Komplexe Zahlen: Rechnen, Polarform, Wurzeln und i

Eine komplexe Zahl ist eine Zahl der Form $a + b i$ mit zwei reellen Zahlen a und b. Dabei ist i die imaginäre Einheit, eine neue Zahl mit der Eigenschaft $i^{2} = - 1$ . Sie wurde erfunden, weil Gleichungen wie $x^{2} = - 1$ in den reellen Zahlen keine Lösung haben. Mit den komplexen Zahlen hat jede solche Gleichung eine.

Du lernst hier, wie du mit komplexen Zahlen rechnest, wie du sie als Punkte in einer Ebene zeichnest und wie Multiplizieren zu einer Drehung wird. Am Ende lösen wir mit ihnen quadratische Gleichungen mit negativer Diskriminante. Vorkenntnisse sind die Diskriminante und etwas Trigonometrie (Einheitskreis).

Die imaginäre Einheit

Kein reelles Quadrat ist negativ. Deshalb legt man fest: i ist eine Zahl mit $i^{2} = - 1$ . Mit ihr bilden die komplexen Zahlen alle Ausdrücke $a + b i$ . Die Zahl a heißt Realteil ( $R e z$ ), die Zahl b Imaginärteil ( $I m z$ ). Der Imaginärteil ist die Zahl b selbst, nicht $b i$ .

$z = 3 + 2 i$ hat Realteil 3 und Imaginärteil 2.
$7$ ist eine reelle Zahl (Imaginärteil 0), $5 i$ ist rein imaginär (Realteil 0).
Die Menge aller komplexen Zahlen heißt $ℂ$ . Sie enthält $ℝ$ .

Die Potenzen von i wiederholen sich nach vier Schritten: $i^{1} = i$ , $i^{2} = - 1$ , $i^{3} = - i$ , $i^{4} = 1$ , danach beginnt es von vorn. Um $i^{27}$ zu bestimmen, teilst du 27 durch 4: Es ist $27 = 4 \cdot 6 + 3$ , also $i^{27} = i^{3} = - i$ .

Rechnen mit komplexen Zahlen

Du rechnest wie mit Variablen und ersetzt am Ende $i^{2}$ durch $- 1$ .

Konjugierte Zahl und Division

Die konjugierte Zahl $\bar{z}$ von $z = a + b i$ ist $a - b i$ . Das Vorzeichen des Imaginärteils wird gewechselt. Multiplizierst du eine Zahl mit ihrer Konjugierten, wird das Ergebnis reell:

z \cdot \bar{z} = (a + b i) (a - b i) = a^{2} + b^{2}

Das nutzt du beim Dividieren: Du erweiterst den Bruch mit der Konjugierten des Nenners, wie beim Rationalmachen eines Nenners mit Wurzel.

Betrag und Gaußsche Zahlenebene

Weil eine komplexe Zahl aus zwei reellen Zahlen besteht, kannst du sie als Punkt (a|b) zeichnen. Die waagerechte Achse heißt reelle Achse, die senkrechte imaginäre Achse. Diese Ebene nennt man Gaußsche Zahlenebene. Die konjugierte Zahl liegt spiegelbildlich zur reellen Achse.

Die Zahl z = 3 + 2i in der Gaußschen Zahlenebene: Realteil auf der waagerechten, Imaginärteil auf der senkrechten Achse. Der Betrag |z| = √13 ≈ 3,61 ist der Abstand zum Ursprung, die konjugierte Zahl z̄ = 3 − 2i liegt an der reellen Achse gespiegelt.

Der Betrag $| z |$ ist der Abstand des Punktes zum Ursprung. Nach dem Satz des Pythagoras ist $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ . Es gilt $| z |^{2} = z \cdot \bar{z}$ . Die Addition verhält sich wie bei Pfeilen: Du hängst die Pfeile aneinander (Vektoren addieren).

Die zweite Zeile zeigt eine allgemeine Regel: $| z \cdot w | = | z | \cdot | w |$ . Beträge multiplizieren sich.

Polarform und Exponentialform

Einen Punkt kannst du auch durch seinen Abstand r vom Ursprung und den Winkel $φ$ zur positiven reellen Achse angeben. Dann ist $r = | z |$ , und $φ$ heißt Argument von z. Mit $a = r \cos φ$ und $b = r \sin φ$ folgt die Polarform.

Die zweite Schreibweise folgt aus der Eulerschen Formel $e^{i φ} = \cos φ + i \sin φ$ (Eulersche Formel). Für $φ = π$ ergibt sie $e^{i π} = - 1$ , die berühmte Eulersche Identität $e^{i π} + 1 = 0$ .

Betrag und Winkel einiger komplexer Zahlen
Zahl	Betrag r	Winkel $φ$
$1$	1	0°
$i$	1	90°
$- 1$	1	180°
$- i$	1	270°
$1 + i$	$\sqrt{2}$	45°
$- 1 + i$	$\sqrt{2}$	135°
$- 1 - i$	$\sqrt{2}$	225°
$1 - i$	$\sqrt{2}$	315°

Multiplizieren als Drehstreckung

In Polarform wird die Multiplikation einfach. Mit den Additionstheoremen für Sinus und Kosinus folgt $(\cos α + i \sin α) (\cos β + i \sin β) = \cos (α + β) + i \sin (α + β)$ . Also gilt:

Multiplizieren als Drehstreckung: (2 + i)(1 + 2i) = 5i. Die Beträge √5 und √5 werden multipliziert (Streckung auf 5), die Winkel 26,6° und 63,4° werden addiert (Drehung auf 90°).

Das Multiplizieren mit einer komplexen Zahl ist also eine Drehstreckung: Der Punkt wird um das Argument gedreht und um den Betrag gestreckt. Das Multiplizieren mit i (Betrag 1, Winkel 90°) ist eine reine Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn. Aus $2 + i$ wird $i \cdot (2 + i) = - 1 + 2 i$ .

Potenzen und die Formel von Moivre

Potenzieren ist wiederholtes Multiplizieren. Dabei wird der Betrag potenziert und der Winkel mit dem Exponenten multipliziert (Abraham de Moivre).

Auch die Potenzen von i von oben folgen daraus: i hat den Winkel 90°, also hat $i^{n}$ den Winkel $n \cdot 90 °$ .

Wurzeln und Einheitswurzeln

Die Gleichung $z^{n} = w$ hat in den komplexen Zahlen genau n Lösungen. Sie liegen auf einem Kreis um den Ursprung mit dem Radius $\sqrt[n]{r}$ und haben den Winkelabstand $\frac{360 °}{n}$ . Sie bilden die Ecken eines regelmäßigen n-Ecks.

Für $w = 1$ heißen die Lösungen von $z^{n} = 1$ die Einheitswurzeln. Sie liegen auf dem Einheitskreis. Die Summe aller n-ten Einheitswurzeln ist 0, denn das n-Eck hat seinen Schwerpunkt im Ursprung.

Die sechs Lösungen von z⁶ = 1 bilden ein regelmäßiges Sechseck auf dem Einheitskreis. Jede zweite Ecke (z₀, z₂, z₄) ergibt die drei Lösungen von z³ = 1.

Quadratische Gleichungen ohne reelle Lösung

Bei $a x^{2} + b x + c = 0$ gibt die Diskriminante $D = b^{2} - 4 a c$ die Zahl der reellen Lösungen an. Ist $D < 0$ , schneidet die Parabel die x-Achse nicht. In den komplexen Zahlen gibt es trotzdem zwei Lösungen.

x_{1,2} = \frac{- b \pm i \sqrt{- D}}{2 a} für D < 0

Sie sind zueinander konjugiert komplex: Hat eine Gleichung mit reellen Koeffizienten die Lösung $u + v i$ , dann auch $u - v i$ .

Diese Rechnung zeigt dir der Rechner für quadratische Gleichungen auch für negative Diskriminanten an. Für beliebige Rechnungen gibt es den Rechner für komplexe Zahlen.

Der Fundamentalsatz der Algebra

Ein Polynom hat in den reellen Zahlen oft weniger Nullstellen, als sein Grad angibt. In den komplexen Zahlen ist das anders.

Den ersten brauchbaren Beweis gab Carl Friedrich Gauß in seiner Doktorarbeit von 1799.

Typische Fehler

Übungen

Mehr Aufgaben findest du unter Komplexe Zahlen: Aufgaben.

Geschichte: von Cardano bis Gauß

Die Geschichte beginnt mit kubischen Gleichungen. Gerolamo Cardano suchte in seiner Ars magna (1545) zwei Zahlen mit der Summe 10 und dem Produkt 40. Er fand $5 + \sqrt{- 15}$ und $5 - \sqrt{- 15}$ und rechnete nach: Das Produkt ist $25 + 15 = 40$ . Er nannte das Ergebnis spitzfindig und nutzlos. Rafael Bombelli zeigte 1572 in seiner L’Algebra, dass solche Ausdrücke Regeln gehorchen und ein reelles Ergebnis liefern können, nämlich bei $x^{3} = 15 x + 4$ die Lösung 4.

René Descartes nannte solche Wurzeln in seiner La Géométrie (1637) „imaginär“. Leonhard Euler führte 1777 das Zeichen i ein (gedruckt 1794) und veröffentlichte 1748 seine Formel $e^{i φ} = \cos φ + i \sin φ$ .

Wirklich verstanden wurden die komplexen Zahlen erst, als man sie zeichnen konnte. Der dänische Landvermesser Caspar Wessel trug die Idee 1797 der Dänischen Akademie vor (gedruckt 1799), Jean-Robert Argand veröffentlichte sie 1806, und Carl Friedrich Gauß beschrieb sie spätestens 1811 in einem Brief an Bessel. Mit seiner Arbeit von 1831 und dem Wort „komplexe Zahl“ setzte sich die Darstellung durch. 1833 begründete William Rowan Hamilton die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen. Sein Versuch, Zahlen für den Raum zu finden, führte zu den Quaternionen.

Häufige Fragen

Ist die Wurzel aus −1 gleich i oder −i?

Beide, im Sinne der Gleichung: $i^{2} = - 1$ und ${(- i)}^{2} = - 1$ . Man vereinbart $\sqrt{- 1} = i$ , aber $x^{2} = - 1$ hat die Lösungen $x = i$ und $x = - i$ .

Warum kann man komplexe Zahlen nicht der Größe nach ordnen?

Eine Ordnung müsste mit der Addition und Multiplikation verträglich sein. Dann wäre jedes Quadrat größer oder gleich 0, aber $i^{2} = - 1$ ist negativ. Du kannst nur Beträge vergleichen.

Wozu braucht man komplexe Zahlen?

Sie vereinfachen Rechnungen mit Drehungen und Schwingungen, zum Beispiel in der Elektrotechnik und der Signalverarbeitung. In der Quantenmechanik sind sie unverzichtbar. Außerdem machen sie Gleichungen wie den Fundamentalsatz einfach: Jede Polynomgleichung hat Lösungen.

Quellen und weiterführende Literatur

Wikipedia: Komplexe Zahl
MacTutor History of Mathematics: Caspar Wessel (englisch)
MacTutor History of Mathematics: Jean-Robert Argand (englisch)
MacTutor History of Mathematics: Rafael Bombelli (englisch)
Paul J. Nahin: An Imaginary Tale: The Story of √−1, Princeton University Press, Princeton 1998.