Fibonacci (Leonardo von Pisa)

Leonardo von Pisa, heute meist Fibonacci genannt, gilt als bedeutendster Mathematiker des lateinischen Mittelalters. Um 1170 in der Handelsstadt Pisa geboren, lernte er als junger Mann in Nordafrika das Rechnen mit den indisch-arabischen Ziffern kennen. Sein Lehrbuch Liber Abaci von 1202 machte das dezimale Stellenwertsystem mit der Null in Europa bekannt. Darauf beruht das Rechnen, wie es Kaufleute, Banken und Schulen bis heute betreiben.

Berühmt ist sein Name vor allem durch die Fibonacci-Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, die er an einer Rechenaufgabe über Kaninchen vorführte. Für Leonardo war sie eine Übungsaufgabe unter Hunderten. Mathematisch tiefer reichen seine Untersuchungen über Quadratzahlen im Liber Quadratorum, mit denen er weit über das Wissen seiner europäischen Zeitgenossen hinausging.

Herkunft: von Pisa nach Bugia

Über Leonardos Leben ist wenig bekannt. Fast alles stammt aus dem Vorwort des Liber Abaci und aus einer einzigen städtischen Urkunde. Er wurde um 1170 in Pisa geboren, das damals mit Genua und Venedig um den Mittelmeerhandel konkurrierte. Sein Vater Guglielmo arbeitete als öffentlicher Schreiber für die pisanischen Kaufleute am Zollhaus von Bugia, dem heutigen Béjaïa in Algerien. Dorthin holte er den Sohn, damit dieser das kaufmännische Rechnen lernte.

In Bugia kam Leonardo nach eigener Aussage mit den „neun Ziffern der Inder“ in Berührung und war von der Methode sofort überzeugt. Auf Reisen nach Ägypten, Syrien, Byzanz, Sizilien und in die Provence verglich er die Rechenverfahren der dortigen Händler und Gelehrten. So lernte er die Arithmetik und Algebra der islamischen Welt kennen, die auf Lehrbüchern wie denen von al-Chwarizmi und Abu Kamil beruhte. Um 1200 kehrte er nach Pisa zurück und begann, dieses Wissen auf Latein aufzuschreiben.

Den Beinamen „Fibonacci“ (verkürzt aus filius Bonacci, „Sohn des Bonacci“) verwendete Leonardo selbst nie. Er nannte sich Leonardus Pisanus und gelegentlich Bigollo; die Bedeutung dieses Wortes ist unklar, vorgeschlagen werden „Reisender“ oder „Taugenichts“. Die Form „Fibonacci“ setzte sich erst im 19. Jahrhundert durch, vor allem durch den französischen Zahlentheoretiker Édouard Lucas, der die Zahlenfolge in den 1870er-Jahren nach ihm benannte.

Der „Liber Abaci“ (1202): Rechnen mit indisch-arabischen Ziffern

Der Liber Abaci („Buch der Rechenkunst“, in den Handschriften meist Liber abbaci) erschien 1202. Erhalten ist nur die überarbeitete Fassung von 1228, die Leonardo dem Gelehrten Michael Scotus widmete. Trotz des Titels handelt das Buch nicht vom Rechenbrett, dem Abakus, sondern vom schriftlichen Rechnen mit Ziffern. In Italien wurde abbaco in der Folge zum Wort für praktische Rechenkunst überhaupt.

„Die neun Ziffern der Inder sind diese: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Mit diesen neun Ziffern und mit dem Zeichen 0, das auf Arabisch zephirum heißt, lässt sich jede beliebige Zahl schreiben.“

Vom Ziffernlesen bis zur Algebra

Die 15 Kapitel bauen systematisch aufeinander auf. Zuerst erklärt Leonardo das Stellenwertsystem und die vier Grundrechenarten, danach die Bruchrechnung. Brüche schrieb er mit einem waagerechten Bruchstrich, wie es arabische Rechenmeister taten; sein Werk gilt als ältester europäischer Text mit dieser Schreibweise. Gemischte Zahlen notierte er nach arabischer Leserichtung mit dem Bruch links von der ganzen Zahl.

Den größten Raum nehmen Aufgaben aus dem Geschäftsleben ein: Preis- und Mengenumrechnungen mit dem Dreisatz, Tauschgeschäfte, die Aufteilung von Gewinnen in Handelsgesellschaften, Zinsen und das Legieren von Münzen. Für die vielen Münz-, Maß- und Gewichtssysteme der Mittelmeerhäfen bot das Buch damit ein praktisches Werkzeug des kaufmännischen Rechnens. Es folgen Unterhaltungsaufgaben, das Verfahren des doppelten falschen Ansatzes (regula falsi, nach arabisch al-chata’ain), das Ziehen von Quadrat- und Kubikwurzeln und schließlich die Algebra nach al-Chwarizmi und Abu Kamil, einschließlich der Lösung quadratischer Gleichungen.

Unter den Unterhaltungsaufgaben finden sich Probleme mit langer Vorgeschichte. Eine Restklassenaufgabe, bei der eine Zahl mit vorgegebenen Resten bei der Division durch 3, 5 und 7 gesucht ist, kannte schon der chinesische Mathematiker Sunzi. Die Aufgabe von den „sieben alten Frauen auf dem Weg nach Rom“, die je sieben Maultiere mit je sieben Säcken führen, erinnert an eine Potenzaufgabe im ägyptischen Papyrus Rhind. Leonardo behandelte außerdem vollkommene Zahlen und Summen von Zahlenreihen.

Ein langsamer Siegeszug der neuen Ziffern

Der Liber Abaci verdrängte die römischen Zahlzeichen nicht über Nacht. Er wirkte vor allem über die Rechenschulen (scuole d’abaco), die seit dem späten 13. Jahrhundert in Florenz, Pisa und Venedig die Söhne von Kaufleuten ausbildeten. Deren Lehrbücher übernahmen viele seiner Aufgaben. Widerstand gab es dennoch: 1299 untersagte die Florentiner Zunft der Geldwechsler (Arte del Cambio) ihren Mitgliedern, Beträge in den Geschäftsbüchern mit den neuen Ziffern zu schreiben, vermutlich weil sie sich leicht verfälschen ließen: Aus einer 0 wird mit einem Strich eine 6.

Ein allgemeines Verbot in der Stadt war das nicht, und beim Rechnen selbst nutzten die Händler die Ziffern weiter. In Buchführung und Verwaltung setzten sie sich im 15. und 16. Jahrhundert durch, unterstützt vom Buchdruck. Luca Pacioli stützte seine Summa de arithmetica (1494) in weiten Teilen auf Leonardos Werk.

Die Kaninchenaufgabe und die Fibonacci-Folge

Im zwölften Kapitel des Liber Abaci steht die Aufgabe, durch die Leonardos Name heute jedem Schulkind begegnet. Sie fragt, wie viele Kaninchenpaare in einem Jahr aus einem einzigen Paar hervorgehen. Die Annahmen sind idealisiert: Jedes Paar bringt jeden Monat ein neues Paar zur Welt, sobald es zwei Monate alt ist, und kein Tier stirbt. Leonardo begann mit einem Paar, das sich sofort fortpflanzt.

Jeden Monat kommen damit genau so viele Paare hinzu, wie zwei Monate zuvor vorhanden waren, denn diese sind inzwischen alle fortpflanzungsfähig. Die Gesamtzahl eines Monats ist also die Summe der beiden Vormonate. Leonardo notierte die Zwischenergebnisse am Rand der Handschrift und bemerkte, dass man die Rechnung beliebig weit fortsetzen könne.

Nach einem Jahr sind es 377 Paare. In heutiger Schreibweise beginnt die Fibonacci-Folge mit F₁ = F₂ = 1, und jedes weitere Glied ist die Summe der beiden vorhergehenden:

So entsteht 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … Eine solche Folge, deren Glieder aus den vorherigen berechnet werden, heißt rekursiv. Leonardos Kaninchenaufgabe ist das älteste bekannte Beispiel einer rekursiven Folge in einem europäischen Text.

Vorläufer in der indischen Verslehre

Entdeckt hat Leonardo die Folge nicht. In der indischen Mathematik tauchte sie Jahrhunderte früher in der Lehre vom Versmaß auf. Wer zählt, auf wie viele Arten sich eine Zeile bestimmter Länge aus kurzen Silben (eine Zeiteinheit) und langen Silben (zwei Zeiteinheiten) zusammensetzen lässt, erhält genau die Fibonacci-Zahlen: Für vier Zeiteinheiten gibt es 5 Möglichkeiten, für fünf schon 8. Virahanka (zwischen dem 6. und 8. Jahrhundert) sowie später Gopala und Hemachandra (12. Jahrhundert) formulierten diese Regel ausdrücklich. Ob Leonardo davon wusste, ist unbekannt.

Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen

Die einfache Bildungsregel erzeugt erstaunlich viele Gesetzmäßigkeiten, die fast alle erst Jahrhunderte nach Leonardo entdeckt wurden:

• Teilbarkeit: Jede dritte Fibonacci-Zahl ist durch F₃ = 2 teilbar, jede vierte durch F₄ = 3, jede fünfte durch F₅ = 5, jede sechste durch F₆ = 8. Allgemein teilt F_m die Zahl F_n, wenn m ein Teiler von n ist.
• Summenformel: F₁ + F₂ + … + F_n = F_n+2 − 1, zum Beispiel 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = 21 − 1.
• Identität von Cassini (1680): F_n−1 · F_n+1 − F_n² = (−1)ⁿ, etwa 5 · 13 − 8² = 1.
• Satz von Zeckendorf: Jede natürliche Zahl lässt sich auf genau eine Weise als Summe nicht benachbarter Fibonacci-Zahlen schreiben, etwa 100 = 89 + 8 + 3.

Eine geschlossene Formel, mit der man jedes Glied direkt berechnen kann, kannte bereits Abraham de Moivre (1718); benannt ist sie nach Jacques Binet, der sie 1843 veröffentlichte:

Obwohl in der Formel Wurzeln vorkommen, liefert sie stets ganze Zahlen. Da ψⁿ schnell gegen null geht, ist F_n einfach die ganze Zahl, die φⁿ/√5 am nächsten liegt.

Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt

Teilt man jede Fibonacci-Zahl durch ihren Vorgänger, nähern sich die Quotienten einem festen Wert: 8 : 5 = 1,6; 13 : 8 = 1,625; 21 : 13 ≈ 1,6154; 34 : 21 ≈ 1,6190; 89 : 55 ≈ 1,6182. Der Grenzwert ist die Zahl des Goldenen Schnitts, φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,6180. Johannes Kepler bemerkte diesen Zusammenhang 1611 in seiner Schrift über Schneeflocken; der schottische Mathematiker Robert Simson formulierte ihn 1753 ausdrücklich. Leonardo selbst kannte ihn nicht.

Zwei Strecken stehen im Goldenen Schnitt, wenn sich ihre Summe zur größeren Strecke verhält wie die größere zur kleineren. Daraus folgen die Beziehungen φ² = φ + 1 ≈ 2,618 und 1/φ = φ − 1 ≈ 0,618. Die Teilung selbst beschrieb schon Euklid als Teilung „im äußeren und mittleren Verhältnis“. Den Namen „göttliche Proportion“ prägte Luca Pacioli mit seinem Buch De divina proportione (1509), das Leonardo da Vinci illustrierte; die Bezeichnung „Goldener Schnitt“ ist erst im 19. Jahrhundert belegt.

Fibonacci-Zahlen in der Natur

Echte Fibonacci-Muster zeigt die Blattstellung vieler Pflanzen. In Sonnenblumenkörben, Kiefernzapfen und Ananasfrüchten lassen sich zwei Scharen gegenläufiger Spiralen zählen; ihre Anzahlen sind häufig benachbarte Fibonacci-Zahlen, etwa 8 und 13 beim Kiefernzapfen oder 34 und 55 bei der Sonnenblume. Die Ursache liegt im Wachstum: Jede neue Anlage entsteht um etwa 137,5° gegenüber der vorigen versetzt, dem sogenannten goldenen Winkel (360° · (1 − 1/φ)). Dadurch verteilen sich Samen und Blätter besonders gleichmäßig. Ausnahmslos gilt das Muster jedoch nicht: Eine große Zählstudie an Sonnenblumen ergab 2016, dass ein nennenswerter Teil der Blütenstände abweichende Spiralzahlen hat.

Weitere Werke: Practica geometriae, Flos und Liber Quadratorum

Practica geometriae (1220)

Die Practica geometriae ist ein Handbuch der angewandten Geometrie, gedacht für Landvermesser und Baumeister. Leonardo behandelt darin die Berechnung von Flächen und Rauminhalten, die Teilung von Grundstücken, das Ziehen von Quadrat- und Kubikwurzeln und Anwendungen des Satzes des Pythagoras. Er stützte sich dabei auf Euklid und auf lateinische Bearbeitungen arabischer Vorlagen.

Ein Wettstreit am Hof Friedrichs II.: der „Flos“

Leonardos Ruf erreichte den Hof Kaiser Friedrichs II., der Gelehrte aus der christlichen, jüdischen und islamischen Welt um sich versammelte. Als der Kaiser um 1225 in Pisa Station machte, legte der Hofgelehrte Johannes von Palermo Leonardo mehrere Aufgaben vor. Eine verlangte eine Quadratzahl, die um 5 vermehrt und um 5 vermindert jeweils wieder eine Quadratzahl ergibt. Leonardo fand den Bruch 41/12, denn (41/12)² + 5 = (49/12)² und (41/12)² − 5 = (31/12)².

Eine zweite Aufgabe führte auf die kubische Gleichung x³ + 2x² + 10x = 20. Leonardo bewies, dass ihre Lösung weder eine ganze Zahl noch ein Bruch noch eine der Wurzelgrößen sein kann, die Euklid im zehnten Buch der Elemente untersucht. Anschließend gab er ohne Erklärung einen Näherungswert im Sexagesimalsystem an, der auf zehn Nachkommastellen stimmt: x ≈ 1,3688081078. Wie er ihn berechnete, ist bis heute ungeklärt. Eine allgemeine Lösungsformel für kubische Gleichungen fanden erst del Ferro, Tartaglia und Cardano rund 300 Jahre später.

Liber Quadratorum (1225)

Das Liber Quadratorum („Buch der Quadratzahlen“), dem Kaiser gewidmet, ist Leonardos anspruchsvollstes Werk. Es steht in der Tradition der Arithmetica des Diophant und arabischer Zahlentheoretiker und behandelt Gleichungen, deren Lösungen Quadratzahlen sein sollen. Ein Ausgangspunkt ist die alte Beobachtung, dass die Summe der ersten n ungeraden Zahlen eine Quadratzahl ergibt: 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n².

Besonders bekannt ist eine Identität, nach der das Produkt zweier Summen von je zwei Quadraten wieder eine Summe von zwei Quadraten ist:

Ein Beispiel: (1² + 4²)(2² + 7²) = 17 · 53 = 901, und tatsächlich gilt 901 = 26² + 15² = 30² + 1². Die Identität war schon Brahmagupta im 7. Jahrhundert bekannt und steckt der Sache nach bereits bei Diophant; sie heißt deshalb auch Brahmagupta-Fibonacci-Identität.

Im Zentrum des Buches steht das Kongruum: eine Zahl c, für die x² − c, x² und x² + c zugleich Quadratzahlen sind. Ein Beispiel ist c = 24 mit 1, 25 und 49. Leonardo zeigte, dass jedes Kongruum durch 24 teilbar ist, und er wusste, dass ein Kongruum selbst nie eine Quadratzahl sein kann. Einen stichhaltigen Beweis dafür gab er allerdings nicht. Diese Aussage ist gleichwertig damit, dass kein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seiten eine Quadratzahl als Flächeninhalt hat. Den Beweis lieferte erst Pierre de Fermat im 17. Jahrhundert.

Zeitleiste: Leonardo von Pisa

1. um 1170 Geburt in Pisa
2. um 1192 Der Vater Guglielmo ist als Schreiber der pisanischen Kaufleute in Bugia (Nordafrika) tätig; Leonardo folgt ihm und lernt die indisch-arabischen Ziffern kennen.
3. 1190er-Jahre Reisen nach Ägypten, Syrien, Byzanz, Sizilien und in die Provence
4. um 1200 Rückkehr nach Pisa
5. 1202 Erste Fassung des Liber Abaci
6. 1220 Practica geometriae
7. um 1225 Begegnung mit Kaiser Friedrich II. in Pisa; Flos und Liber Quadratorum
8. 1228 Überarbeitete Fassung des Liber Abaci
9. 1240 Die Stadt Pisa gewährt „Leonardo Bigollo“ ein jährliches Gehalt für seine Dienste als Rechenmeister und Berater.
10. nach 1240 Tod, vermutlich in Pisa

Bedeutung und Nachwirkung

Leonardos wichtigste Leistung ist zugleich die unauffälligste: Jede Rechnung mit Ziffern, jede Kontoführung und jede Tabellenkalkulation beruht auf dem Stellenwertsystem, das er in Europa bekannt machte. Ohne die schriftlichen Rechenverfahren der Abbaco-Schulen wären die Buchführung der italienischen Handelshäuser und später die Mathematik der Renaissance kaum denkbar gewesen.

Die Fibonacci-Folge ist heute ein Standardbeispiel für rekursive Folgen und für Beweise durch vollständige Induktion. In der Informatik tragen Datenstrukturen und Verfahren seinen Namen, etwa der Fibonacci-Heap und die Fibonacci-Suche. Seit 1963 erscheint mit dem Fibonacci Quarterly sogar eine eigene Fachzeitschrift für die Folge und ihre Verwandten. Weniger seriös ist ihre Verwendung in der Börsenanalyse, wo „Fibonacci-Marken“ Kursbewegungen vorhersagen sollen; einen belastbaren Nachweis für ihre Wirksamkeit gibt es nicht.

Häufige Fragen

Wann und wo lebte Fibonacci?

Leonardo von Pisa wurde um 1170 in Pisa geboren und starb nach 1240, vermutlich ebenfalls in Pisa. Seine Jugend verbrachte er teilweise in Bugia im heutigen Algerien, wo sein Vater für die pisanischen Kaufleute arbeitete.

Hat Fibonacci die Fibonacci-Folge erfunden?

Nein. Die Folge war in der indischen Verslehre schon Jahrhunderte früher bekannt. Leonardo stellte sie 1202 mit der Kaninchenaufgabe im Liber Abaci vor; damit ist sie in Europa zum ersten Mal belegt. Ihren heutigen Namen erhielt sie erst im 19. Jahrhundert.

Was steht im Liber Abaci?

Das Buch erklärt das Rechnen mit den indisch-arabischen Ziffern und der Null: Grundrechenarten, Brüche, kaufmännische Aufgaben wie Dreisatz, Gewinnverteilung und Währungsumrechnung, dazu Wurzeln, Unterhaltungsaufgaben und Algebra.

Was hat die Fibonacci-Folge mit dem Goldenen Schnitt zu tun?

Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen nähert sich immer mehr der Zahl φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618 an, dem Verhältnis des Goldenen Schnitts. Diesen Zusammenhang entdeckten Kepler und Simson, nicht Leonardo selbst.

Quellen und weiterführende Literatur

• Heinz Lüneburg: Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers, 2. Auflage, BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim 1993.
• Laurence E. Sigler: Fibonacci’s Liber Abaci. A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation, Springer, New York 2002.
• Keith Devlin: The Man of Numbers. Fibonacci’s Arithmetic Revolution, Walker & Company, New York 2011.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Leonardo Pisano Fibonacci (englisch)
• Wikipedia: Leonardo Fibonacci