Andrew Wiles

Sir Andrew Wiles (geboren 1953 in Cambridge) ist ein britischer Zahlentheoretiker. Er bewies 1994 den Großen Fermatschen Satz, eine Behauptung, die Pierre de Fermat um 1637 an den Rand eines Buches geschrieben hatte. Der Satz ist so einfach formuliert, dass ihn Schülerinnen und Schüler verstehen. Trotzdem scheiterten daran mehr als 350 Jahre lang die besten Köpfe der Mathematik. Für den Beweis erhielt Wiles unter anderem 1997 den Wolfskehl-Preis und 2016 den Abelpreis.

Seine Geschichte ist auch ein Stück Spannung: ein Kindheitstraum, sieben Jahre Arbeit im Verborgenen, ein öffentlicher Triumph im Juni 1993, dann eine Lücke im Beweis und schließlich die Rettung ein gutes Jahr später.

Ein Kindheitstraum: Das Rätsel aus der Bibliothek

Als Andrew Wiles etwa zehn Jahre alt war, fand er in einer öffentlichen Bibliothek ein Buch des Mathematikers Eric Temple Bell mit dem Titel The Last Problem. Es handelte von Fermats Letztem Satz. Wiles erinnerte sich später, wie ihn begeisterte, dass er die Frage verstand und doch niemand die Antwort kannte. Von da an wollte er dieses Problem lösen.

Der Ausgangspunkt ist der Satz des Pythagoras. Er liefert ganzzahlige Lösungen der Gleichung x² + y² = z², zum Beispiel 3² + 4² = 5² (9 + 16 = 25) oder 5² + 12² = 13² (25 + 144 = 169). Fermat fragte, was passiert, wenn man die Hochzahl 2 durch 3, 4, 5 oder eine noch größere Zahl ersetzt.

Was für Quadrate nach dem Satz des Pythagoras ständig gelingt, geht für Würfel, vierte Potenzen und alle höheren nie. Zwei Würfel aus x³ und y³ Bausteinen lassen sich nie zu einem einzigen größeren Würfel aus z³ Bausteinen umbauen.

Ausbildung und Laufbahn

Wiles besuchte Schulen in Cambridge und studierte ab 1971 am Merton College in Oxford, wo er 1974 den Bachelor erwarb. Für die Doktorarbeit wechselte er nach Cambridge zu John Coates, einem Spezialisten für elliptische Kurven, den Kurven, die später im Beweis die Hauptrolle spielen. Die Promotion folgte 1980. Zusammen mit Coates gelang ihm 1977 ein Resultat zu einer Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer. Nach Stationen in Harvard, Bonn und am Institute for Advanced Study wurde er 1982 Professor in Princeton, 1989 Mitglied der Royal Society.

Ein Rätsel von 1637 und 350 Jahre vergebliche Versuche

Fermat schrieb um 1637 neben eine Aufgabe in seinem Exemplar der Arithmetica des Diophant, er habe einen wahrhaft wunderbaren Beweis gefunden, doch der Rand sei zu schmal dafür. Die Notiz wurde erst 1670 bekannt, als sein Sohn Samuel die Ausgabe mit den Randbemerkungen herausgab.

Spezialfälle wurden nach und nach gelöst. Fermat selbst zeigte, dass die vierte Potenz nicht geht, mit seinem Verfahren des unendlichen Abstiegs. Leonhard Euler bewies 1770 den Fall n = 3, Peter Gustav Lejeune Dirichlet und Adrien-Marie Legendre um 1825 den Fall n = 5. Sophie Germain fand um 1820 erste Aussagen für ganze Gruppen von Hochzahlen, und Ernst Kummer führte in den 1840er-Jahren neue Zahlen ein, mit denen viele Hochzahlen auf einmal erledigt waren. Bis 1993 konnten Rechner den Satz für alle Hochzahlen bis zu einigen Millionen bestätigen. Einen Beweis für alle ergab das nicht.

Die Brücke: Elliptische Kurven und Modulformen

Die entscheidende Verbindung entstand aus einem scheinbar fernen Gebiet. Eine elliptische Kurve ist die Lösungsmenge einer Gleichung wie y² = x³ + ax + b. Man kann zählen, wie viele Lösungen sie modulo einer Primzahl hat, und erhält eine Zahlenfolge. Modulformen sind dagegen Funktionen mit außergewöhnlich vielen Symmetrien, die sich ebenfalls durch Zahlenfolgen beschreiben lassen. Yutaka Taniyama und Goro Shimura vermuteten in den 1950er-Jahren, dass beide Welten zusammenpassen: Zu jeder elliptischen Kurve über den rationalen Zahlen gehört eine Modulform mit derselben Folge. Diese Taniyama-Shimura-Vermutung galt als kaum zu beweisen.

1984 bemerkte Gerhard Frey, dass eine Lösung der Fermat-Gleichung eine so seltsame elliptische Kurve erzeugen würde, dass sie nicht zu einer Modulform gehören könnte. Das hieße: Wäre die Taniyama-Shimura-Vermutung wahr, gäbe es keine solche Lösung. Jean-Pierre Serre präzisierte den Zusammenhang, und Kenneth Ribet bewies ihn 1986. Fermats Satz war damit auf die Vermutung zurückgeführt. Für Wiles war das der Moment, in dem sich sein Kindheitstraum in ein ernsthaftes Forschungsprojekt verwandelte.

Sieben Jahre im Verborgenen

Wiles beschloss, allein daran zu arbeiten. Er sprach mit kaum jemandem darüber, weil ein Problem von solcher Berühmtheit Neugier und Druck erzeugt hätte. Er benutzte moderne Werkzeuge der Zahlentheorie: Modulformen, sogenannte Galois-Darstellungen (sie beschreiben Symmetrien von Gleichungen im Sinne von Évariste Galois) und die Deformationstheorie, die Barry Mazur entwickelt hatte. Dazu kamen seine eigenen Methoden aus der Iwasawa-Theorie. Er musste nicht die ganze Vermutung beweisen, sondern nur den Fall der „halbstabilen“ elliptischen Kurven, der für Fermats Satz genügt.

Juni 1993: Triumph und Lücke

Vom 21. bis 23. Juni 1993 hielt Wiles am Isaac-Newton-Institut in Cambridge drei Vorträge. Am Ende des letzten kündigte er den Beweis an; die Presse berichtete weltweit. Beim Prüfen des Manuskripts von rund 200 Seiten entdeckten Gutachter jedoch einen Fehler in einem technischen Teilargument. Wiles versuchte monatelang, die Lücke zu schließen. Anfang 1994 holte er seinen früheren Doktoranden Richard Taylor zu Hilfe.

Am 19. September 1994 kam die Wende: Wiles erkannte, dass sich ein älterer, von ihm schon verworfener Ansatz mit dem neueren kombinieren ließ, sodass beide Teile jeweils die Schwäche des anderen ausglichen. Er beschrieb den Augenblick später als überwältigend. Die beiden Arbeiten, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem von Wiles und eine gemeinsame Arbeit von Taylor und Wiles, erschienen 1995 in den Annals of Mathematics. 2001 vollendeten Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond und Richard Taylor den Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung für alle elliptischen Kurven.

Ehrungen

Wiles erhielt unter anderem den Wolf-Preis (1995/96), den Wolfskehl-Preis (1997), die Wahl zum Ritter (Knight Commander of the Order of the British Empire) im Jahr 2000, den Abelpreis 2016 und die Copley-Medaille der Royal Society 2017. Seit 2011 forscht er in Oxford; 2018 wurde er dort der erste Inhaber des Regius-Lehrstuhls für Mathematik.

Zeitleiste: Andrew Wiles’ Leben

1. 1953 Geburt am 11. April in Cambridge
2. 1963 Mit etwa zehn Jahren Begegnung mit Fermats Letztem Satz
3. 1980 Promotion bei John Coates in Cambridge
4. 1982 Professor in Princeton
5. 1986 Ribet beweist den Zusammenhang; Wiles beginnt seine Geheimarbeit
6. 1993 Vorträge in Cambridge (21. bis 23. Juni); danach Entdeckung der Lücke
7. 1994 Korrektur mit Richard Taylor (19. September)
8. 1995 Veröffentlichung in den Annals of Mathematics
9. 1997 Wolfskehl-Preis
10. 2016 Abelpreis

Bedeutung heute

Der eigentliche Gewinn des Beweises ist die Brücke zwischen elliptischen Kurven und Modulformen. Sie ist ein wichtiger Spezialfall des Langlands-Programms, eines großen Netzes von Vermutungen, das Zahlentheorie und Analysis verbindet. Wiles verfasste auch die offizielle Beschreibung eines weiteren Problems, der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, die zu den sieben Millennium-Problemen des Clay-Instituts gehört. Ein anderes davon, die Poincaré-Vermutung, bewies Grigori Perelman.

Der Beweis stützt sich stark auf die algebraische Geometrie, die Alexander Grothendieck im 20. Jahrhundert umgestaltete. Einen Überblick über das Jahrhundert gibt der Artikel zur Mathematik des 20. Jahrhunderts; für die Grundlagen hilft die Seite zu Potenzen und Exponenten.

Quellen und weiterführende Literatur

• Simon Singh: Fermats letzter Satz. Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels. Hanser, München 1998.
• Andrew Wiles: Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem. In: Annals of Mathematics 141 (1995), S. 443–551.
• Richard Taylor, Andrew Wiles: Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras. In: Annals of Mathematics 141 (1995), S. 553–572.
• Eric Temple Bell: The Last Problem. Simon & Schuster, New York 1961.
• MacTutor History of Mathematics: Andrew Wiles (englisch)