Mathematik der islamischen Welt

Die Mathematik der islamischen Welt, oft auch arabische Mathematik genannt, umfasst die mathematische Forschung, die zwischen etwa 750 und 1450 in den Ländern unter islamischer Herrschaft entstand: von al-Andalus auf der Iberischen Halbinsel über Nordafrika, Ägypten und den Irak bis nach Persien und Zentralasien. Ihre gemeinsame Wissenschaftssprache war Arabisch. Die Gelehrten übernahmen das Erbe der hellenistischen und der indischen Mathematik, prüften es kritisch und bauten es zu etwas Neuem aus.

Aus dieser Epoche stammen mehrere Grundpfeiler der heutigen Schulmathematik. Muhammad al-Chwarizmi schrieb im 9. Jahrhundert das erste Lehrbuch, das die Algebra als eigenständige Disziplin behandelt; sein Name lebt im Wort „Algorithmus“ fort. Arabische Rechenbücher machten das indische Stellenwertsystem mit der Null bekannt, aus dem unsere Ziffern hervorgingen. Astronomen formten die Trigonometrie mit Sinus, Kosinus und Tangens zu einem eigenen Fach, und Omar Chayyam löste kubische Gleichungen mithilfe von Kegelschnitten.

Über lateinische Übersetzungen gelangte dieses Wissen ab dem 12. Jahrhundert nach Europa und wurde dort zur Grundlage der mittelalterlichen europäischen Mathematik. Die islamische Welt war damit weit mehr als ein Archiv, das antike Texte aufbewahrte. Über Jahrhunderte war sie das lebendigste Zentrum mathematischer Forschung.

Islamische oder arabische Mathematik? Zu den Begriffen

Beide Bezeichnungen sind verbreitet, und beide sind ungenau. „Arabisch“ bezieht sich auf die Sprache: Wer im Kalifat wissenschaftlich schrieb, tat das in der Regel auf Arabisch, so wie Gelehrte im lateinischen Europa auf Latein schrieben. Viele der bedeutendsten Mathematiker waren jedoch Perser, etwa al-Chwarizmi, Omar Chayyam oder at-Tusi; andere stammten aus Zentralasien, Nordafrika oder Spanien.

„Islamisch“ wiederum beschreibt den kulturellen und politischen Raum, nicht die Religion der Forschenden. Zu den Gelehrten zählten auch Christen, Juden und Sabier: Der Übersetzer und Mathematiker Thabit ibn Qurra etwa gehörte der sabischen Religionsgemeinschaft aus Harran an. In der Fachliteratur spricht man deshalb meist von der „Mathematik in den Ländern des Islam“ oder der „Mathematik der islamischen Welt“. Gemeint ist immer dieselbe Tradition: die arabischsprachige Mathematik des Mittelalters zwischen Atlantik und Indus.

Historischer Kontext: Kalifat, Bagdad und Papier

Gut ein Jahrhundert nach dem Tod Mohammeds (632) reichte das islamische Herrschaftsgebiet von Spanien bis an den Indus. 750 übernahmen die Abbasiden das Kalifat; ihr zweiter Herrscher al-Mansur gründete 762 Bagdad als neue Hauptstadt. Die Stadt lag an den Handelswegen zwischen Mittelmeer, Persien und Indien und wuchs rasch zu einer der größten Städte der Welt heran. Hier trafen persische Verwaltungstraditionen, syrisch-christliche Gelehrsamkeit und indisches Wissen aufeinander.

Zwei praktische Voraussetzungen begünstigten die Wissenschaft. Erstens verbreitete sich gegen Ende des 8. Jahrhunderts die Papierherstellung, die über Zentralasien aus China gekommen war; Bücher wurden dadurch deutlich billiger. Zweitens gab es einen großen Bedarf an Rechenkunst: Verwaltung und Steuern, Handel und Erbteilung, aber auch religiöse Pflichten verlangten Mathematik. Das islamische Erbrecht teilt Nachlässe in komplizierten Bruchteilen auf, die Gebetsrichtung nach Mekka (Qibla) und die Gebetszeiten erfordern Rechnungen auf der Kugel, und der Mondkalender hängt an der Vorhersage der ersten sichtbaren Mondsichel.

Ebenso wichtig waren Mäzene: Kalifen, Wesire und wohlhabende Familien bezahlten Übersetzer und Astronomen, kauften Handschriften und finanzierten Sternwarten. Als das Kalifat ab dem 10. Jahrhundert in Teilreiche zerfiel, entstanden neue Zentren mit eigenen Förderern: Kairo unter den Fatimiden, Córdoba unter den Umayyaden von al-Andalus, später Isfahan, Maragha und Samarkand.

Das Haus der Weisheit und die Übersetzungsbewegung

Zwischen der Mitte des 8. und dem Ende des 10. Jahrhunderts wurde ein großer Teil der griechischen Wissenschaft ins Arabische übertragen, häufig über syrische Zwischenstufen. Diese Übersetzungsbewegung hat in Antike und Mittelalter nicht ihresgleichen. Am Ende des 9. Jahrhunderts lagen unter anderem Euklids „Elemente“, Schriften des Archimedes und des Apollonios über Kegelschnitte, der „Almagest“ des Ptolemäus und die Kugelgeometrie des Menelaos auf Arabisch vor. Wenig später folgten Teile der „Arithmetica“ des Diophant.

Zu den bekanntesten Übersetzern gehören al-Haddschadsch ibn Yusuf, der die „Elemente“ gleich zweimal übertrug, der christliche Arzt Hunain ibn Ishaq mit seinem Sohn Ishaq und Thabit ibn Qurra, der Ishaqs Euklid-Übersetzung überarbeitete und selbst Werke des Archimedes und des Apollonios übersetzte. Die Übersetzer arbeiteten philologisch genau: Sie verglichen Handschriften, korrigierten Fehler und ergänzten fehlende Beweise.

Etwa zur gleichen Zeit erreichte indisches Wissen Bagdad. Um 770 brachte eine Gesandtschaft aus Indien ein astronomisches Werk an den Hof al-Mansurs, das auf dem „Brahmasphutasiddhanta“ des Brahmagupta beruhte. Unter dem Titel „Sindhind“ ins Arabische übertragen, machte es indische Rechenverfahren und Sinustafeln bekannt. Auch das dezimale Stellenwertsystem dürfte auf diesem oder einem ähnlichen Weg gekommen sein.

Mit dem Haus der Weisheit (Bait al-Hikma) in Bagdad verbindet sich seit Langem das Bild einer großen Akademie, in der Gelehrte unter dem Kalifen al-Ma’mun (reg. 813–833) gemeinsam übersetzten und forschten. Al-Chwarizmi, die drei Brüder Banu Musa und andere Gelehrte sollen dort gearbeitet haben. Die heutige Forschung zeichnet allerdings ein nüchterneres Bild.

Indische Ziffern und das schriftliche Rechnen

Al-Chwarizmi verfasste neben seiner Algebra ein Lehrbuch über das Rechnen nach Art der Inder. Es erklärt die neun Ziffern, das Zeichen für die leere Stelle (die Null) und die Grundrechenarten im Stellenwertsystem. Das arabische Original ist verloren; erhalten ist eine lateinische Bearbeitung aus dem 12. Jahrhundert, die mit den Worten „Dixit Algorizmi“ („Algorizmi sprach“) beginnt. Aus dem latinisierten Namen wurde „Algorismus“, zunächst die Bezeichnung für das Ziffernrechnen. Heute ist Algorithmus der Begriff für jede eindeutige Rechenvorschrift.

Ursprünglich rechnete man mit den indischen Ziffern auf einem Staubbrett, auf dem Zwischenergebnisse weggewischt wurden. Das älteste erhaltene arabische Buch über diese Rechenkunst schrieb Abu l-Hasan al-Uqlidisi 952/953 in Damaskus. Er passte die Verfahren an Tinte und Papier an und verwendete als erster bekannter Autor Dezimalbrüche: Ein kleines Zeichen über der Einerstelle trennte die Ganzen von den Zehnteln und Hundertsteln, etwa beim fortgesetzten Halbieren einer Zahl. Systematisch ausgebaut wurde das Rechnen mit Dezimalbrüchen im 12. Jahrhundert von as-Samaw’al und im 15. Jahrhundert von al-Kaschi.

Neben den Ziffern blieben andere Rechenweisen lange in Gebrauch: das Fingerrechnen der Kaufleute und Schreiber und die Sexagesimalrechnung der Astronomen, die Brüche wie einst die Babylonier in Sechzigsteln schrieben. Abu l-Wafa verfasste noch im 10. Jahrhundert ein Rechenbuch für Beamte, das ganz ohne Ziffern auskommt. Im Osten entwickelten sich die ostarabischen Ziffernformen, die in vielen arabischen Ländern bis heute üblich sind. Im Maghreb und in al-Andalus setzten sich dagegen die sogenannten Ghubar-Ziffern durch. Aus ihnen gingen die Zeichen hervor, die Europa übernahm und die wir „arabische Ziffern“ nennen.

Al-Chwarizmi und die Geburt der Algebra

Um 825 widmete al-Chwarizmi dem Kalifen al-Ma’mun ein Buch mit dem Titel al-Kitab al-muchtasar fi hisab al-dschabr wa-l-muqabala, etwa „Das kurz gefasste Buch über das Rechnen durch Ergänzen und Ausgleichen“. Aus dem Wort al-dschabr im Titel wurde unser Wort Algebra. Das Buch wollte ausdrücklich nützlich sein: Ein großer Teil behandelt Erbteilungen, außerdem Handelsrechnung und Feldmessung. Seine Bedeutung liegt jedoch im ersten Teil, der lineare und quadratische Gleichungen erstmals als eigenes Thema systematisch darstellt.

Al-Chwarizmi schrieb vollständig in Worten, ohne Symbole und sogar ohne Ziffern. Die Unbekannte hieß schai’ („Ding“) oder dschidr („Wurzel“), ihr Quadrat mal („Vermögen“). Weil er nur positive Zahlen als Koeffizienten und Lösungen zuließ, unterschied er sechs Normalformen, die man heute so schreiben würde:

1. Quadrate gleich Wurzeln: ax² = bx
2. Quadrate gleich Zahlen: ax² = c
3. Wurzeln gleich Zahlen: bx = c
4. Quadrate und Wurzeln gleich Zahlen: ax² + bx = c
5. Quadrate und Zahlen gleich Wurzeln: ax² + c = bx
6. Wurzeln und Zahlen gleich Quadrate: bx + c = ax²

Jede Aufgabe wird durch zwei Umformungen auf eine dieser Formen gebracht. Al-dschabr („Ergänzung“, „Wiederherstellung“) bedeutet, einen abgezogenen Term auf beiden Seiten zu addieren, sodass nur noch positive Glieder übrig bleiben. Al-muqabala („Gegenüberstellung“) bedeutet, gleichartige Glieder auf beiden Seiten gegeneinander zu verrechnen. Aus x² + 30 = 12x + 14 − 2x wird durch al-dschabr die Gleichung x² + 2x + 30 = 12x + 14 und durch al-muqabala schließlich x² + 16 = 10x. Für diese fünfte Form erkannte al-Chwarizmi, dass es zwei positive Lösungen geben kann (hier 2 und 8) oder auch gar keine.

Neu war vor allem der Anspruch. Al-Chwarizmi gab für jede Form ein allgemeines Lösungsverfahren an und begründete es geometrisch, indem er Quadrate und Rechtecke zu einem größeren Quadrat ergänzte. Rechenregeln für quadratische Gleichungen kannten schon die Babylonier und Brahmagupta. Eine geschlossene Lehre, die Zahlen, Wurzeln und geometrische Größen gleichermaßen als Gegenstände des Rechnens behandelt, schuf jedoch erst er.

In moderner Form entspricht sein Verfahren für Gleichungen vom Typ x² + bx = c der Formel

Algebra nach al-Chwarizmi: von Abu Kamil bis as-Samaw’al

Die Nachfolger al-Chwarizmis lösten die Algebra Schritt für Schritt von der geometrischen Anschauung. Der Ägypter Abu Kamil (um 850–930) rechnete selbstverständlich mit irrationalen Koeffizienten wie √10 und löste Aufgaben mit mehreren Unbekannten; Leonardo von Pisa griff später auf viele seiner Aufgaben zurück. Thabit ibn Qurra lieferte strenge geometrische Beweise für al-Chwarizmis Lösungsregeln, gestützt auf Euklids „Elemente“.

Den entscheidenden Schritt machte um das Jahr 1000 Abu Bakr al-Karadschi in Bagdad. In seinem Werk al-Fachri behandelte er x, x², x³ und ihre Kehrwerte 1/x, 1/x² als Glieder einer unbegrenzten Folge von Potenzen. Mit Summen solcher Glieder, also mit Polynomen, rechnete er so, wie man mit Zahlen rechnet: Er addierte, subtrahierte und multiplizierte sie und zog Wurzeln aus ihnen. Historiker sprechen deshalb von einer „Arithmetisierung“ der Algebra.

Al-Karadschi stellte außerdem eine Tabelle der Koeffizienten auf, die beim Ausmultiplizieren von (a + b)ⁿ entstehen, etwa (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Jede Zahl der Tabelle ist die Summe der beiden darüberstehenden. Das ist das Bildungsgesetz des Zahlendreiecks, das in Europa nach Blaise Pascal benannt wurde und das auch indische und chinesische Mathematiker kannten. Al-Karadschis Begründung, die von einer Zeile auf die nächste schließt, gilt als frühe Form der vollständigen Induktion, auch wenn das Prinzip noch nicht allgemein formuliert war. Seine Schrift dazu ist verloren und nur durch ein ausführliches Zitat bei as-Samaw’al bekannt.

As-Samaw’al (um 1130–1180), Sohn eines jüdischen Gelehrten aus Marokko und später zum Islam übergetreten, schrieb mit 19 Jahren das Algebrabuch al-Bahir („Das Leuchtende“). Er formulierte Vorzeichenregeln für das Rechnen mit negativen Größen, nutzte die Regel x^m · xⁿ = x^m+n auch für negative Exponenten und notierte Polynome in Tabellen, Spalte für Spalte nach Potenzen geordnet. Das war eine Vorform unserer heutigen Schreibweise für Polynome.

Omar Chayyam und die kubischen Gleichungen

Gleichungen dritten Grades beschäftigten die Mathematiker der islamischen Welt seit dem 9. Jahrhundert, etwa bei der archimedischen Aufgabe, eine Kugel durch eine Ebene in einem vorgegebenen Verhältnis zu teilen. Eine allgemeine Theorie lieferte um 1070 der Perser Omar Chayyam (1048–1131) in seiner „Abhandlung über die Beweise der Probleme der Algebra“, die er in Samarkand verfasste. Im Westen ist er vor allem als Dichter bekannt: Die Vierzeiler (Rubaiyat), die unter seinem Namen überliefert sind, wurden 1859 durch Edward FitzGeralds englische Nachdichtung berühmt. Welche von ihnen tatsächlich von ihm stammen, ist allerdings umstritten.

Chayyam ordnete alle Gleichungen bis zum dritten Grad mit positiven Koeffizienten in 25 Typen. Vierzehn davon sind echte kubische Gleichungen, die sich nicht auf quadratische zurückführen lassen. Für jede dieser vierzehn Formen konstruierte er die Lösung als Schnittpunkt zweier Kegelschnitte (Parabel, Hyperbel oder Kreis) und untersuchte, unter welchen Bedingungen es Lösungen gibt. Für x³ + a²x = a²b etwa schneidet man die Parabel x² = ay mit dem Kreis, dessen Durchmesser die Strecke von 0 bis b auf der x-Achse ist. Der Abstand des Schnittpunkts von der Parabelachse ist die gesuchte Lösung.

Eine Formel, die die Lösung allein durch Wurzelausdrücke angibt, fand Chayyam nicht. Er hoffte ausdrücklich, dass Spätere sie entdecken würden. Das gelang erst rund 450 Jahre danach den italienischen Mathematikern Scipione del Ferro und Niccolò Tartaglia. Chayyams Verbindung von Algebra und Geometrie weist dennoch weit voraus, bis zur Koordinatengeometrie René Descartes’ im 17. Jahrhundert.

Chayyam war zugleich Astronom. Im Auftrag des Seldschukensultans Malik-Schah arbeitete er an einem neuen Sonnenkalender, dem 1079 eingeführten Dschalali-Kalender, der als sehr genau gilt. In einer weiteren Schrift untersuchte er Euklids Parallelenpostulat. Ein Jahrhundert später führte Scharaf ad-Din at-Tusi (um 1135–1213) seine Arbeit fort: Er fragte, wann eine kubische Gleichung positive Lösungen besitzt, untersuchte dazu den größten Wert von Ausdrücken wie x²(b − x) und gab numerische Näherungsverfahren an.

Zahlentheorie: befreundete Zahlen und Potenzsummen

Zwei Zahlen heißen befreundet, wenn jede die Summe der echten Teiler der anderen ist. Das kleinste Paar, 220 und 284, war schon in der Antike bekannt. Thabit ibn Qurra (826–901) fand im 9. Jahrhundert eine allgemeine Regel, mit der sich weitere Paare erzeugen lassen.

Mit n = 4 liefert die Regel das Paar 17.296 und 18.416. In Europa gilt es als Entdeckung Pierre de Fermats aus dem Jahr 1636, doch es findet sich bereits um 1300 bei Kamal ad-Din al-Farisi; in der älteren Literatur wird es auch Ibn al-Banna aus Marrakesch zugeschrieben. Al-Farisi, der in Täbris auch eine zutreffende Erklärung des Regenbogens fand, bewies Thabits Regel neu. Er stützte sich dabei auf die eindeutige Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren und auf kombinatorische Überlegungen zur Anzahl der Teiler. Das nächste Paar der Regel, 9.363.584 und 9.437.056 (für n = 7), berechnete später der persische Mathematiker Muhammad Baqir Yazdi, unabhängig von Descartes, dem es oft zugeschrieben wird.

Auch Summenformeln für Potenzen wurden weiterentwickelt. Ibn al-Haitham (ca. 965–1040) leitete eine Formel für die Summe der vierten Potenzen 1⁴ + 2⁴ + … + n⁴ her, und zwar mit einem Verfahren, das sich auf höhere Potenzen übertragen lässt. Er brauchte sie, um das Volumen eines Körpers zu berechnen, der durch Drehung eines Parabelstücks entsteht. Heute löst man eine solche Aufgabe mit Integralrechnung. In moderner Schreibweise lautet seine Formel:

Geometrie: Archimedes’ Erbe, Konstruktionen und das Parallelenpostulat

In der Geometrie knüpften die Gelehrten unmittelbar an die Griechen an. Die Brüder Banu Musa berechneten im 9. Jahrhundert Flächen und Rauminhalte nach archimedischem Vorbild. Thabits Enkel Ibrahim ibn Sinan (908–946) gab einen kürzeren Beweis für die Quadratur der Parabel des Archimedes und schrieb über Kreistangenten und die Konstruktion von Sonnenuhren. Ibn al-Haitham löste das nach ihm benannte Alhazensche Problem: An welchem Punkt eines kugelförmigen Spiegels wird das Licht einer gegebenen Quelle zu einem gegebenen Auge reflektiert? Die Aufgabe führt auf eine Gleichung vierten Grades, die er mit Kegelschnitten bewältigte.

Für Handwerker schrieb Abu l-Wafa (940–998) ein Buch über geometrische Konstruktionen. Viele davon kommen mit einem Zirkel fester Öffnung aus; andere zeigen, wie man Quadrate in Teilstücke zerlegt, die sich zu einem neuen Quadrat zusammensetzen lassen. Solche Verfahren nutzten Baumeister und Fliesenleger unmittelbar.

Theoretisch besonders interessant ist die Arbeit am Parallelenpostulat. Euklids fünftes Postulat besagt vereinfacht, dass es zu einer Geraden durch einen Punkt außerhalb genau eine Parallele gibt. Ibn al-Haitham, Omar Chayyam und Nasir ad-Din at-Tusi versuchten, es aus den übrigen Postulaten zu beweisen. Chayyam betrachtete dabei ein Viereck, bei dem zwei gleich lange Seiten senkrecht auf einer Grundseite stehen, und fragte, ob die beiden oberen Winkel spitz, stumpf oder recht sein müssen. Dasselbe Viereck untersuchte 1733 der Italiener Giovanni Saccheri. Alle Beweisversuche setzten unbemerkt eine gleichwertige Annahme voraus; erst im 19. Jahrhundert zeigte sich, dass Geometrien ohne das Parallelenpostulat widerspruchsfrei sind.

Trigonometrie wird ein eigenes Fach

Die Griechen hatten mit Sehnen im Kreis gerechnet, die indischen Astronomen mit der halben Sehne, dem Sinus. Die Mathematiker der islamischen Welt übernahmen den Sinus, ergänzten die übrigen Winkelfunktionen und machten aus einer Hilfstechnik der Astronomie ein selbstständiges Gebiet der Trigonometrie. Schon im 9. Jahrhundert legte Habasch al-Hasib Tafeln für den Tangens an, der aus der Schattenmessung mit einem senkrechten Stab hervorging. Al-Battani (um 858–929) rechnete in seinen astronomischen Tafeln konsequent mit Sinus und Kosinus. Abu l-Wafa verwendete im 10. Jahrhundert alle sechs Winkelfunktionen, berechnete eine Sinustafel in Schritten von einem Viertelgrad und formulierte das Additionstheorem sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β.

Für die Astronomie war vor allem die sphärische Trigonometrie wichtig, das Rechnen mit Dreiecken auf der Kugeloberfläche. Mit ihr ließ sich etwa aus geografischer Länge und Breite eines Ortes die Gebetsrichtung nach Mekka bestimmen. Den Sinussatz für Kugeldreiecke fanden im 10. Jahrhundert mehrere Gelehrte, darunter Abu l-Wafa, Abu Nasr Mansur und al-Chudschandi; er ersetzte die umständliche Rechnung mit dem Satz des Menelaos. Al-Biruni (973–1048) wandte die neuen Methoden auf Geografie und Erdvermessung an und bestimmte unter anderem den Erdradius aus der Absenkung des Horizonts, die er von einem Berg aus maß.

Den Abschluss bildete Nasir ad-Din at-Tusi (1201–1274). Seine „Abhandlung über das vollständige Vierseit“ aus der Mitte des 13. Jahrhunderts stellt die Trigonometrie erstmals vollständig losgelöst von der Astronomie dar. At-Tusi unterschied systematisch die sechs Grundfälle des rechtwinkligen Kugeldreiecks und formulierte den Sinussatz für ebene Dreiecke klar und allgemein:

In Europa erreichte erst Regiomontanus mit De triangulis omnimodis (verfasst 1462–1464) einen vergleichbaren Stand, und er stützte sich dabei stark auf arabische Vorlagen.

Geometrie in Kunst und Architektur

Besonders sichtbar wird die Mathematik der islamischen Welt in der Ornamentik. Moscheen, Medresen und Paläste von Córdoba bis Samarkand sind mit Sternmustern, Flechtbändern und Fliesenmosaiken bedeckt, die auf genauen geometrischen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal beruhen. Dass figürliche Darstellungen in religiösen Räumen gemieden wurden, förderte diese Kunst. Ein allgemeines Bilderverbot gab es jedoch nicht; die persische Buchmalerei etwa zeigt zahlreiche Menschen und Tiere.

Etwa ab dem 13. Jahrhundert entstanden die Girih-Muster, die aus wenigen Grundkacheln mit eingezeichneten Linien zusammengesetzt werden. Am Schrein Darb-i Imam in Isfahan (1453) wiesen die Physiker Peter Lu und Paul Steinhardt 2007 Muster nach, die sich selbstähnlich in kleinere Kacheln unterteilen lassen. Sie zeigen Eigenschaften nichtperiodischer Parkettierungen, wie sie in Europa erst in den 1970er-Jahren mit den Penrose-Parkettierungen untersucht wurden.

Spätblüte: Maragha, Samarkand und al-Kaschi

1258 eroberten die Mongolen Bagdad. Die Stadt wurde verwüstet, ihre Bibliotheken gingen zu großen Teilen verloren. Das Ende der Wissenschaft bedeutete das nicht: Schon im folgenden Jahr ließ der mongolische Herrscher Hülegü in Maragha im Nordwesten Irans ein großes Observatorium errichten, das at-Tusi leitete. Dort arbeiteten Astronomen aus vielen Ländern, erstellten neue Tafeln und entwickelten Planetenmodelle, die über Ptolemäus hinausgingen. Das sogenannte Tusi-Paar, ein Kreis, der in einem doppelt so großen Kreis abrollt und dabei einen Punkt auf einer Geraden hin- und herbewegt, taucht später bei Kopernikus wieder auf. Ob er es aus arabischen Quellen kannte, wird diskutiert.

Im 15. Jahrhundert wurde Samarkand zum Zentrum. Der Timuridenfürst Ulugh Beg (1394–1449), selbst ein fähiger Astronom, gründete dort eine Medrese und in den 1420er-Jahren eine Sternwarte mit einem riesigen gemauerten Meridianinstrument. Sein bedeutendster Mitarbeiter war Dschamschid al-Kaschi (um 1380–1429). Al-Kaschi berechnete 1424 die Kreiszahl π auf 16 Dezimalstellen genau, indem er den Umfang eines Vielecks mit 3 · 2²⁸ Ecken bestimmte. Dieser Rekord wurde in Europa erst Ende des 16. Jahrhunderts übertroffen. In seinem „Schlüssel der Rechenkunst“ (1427) stellte er das Rechnen mit Dezimalbrüchen umfassend dar und beschrieb ein allgemeines Verfahren zum Ziehen n-ter Wurzeln.

Auch danach riss die Tradition nicht ab. In Istanbul richtete Taqi ad-Din 1577 eine Sternwarte ein, die allerdings schon 1580 wieder abgerissen wurde. Im Maghreb verwendeten Mathematiker wie al-Qalasadi (1412–1486) eine Kurzschrift aus arabischen Buchstaben für die Unbekannte, ihre Potenzen und die Gleichheit, einen Schritt hin zur symbolischen Algebra.

Wichtige Persönlichkeiten

• Muhammad al-Chwarizmi (ca. 780–850): erstes Lehrbuch der Algebra, Rechenbuch über die indischen Ziffern, astronomische Tafeln
• Thabit ibn Qurra (826–901): Übersetzer, Regel für befreundete Zahlen, Beweise zu al-Chwarizmis Lösungsverfahren
• Abu Kamil (um 850–930): Algebra mit irrationalen Koeffizienten, Vorbild für Leonardo von Pisa
• Ibrahim ibn Sinan (908–946): vereinfachter Beweis der Parabelquadratur, Theorie der Sonnenuhren
• Abu l-Wafa (940–998): Winkelfunktionen und Additionstheorem, sphärischer Sinussatz, Konstruktionen für Handwerker
• Abu Bakr al-Karadschi (ca. 953–1029): Rechnen mit Polynomen, Binomialkoeffizienten, frühe Form der Induktion
• Ibn al-Haitham (ca. 965–1040): Optik, Summe der vierten Potenzen, Alhazensches Problem
• Al-Biruni (973–1048): Trigonometrie, Erdvermessung, Bericht über die Wissenschaft Indiens
• Omar Chayyam (1048–1131): kubische Gleichungen mit Kegelschnitten, Kalenderreform, Parallelenpostulat
• Nasir ad-Din at-Tusi (1201–1274): Trigonometrie als eigenes Fach, Observatorium von Maragha
• Kamal ad-Din al-Farisi (1267–1319): Optik und Regenbogen, befreundete Zahlen, Primfaktorzerlegung
• Dschamschid al-Kaschi (um 1380–1429): Dezimalbrüche, π auf 16 Stellen, Wurzelziehen

Zeitleiste der Mathematik in der islamischen Welt

1. 762 Kalif al-Mansur gründet Bagdad als Hauptstadt des Abbasidenreichs.
2. um 770 Ein indisches Astronomiewerk nach Brahmagupta erreicht Bagdad und wird als „Sindhind“ übersetzt.
3. um 825 Al-Chwarizmi verfasst sein Lehrbuch der Algebra und ein Rechenbuch über die indischen Ziffern.
4. 9. Jh. Euklid, Archimedes, Apollonios und Ptolemäus werden ins Arabische übersetzt; Thabit ibn Qurra findet seine Regel für befreundete Zahlen.
5. 952/953 Al-Uqlidisi schreibt in Damaskus das älteste erhaltene arabische Buch über das indische Rechnen, mit den ersten bekannten Dezimalbrüchen.
6. um 1000 Al-Karadschi begründet das Rechnen mit Polynomen; Ibn al-Haitham arbeitet in Kairo an Optik und Geometrie.
7. um 1070 Omar Chayyam ordnet die kubischen Gleichungen und löst sie mit Kegelschnitten.
8. 1144 As-Samaw’al vollendet sein Algebrabuch al-Bahir.
9. 1258/1259 Die Mongolen zerstören Bagdad; in Maragha entsteht das Observatorium unter at-Tusi.
10. 1424 Al-Kaschi berechnet in Samarkand π auf 16 Dezimalstellen.
11. 1449 Ulugh Beg wird ermordet; die Samarkander Schule verliert ihren Förderer.

Erbe: Wie das Wissen nach Europa kam

Im 12. Jahrhundert begann im lateinischen Europa eine eigene Übersetzungswelle. Ihr wichtigster Schauplatz war Toledo, das 1085 von Kastilien erobert worden war und reiche arabische Bibliotheken besaß. Robert von Chester übertrug 1145 al-Chwarizmis Algebra ins Lateinische, Gerhard von Cremona übersetzte unter anderem den „Almagest“ und Euklids „Elemente“ aus dem Arabischen. Über den Mittelmeerhandel lernte auch Leonardo von Pisa die arabische Rechenkunst kennen; sein Liber Abaci (1202) machte die indisch-arabischen Ziffern in Italien bekannt. Ibn al-Haithams Optik wirkte in lateinischer Übersetzung bis zu Johannes Kepler.

Viele Fachwörter erinnern noch heute an diesen Weg: Algebra (von al-dschabr), Algorithmus (von al-Chwarizmi), Ziffer und zero (von sifr), dazu Begriffe der Astronomie wie Zenit und Azimut. Selbst der Sinus ist ein Übersetzungsunfall: Das arabische dschiba, eine Lautumschrift des indischen jiva („Bogensehne“), wurde ohne Vokale geschrieben und später als dschaib („Bausch, Busen“) gelesen. Die lateinische Übersetzung dieses Wortes lautet sinus.

Am Ende der Epoche stand das Wissen der islamischen Welt den Gelehrten Europas in lateinischer Sprache zur Verfügung. Die italienischen Algebraiker der Mathematik des 16. Jahrhunderts knüpften direkt an al-Chwarizmis Gleichungstypen an, als sie die kubische Gleichung lösten. Damit vollendeten sie genau die Aufgabe, die Omar Chayyam offengelassen hatte.

Häufige Fragen

Was versteht man unter arabischer Mathematik?

Gemeint ist die Mathematik, die zwischen etwa 750 und 1450 in den Ländern unter islamischer Herrschaft in arabischer Sprache betrieben wurde, von Spanien bis Zentralasien. Viele ihrer Vertreter waren Perser oder gehörten anderen Religionen an; deshalb sprechen Fachleute meist von der Mathematik der islamischen Welt.

Warum heißen unsere Ziffern „arabische Ziffern“?

Die Ziffern 0 bis 9 und das Stellenwertsystem stammen aus Indien. Europa lernte sie aber über arabische Rechenbücher kennen, vor allem in der westarabischen Form, die in Nordafrika und Spanien üblich war. Genauer ist deshalb die Bezeichnung „indisch-arabische Ziffern“.

Wer hat die Algebra erfunden?

Gleichungen lösten schon Babylonier, Griechen, Inder und Chinesen. Als eigenständige Disziplin mit allgemeinen Verfahren und Beweisen begründete sie jedoch Muhammad al-Chwarizmi um 825 in Bagdad. Das Wort „Algebra“ stammt aus dem Titel seines Buches.

Quellen und weiterführende Literatur

• J. Lennart Berggren: Episodes in the Mathematics of Medieval Islam, 2. Auflage, Springer, New York 2016.
• Dimitri Gutas: Greek Thought, Arabic Culture. The Graeco-Arabic Translation Movement in Baghdad and Early ʿAbbāsid Society, Routledge, London 1998.
• Roshdi Rashed: The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra, Kluwer, Dordrecht 1994.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Arabic mathematics, forgotten brilliance? (englisch)