiel die kubische Gleichung in mehrere Typen, die jeweils eigene Verfahren verlangten, darunter x³ + px = q, x³ = px + q und x³ + q = px.

Mathematisches Können war im Italien der Renaissance auch eine Frage des Broterwerbs. Rechenmeister und Professoren forderten einander zu öffentlichen Wettkämpfen heraus (disfide), bei denen jeder dem anderen Aufgaben stellte. Wer gewann, steigerte seinen Ruf und damit seine Aussicht auf Schüler und Lehrstellen. Ein Lösungsverfahren, das sonst niemand kannte, war deshalb ein wertvolles Betriebsgeheimnis.

Scipione del Ferro: der stille Erstentdecker

Der Erste, der eine kubische Gleichung allgemein löste, war keiner der drei Namensgeber dieser Seite. Scipione del Ferro (1465–1526), Professor für Arithmetik und Geometrie an der Universität Bologna, fand um 1515 ein Verfahren für den Typ x³ + px = q. Er veröffentlichte es nie. Kurz vor seinem Tod gab er es an seinen Schüler Antonio Maria Fior weiter; seine Aufzeichnungen erbte sein Schwiegersohn und Nachfolger Annibale della Nave.

Niccolò Tartaglia: vom Kriegsopfer zum Rechenmeister

Niccolò Fontana wurde 1499 oder 1500 in Brescia geboren, das damals zur Republik Venedig gehörte. Sein Vater, ein berittener Postbote, wurde ermordet, als Niccolò etwa sechs Jahre alt war, und die Familie verarmte. 1512 eroberten französische Truppen unter Gaston de Foix die Stadt. Im Dom, wo die Familie Zuflucht gesucht hatte, schlug ein Soldat dem Zwölfjährigen mit dem Säbel ins Gesicht und verletzte Kiefer und Gaumen. Niccolò überlebte dank der Pflege seiner Mutter, behielt aber einen Sprachfehler. Den Spottnamen Tartaglia, „Stotterer“, nahm er später selbst als Familiennamen an; die Narben verbarg er unter einem Bart.

Eine geregelte Ausbildung erhielt er nicht. Nach eigener Erzählung reichte das Geld für den Schreibunterricht nur bis zum Buchstaben „k“; alles Weitere brachte er sich selbst bei. Ab etwa 1516 unterrichtete er Rechnen in Verona, 1534 zog er nach Venedig, wo er als Mathematiklehrer arbeitete und Ingenieure, Kaufleute und Artilleristen beriet.

Der Wettstreit von 1535

Fior war kein bedeutender Mathematiker, aber er besaß del Ferros Verfahren. Als Tartaglia behauptete, kubische Gleichungen lösen zu können, forderte Fior ihn heraus. Anfang 1535 hinterlegten beide je 30 Aufgaben bei einem Notar in Venedig. Fiors Aufgaben führten ausnahmslos auf den Typ x³ + px = q, den er selbst beherrschte. Tartaglia geriet unter Druck, bis ihm nach eigenem Bericht in den frühen Morgenstunden des 13. Februar 1535 die Lösung einfiel. Danach löste er alle 30 Aufgaben in weniger als zwei Stunden, während Fior an Tartaglias vielfältigeren Aufgaben scheiterte.

Der Wettkampf fand also in Venedig statt und nicht, wie oft zu lesen ist, an der Universität Bologna. Tartaglia veröffentlichte sein Verfahren nicht, sondern wollte es in einem eigenen Lehrbuch präsentieren, das er immer wieder aufschob.

Ballistik, Euklid und Archimedes

1537 erschien Tartaglias erstes Buch, die Nova scientia, eine der ersten Schriften, die Mathematik auf das Schießen mit Geschützen anwandten. Er stellte darin fest, dass ein Geschütz bei einem Abschusswinkel von 45° am weitesten reicht, und entwarf Instrumente zum Richten der Rohre. Seine Vorstellung der Flugbahn (ein gerades Stück, ein Kreisbogen und ein senkrechter Fall) folgte noch der aristotelischen Physik. Dass die Bahn ohne Luftwiderstand eine Parabel ist, zeigte erst Galileo Galilei rund hundert Jahre später.

1543 veröffentlichte Tartaglia die erste Übersetzung der Elemente des Euklid in eine moderne europäische Sprache, ins Italienische. Er übersetzte nicht aus dem Griechischen, sondern stützte sich auf zwei lateinische Fassungen: die mittelalterliche Bearbeitung des Campanus von Novara und die Übersetzung Bartolomeo Zambertis. Im selben Jahr gab er lateinische Schriften des Archimedes heraus, die auf der mittelalterlichen Übersetzung Wilhelms von Moerbeke beruhten. Sein Spätwerk, der General trattato di numeri et misure (1556–1560), enthält unter anderem eine Formel für das Volumen eines Tetraeders aus seinen Kantenlängen und eine Tabelle der Binomialkoeffizienten, die in Italien bis heute „Tartaglia-Dreieck“ heißt.

Gerolamo Cardano: Arzt, Spieler, Universalgelehrter

Gerolamo Cardano kam am 24. September 1501 in Pavia als unehelicher Sohn des Mailänder Juristen Fazio Cardano zur Welt, eines Gelehrten mit mathematischen Interessen, den auch Leonardo da Vinci in geometrischen Fragen zurate zog. Gerolamo studierte Medizin in Pavia und Padua und wurde 1525 promoviert. Das Mailänder Ärztekollegium wies ihn wegen seiner unehelichen Geburt mehrfach ab und nahm ihn erst 1539 auf. In der Zwischenzeit hielt er sich als Landarzt und als Dozent für Mathematik an der Mailänder Piatti-Stiftung über Wasser.

Später wurde Cardano einer der gefragtesten Ärzte Europas; 1552 reiste er sogar nach Schottland, um den Erzbischof von St Andrews zu behandeln. Daneben schrieb er über Medizin, Mathematik, Physik, Astrologie, Musik und Moral; seine gesammelten Werke füllen in der Lyoner Ausgabe von 1663 zehn Foliobände. Sein Leben lang blieb er ein leidenschaftlicher Würfel- und Schachspieler, der nach eigenem Bekenntnis viel Geld verspielte.

Der Eid von 1539 und die „Ars Magna“

1539 veröffentlichte Cardano sein erstes Rechenbuch, die Practica arithmetice, und arbeitete an einem umfassenden Werk über Algebra. Von Tartaglias Erfolg gegen Fior hatte er gehört und bat ihn über einen Mittelsmann um das Verfahren. Tartaglia lehnte zunächst ab. Schließlich lud Cardano ihn nach Mailand ein und stellte ihm ein Treffen mit dem spanischen Statthalter in Aussicht, was für Tartaglia eine Anstellung als Artillerieexperte bedeuten konnte.

Am 25. März 1539 verriet Tartaglia in Cardanos Haus sein Verfahren. Nach seiner eigenen Darstellung tat er das erst, nachdem Cardano bei den Evangelien geschworen hatte, es niemals zu veröffentlichen. Er kleidete die Regel in ein italienisches Gedicht, damit sie für Unbefugte schwer zu verstehen war. Es beginnt mit den Versen:

„Quando chel cubo con le cose appresso / Se agguaglia à qualche numero discreto“ („Wenn der Würfel mit den Dingen daneben / irgendeiner bestimmten Zahl gleich ist“)

Cardano und sein junger Sekretär Ferrari arbeiteten das Verfahren in den folgenden Jahren aus: Sie bewiesen es geometrisch, übertrugen es auf alle Typen der kubischen Gleichung und lösten 1540 sogar die Gleichung vierten Grades. Veröffentlichen durften sie nichts davon, denn auch Ferraris Lösung brauchte Tartaglias Methode. 1543 reisten beide nach Bologna, wo Annibale della Nave ihnen del Ferros Aufzeichnungen zeigte. Damit stand für Cardano fest, dass das Verfahren nicht von Tartaglia stammte, und er fühlte sich an seinen Eid nicht mehr gebunden.

1545 erschien in Nürnberg bei Johannes Petreius die Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus, kurz Ars Magna („Die große Kunst“). Cardano nannte darin ausdrücklich del Ferro als Entdecker, Tartaglia als denjenigen, der das Verfahren unabhängig wiedergefunden und ihm mitgeteilt hatte, und Ferrari als Urheber der Lösung vierten Grades. Für Tartaglia war das kein Trost: Seine wichtigste Entdeckung stand nun in einem fremden Buch.

Die Cardanische Formel

Jede kubische Gleichung ax³ + bx² + cx + d = 0 lässt sich durch die Ersetzung x = y − b/(3a) in eine reduzierte Form ohne quadratisches Glied bringen: y³ + py + q = 0. Auch diesen Schritt beschrieb Cardano. Für die reduzierte Form lautet die Lösung in heutiger Schreibweise:

Die Idee lässt sich modern so erklären: Man setzt x = u + v. Ausmultipliziert ergibt sich x³ = u³ + v³ + 3uv · x. Wählt man u und v so, dass 3uv = −p gilt, bleibt die Bedingung u³ + v³ = −q. Von den beiden Zahlen u³ und v³ kennt man damit die Summe (−q) und das Produkt (−p³/27), und solche Zahlen findet man mit einer quadratischen Gleichung. Die kubische Gleichung wird also auf eine quadratische zurückgeführt. Cardano selbst argumentierte noch ohne Formeln, mit der Zerlegung eines Würfels in kleinere Würfel und Quader.

Wurzeln aus negativen Zahlen

Die Formel hat eine merkwürdige Eigenschaft. Besitzt eine kubische Gleichung drei verschiedene reelle Lösungen, wird der Ausdruck unter der Quadratwurzel negativ. Man muss dann mit Wurzeln aus negativen Zahlen rechnen, obwohl am Ende reelle Zahlen herauskommen. Dieser casus irreducibilis („nicht zurückführbarer Fall“) machte Cardano ratlos.

An anderer Stelle der Ars Magna wagte er sich dennoch an solche Zahlen. Er suchte zwei Zahlen mit der Summe 10 und dem Produkt 40, fand 5 + √−15 und 5 − √−15 und rechnete nach, dass ihr Produkt 25 − (−15) = 40 ist. Er nannte das Ergebnis ebenso spitzfindig wie nutzlos. Erst Rafael Bombelli zeigte in seiner L’Algebra (1572), wie man mit solchen Ausdrücken konsequent rechnet. Für x³ = 15x + 4 liefert die Formel x = ∛(2 + √−121) + ∛(2 − √−121); Bombelli erkannte, dass (2 + √−1)³ = 2 + √−121 ist, und erhielt so die Lösung x = 4. Aus diesen Anfängen entwickelten Euler und Gauß im 18. und 19. Jahrhundert die Theorie der komplexen Zahlen.

Ferrari und die Gleichung vierten Grades

Lodovico Ferrari wurde am 2. Februar 1522 in Bologna geboren. Am 30. November 1536 kam er als Vierzehnjähriger in Cardanos Haushalt, zunächst als Diener. Cardano erkannte schnell seine Begabung, machte ihn zu seinem Sekretär und unterrichtete ihn in Mathematik. Ferrari galt als hochbegabt, aber auch als jähzornig.

1540 legte der Rechenmeister Zuanne da Coi eine Aufgabe vor, die auf eine Gleichung vierten Grades führte, und Cardano gab sie an Ferrari weiter. Ferrari fand ein allgemeines Verfahren: Er formte die Gleichung so um, dass auf beiden Seiten ein vollständiges Quadrat steht. Dafür führte er eine Hilfsgröße ein, die ihrerseits eine kubische Gleichung erfüllen muss, die sogenannte kubische Resolvente. Jede Gleichung vierten Grades lässt sich so auf eine Gleichung dritten Grades zurückführen.

Damit war die Algebra der Polynome bis zum vierten Grad abgeschlossen. Für Gleichungen fünften Grades suchten Mathematiker fast 300 Jahre vergeblich nach einer entsprechenden Formel. Erst Niels Henrik Abel bewies 1824, dass es sie im Allgemeinen nicht geben kann, und Évariste Galois erklärte wenig später, warum.

Der Streit: Streitschriften und die Disputation von Mailand

Tartaglia reagierte 1546 mit seinem Buch Quesiti et inventioni diverse. Darin schilderte er seine Sicht der Ereignisse, druckte das Gedicht und den angeblichen Wortlaut des Eides ab und griff Cardano scharf an. Nicht Cardano, sondern Ferrari antwortete: Im Februar 1547 ließ er eine öffentliche Herausforderung drucken und an Gelehrte in ganz Italien verschicken. Es folgten auf jeder Seite sechs solcher Streitschriften (cartelli) mit Beleidigungen, Aufgaben und Gegenaufgaben.

Tartaglia wollte gegen Cardano antreten, nicht gegen dessen Schüler, und lehnte eine öffentliche Disputation lange ab. 1548 bot man ihm jedoch eine Lehrstelle in seiner Heimatstadt Brescia an, für die er seinen Ruf beweisen sollte. Am 10. August 1548 trafen beide in Mailand in der Kirche des Franziskanerklosters Santa Maria del Giardino vor großem Publikum aufeinander. Ferrari war bestens vorbereitet und beherrschte die Lösungen dritten und vierten Grades sicherer als Tartaglia. Nach dem ersten Tag reiste Tartaglia ab, und Ferrari wurde zum Sieger erklärt.

Für Ferrari war der Sieg ein Sprungbrett: Er erhielt Angebote aus vielen Städten und wurde Steuerschätzer im Dienst des Mailänder Statthalters, was ihn wohlhabend machte. Tartaglia dagegen bekam in Brescia nach einem Jahr kein Gehalt mehr gezahlt, prozessierte vergeblich und kehrte nach Venedig zurück. Dort unterrichtete er weiter und arbeitete an seinem General trattato. Er starb am 13. Dezember 1557 in seinem Haus nahe der Rialtobrücke in Armut.

Späte Jahre von Cardano und Ferrari

Cardano lehrte als Professor der Medizin in Pavia und ab 1562 in Bologna. Sein Privatleben war von Unglück geprägt: Sein ältester Sohn Giambattista vergiftete seine Ehefrau und wurde 1560 hingerichtet; der jüngere Sohn Aldo verspielte Geld und Besitz und bestahl den Vater. 1570 ließ die Inquisition Cardano wegen Ketzerei verhaften. Vorgeworfen wurde ihm unter anderem ein Horoskop Jesu, das er Jahre zuvor veröffentlicht hatte. Nach einigen Monaten Haft kam er frei, durfte aber nicht mehr lehren und nichts mehr veröffentlichen. Er zog nach Rom, erhielt eine päpstliche Pension, schrieb seine Autobiografie De vita propria und starb dort am 21. September 1576.

Ferrari übernahm 1565 eine Professur für Mathematik in Bologna, starb aber noch im selben Jahr, am 5. Oktober 1565. Der Überlieferung nach vergiftete ihn seine Schwester mit Arsen, um an sein Vermögen zu gelangen; belegt ist das nicht.

Cardano als Wegbereiter der Wahrscheinlichkeitsrechnung

In seinem Liber de ludo aleae („Buch vom Würfelspiel“) untersuchte Cardano als einer der Ersten Glücksspiele mathematisch. Er zählte die gleich möglichen Ausgänge eines Wurfs ab (bei zwei Würfeln sind es 36) und bewertete die Chance eines Ereignisses nach dem Anteil der günstigen Fälle an allen Fällen. So kommt bei einem Wurf mit zwei Würfeln in 11 von 36 Fällen mindestens eine Sechs vor. Daneben enthält das Buch Ratschläge, wie man Falschspieler erkennt.

Cardano stellte die Schrift um 1564 fertig, gedruckt wurde sie aber erst 1663 in seinen gesammelten Werken. Die Grundlegung der Wahrscheinlichkeitsrechnung durch Blaise Pascal und Pierre de Fermat im Jahr 1654 erfolgte deshalb unabhängig von ihm.

Kardanische Aufhängung und Cardanische Kreise

Im Alltag begegnet Cardanos Name vor allem in der Technik. Die kardanische Aufhängung, bei der ein Gegenstand in ineinander drehbaren Ringen gelagert ist und so stets waagerecht bleibt, und das Kardangelenk zur Kraftübertragung zwischen geneigten Wellen sind nach ihm benannt. Er beschrieb die Aufhängung in seinem Werk De subtilitate (1550); erfunden hat er sie nicht, das Prinzip war seit der Antike bekannt. Auch ein Verschlüsselungsverfahren, das Cardan-Gitter, trägt seinen Namen.

In der Geometrie heißen zwei Kreise „Cardanische Kreise“, wenn ein Kreis im Inneren eines doppelt so großen Kreises abrollt. Jeder Punkt auf dem Rand des kleinen Kreises bewegt sich dann auf einer geraden Linie, einem Durchmesser des großen Kreises; Punkte im Inneren beschreiben Ellipsen. Cardano erläuterte diese Bewegung 1570 in seinem Opus novum de proportionibus. Entdeckt hatte er sie jedoch nicht: Nasir ad-Din at-Tusi hatte sie schon im 13. Jahrhundert für seine Planetentheorie genutzt; sie ist als Tusi-Paar bekannt.

Zeitleiste

1. 1499/1500 Geburt Tartaglias in Brescia; 1501 Geburt Cardanos in Pavia
2. 1512 Plünderung Brescias durch französische Truppen; der junge Niccolò wird schwer im Gesicht verletzt.
3. um 1515 Scipione del Ferro löst in Bologna die Gleichung x³ + px = q, hält die Lösung aber geheim.
4. 1535 Wettstreit zwischen Tartaglia und Fior in Venedig; Tartaglia findet in der Nacht zum 13. Februar die Lösung.
5. 1539 Tartaglia verrät Cardano am 25. März in Mailand sein Verfahren gegen einen Schweigeeid.
6. 1540 Ferrari löst die Gleichung vierten Grades.
7. 1545 Cardanos Ars Magna erscheint in Nürnberg.
8. 1548 Disputation zwischen Ferrari und Tartaglia am 10. August in Mailand
9. 1557–1576 Tod Tartaglias (1557, Venedig), Ferraris (1565, Bologna) und Cardanos (1576, Rom)
10. 1572 Rafael Bombelli erklärt in L’Algebra das Rechnen mit Wurzeln aus negativen Zahlen.

Bedeutung und Nachwirkung

Die Ars Magna gilt als Beginn der neuzeitlichen Algebra. Sie zeigte, dass die europäische Mathematik über die Ergebnisse der Antike und der arabischen Gelehrten hinausgehen konnte, und regte eine Generation von Algebraikern an, darunter Bombelli und François Viète, der wenig später die Buchstabenrechnung einführte. Die Frage, welche Gleichungen sich durch Wurzeln lösen lassen, führte über Lagrange, Abel und Galois zur modernen Gruppentheorie.

Zum Lösen konkreter Gleichungen nutzt man die Cardanische Formel heute selten, Computer verwenden meist Näherungsverfahren. Sie gehört aber zum Grundwissen jedes Mathematikstudiums und zeigt, warum komplexe Zahlen unverzichtbar sind: Sie entstanden nicht aus quadratischen Gleichungen, die man als unlösbar abtun konnte, sondern aus kubischen Gleichungen mit ganz gewöhnlichen reellen Lösungen. Das Tartaglia-Dreieck kennt man heute als Pascalsches Dreieck, und Kardanwellen stecken in nahezu jedem Fahrzeug.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Girolamo Cardano: The Great Art or the Rules of Algebra, übersetzt und herausgegeben von T. Richard Witmer, MIT Press, Cambridge (Massachusetts) 1968.
• Fabio Toscano: The Secret Formula. How a Mathematical Duel Inflamed Renaissance Italy and Uncovered the Cubic Equation, Princeton University Press, Princeton 2020.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Niccolò Fontana Tartaglia (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Girolamo Cardano (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Lodovico Ferrari (englisch)