Pythagoras von Samos

Pythagoras von Samos (um 570 bis um 495 v. Chr.) war ein griechischer Philosoph und religiöser Lehrer, der in Kroton im Süden Italiens eine einflussreiche Gemeinschaft gründete. Jedes Schulkind kennt seinen Namen durch den Satz des Pythagoras. Ausgerechnet diesen Satz kannten babylonische Rechner aber schon mehr als tausend Jahre früher, und ob Pythagoras ihn je bewiesen hat, weiß niemand.

Bedeutend ist Pythagoras vor allem als Ausgangspunkt einer Denkschule. Die Pythagoreer suchten in Zahlen und Zahlenverhältnissen den Schlüssel zur Ordnung der Welt, von den Intervallen der Musik bis zum Bau des Kosmos. Aus dieser Haltung gingen die frühe Zahlentheorie, die Entdeckung inkommensurabler Strecken und die bis heute wirksame Überzeugung hervor, dass sich die Natur mathematisch beschreiben lässt. Da Pythagoras selbst nichts Schriftliches hinterließ, lässt sich sein persönlicher Anteil allerdings kaum von dem seiner Schüler trennen.

Quellenlage: Was wir über Pythagoras wirklich wissen

Pythagoras hat, soweit bekannt, keine Zeile geschrieben. Die wenigen frühen Zeugnisse sind kurz und oft spöttisch. Der Dichterphilosoph Xenophanes macht sich über die Lehre von der Seelenwanderung lustig: Pythagoras habe einen geschlagenen Hund verteidigt, weil er in dessen Jaulen die Stimme eines verstorbenen Freundes erkannt habe. Heraklit von Ephesos nennt ihn einen Vielwisser ohne Verstand. Einige Jahrzehnte später erwähnt der Geschichtsschreiber Herodot ihn respektvoll als bedeutenden Weisheitslehrer der Griechen.

„Vielwisserei lehrt nicht, Verstand zu haben. Sonst hätte sie es Hesiod gelehrt und Pythagoras, ebenso Xenophanes und Hekataios.“

Auch die großen Philosophen des 4. Jahrhunderts v. Chr. halten Abstand. Platon nennt Pythagoras nur ein einziges Mal, als Begründer einer besonderen Lebensweise. Aristoteles spricht fast immer von den „sogenannten Pythagoreern“ und schreibt deren Lehren der Gruppe zu, nicht ihrem Gründer. Die ausführlichen Lebensbeschreibungen von Diogenes Laertios, Porphyrios und Iamblichos entstanden erst im 3. und 4. Jahrhundert n. Chr. Sie zeichnen Pythagoras als Wundertäter und Halbgott und schreiben ihm großzügig alles zu, was spätere Pythagoreer herausgefunden hatten.

Die Forschung ist deshalb bis heute uneins. Walter Burkert vertrat 1962 die einflussreiche These, Pythagoras sei in erster Linie ein religiöser Lehrer gewesen und die Mathematik sei erst bei späteren Pythagoreern wie Philolaos und Archytas greifbar. Leonid Zhmud hält dagegen, dass schon Pythagoras selbst mathematisch gearbeitet habe. Sicher ist nur: Wer „Pythagoras“ sagt, meint in der Mathematikgeschichte meist die Schule, die seinen Namen trägt.

Leben: Von Samos nach Kroton

Herkunft und Lehrjahre

Pythagoras wurde um 570 v. Chr. auf der Insel Samos vor der kleinasiatischen Küste geboren. Sein Vater Mnesarchos war nach einigen Quellen Kaufmann, nach anderen Gemmenschneider. Als Lehrer wird mehrfach der Denker Pherekydes von Syros genannt. Spätere Autoren lassen ihn außerdem Thales von Milet und dessen Schüler Anaximander besuchen, doch diese Begegnungen sind nicht belegt.

Die Biografen der Spätantike schicken Pythagoras auf jahrzehntelange Bildungsreisen nach Ägypten und Babylon, wo er von Priestern Geometrie und Zahlenkunde gelernt haben soll. Iamblichos erzählt sogar, er sei als Gefangener der Perser nach Babylon gelangt. Solche Reisen sind möglich, aber nicht nachweisbar. Sie passen zu dem antiken Bedürfnis, griechische Weisheit auf die ehrwürdigen Kulturen des Orients zurückzuführen. Dass die Pythagoreer babylonisches Wissen kannten, ist dagegen gut denkbar, denn Samos hatte enge Handelskontakte in den Osten.

Die Gemeinschaft in Kroton

Um 538 v. Chr. riss Polykrates die Herrschaft über Samos an sich. Pythagoras verließ die Insel einige Jahre später und ließ sich um 530 v. Chr. in Kroton nieder, einer griechischen Kolonie an der Küste Kalabriens (heute Crotone). Dort gewann er durch Vorträge rasch Anhänger, darunter Angehörige der städtischen Oberschicht und auch Frauen; als bekannteste gilt Theano. Aus diesem Kreis entstand ein Bund, der zugleich Lebensgemeinschaft, Kultverein und politische Gruppierung war und in mehreren Städten Unteritaliens Einfluss gewann.

Vertreibung, Tod und das Ende der Bünde

Nach dem Sieg Krotons über die Nachbarstadt Sybaris im Jahr 510 v. Chr. wuchsen die inneren Spannungen. Ein Aufstand unter dem Adligen Kylon richtete sich gegen den Einfluss der Pythagoreer, und Pythagoras zog nach Metapont am Golf von Tarent. Dort starb er nach der Überlieferung um 495 v. Chr.; noch Cicero ließ sich in Metapont den Ort zeigen, an dem Pythagoras gestorben war. Um die Mitte des 5. Jahrhunderts v. Chr. kam es in mehreren Städten zu gewaltsamen Erhebungen. Die Versammlungshäuser der Pythagoreer wurden niedergebrannt, viele Mitglieder getötet oder vertrieben. Überlebende wie Philolaos gingen nach Griechenland, wo sie die Lehre weitergaben. Im 4. Jahrhundert v. Chr. erlebte der Pythagoreismus in Tarent unter dem Mathematiker Archytas noch einmal eine Blüte.

Die pythagoreische Gemeinschaft: Regeln, Schweigen und zwei Lager

Das Leben im Bund folgte strengen Vorschriften. Neue Mitglieder sollen jahrelang geschwiegen und nur zugehört haben. Die Lehre wurde mündlich weitergegeben und sollte Außenstehenden verborgen bleiben. Ein wichtiger Bestandteil waren die Akusmata („Gehörtes“), kurze Merksprüche mit oft rätselhaftem Inhalt. Überliefert sind etwa Gebote, keine Bohnen zu essen, nicht mit einem Messer im Feuer zu stochern, nicht über einen Waagebalken zu steigen und beim Anziehen zuerst den rechten Schuh zu nehmen. Manche Regeln wurden schon in der Antike symbolisch gedeutet, etwa der Waagebalken als Mahnung, das rechte Maß nicht zu überschreiten. Das Bohnenverbot geht vermutlich auf Pythagoras selbst zurück, seine Begründung ist bis heute unklar.

Im Mittelpunkt der religiösen Lehre stand die Seelenwanderung: Die unsterbliche Seele wird nach dem Tod in neuen Körpern wiedergeboren, auch in Tieren. Daraus erklärt sich die Zurückhaltung beim Fleischessen, über deren Umfang die Quellen allerdings widersprüchlich berichten.

Nach dem Tod des Gründers spaltete sich die Bewegung in zwei Lager. Die Akusmatiker hielten sich an die überlieferten Merksprüche und die religiöse Praxis. Die Mathematiker (von griechisch mathēmata, „Lerngegenstände“) beriefen sich auf die wissenschaftlichen Lehren und suchten nach Begründungen. Beide Gruppen beanspruchten, die wahren Erben des Pythagoras zu sein. Der Name der zweiten Gruppe zeigt, dass mathēmata schon früh für die Lehrfächer Zahl, Geometrie, Sternkunde und Musik stand; von diesem Wort leitet sich unser Begriff „Mathematik“ ab.

„Alles ist Zahl“: Die pythagoreische Zahlenlehre

Die Formel „Alles ist Zahl“ stammt nicht wörtlich von Pythagoras. Sie fasst zusammen, was Aristoteles über die Pythagoreer berichtet: Sie hätten die Prinzipien der Zahlen für die Prinzipien aller Dinge gehalten und den ganzen Himmel als Harmonie und Zahl verstanden. Eine „Zahl“ (arithmos) war für die Griechen eine Vielheit von Einheiten, also eine natürliche Zahl ab 2; die Eins galt meist als Ursprung der Zahlen, nicht selbst als Zahl.

Gerade und ungerade, Grenze und Unbegrenztes

Aristoteles überliefert eine pythagoreische Tafel von zehn Gegensatzpaaren, darunter Grenze und Unbegrenztes, ungerade und gerade, Eines und Vieles, rechts und links, männlich und weiblich. Die ungeraden Zahlen standen dabei auf der Seite der Grenze und des Männlichen, die geraden auf der Seite des Unbegrenzten und des Weiblichen. Die Fünf galt als Zahl der Ehe, weil sie die erste weibliche Zahl (2) mit der ersten männlichen Zahl (3) verbindet. Solche Zuordnungen wirken heute willkürlich, zeigen aber ein ernsthaftes Interesse an den Eigenschaften der Zahlen selbst.

Figurierte Zahlen

Die Pythagoreer legten Zahlen mit Steinchen in geometrischen Mustern aus. So entstehen Dreieckszahlen (1, 3, 6, 10, 15, …), Quadratzahlen (1, 4, 9, 16, …) und Rechteckzahlen (2, 6, 12, 20, …). Legt man an ein Quadrat aus Steinchen einen Winkelhaken, den Gnomon, an, entsteht das nächstgrößere Quadrat. Weil jeder Gnomon eine ungerade Anzahl von Steinchen enthält, folgt eine allgemeine Regel:

Die Tetraktys

Als heiligste Figur galt die Tetraktys, ein Dreieck aus zehn Punkten in vier Reihen (1 + 2 + 3 + 4 = 10). Die Pythagoreer sollen bei ihr geschworen haben. Ihre Bedeutung erklärt sich aus der Musiktheorie: In den Zahlen 1 bis 4 stecken die Verhältnisse 2 : 1, 3 : 2 und 4 : 3, also genau die Zahlenverhältnisse der wichtigsten Wohlklänge (siehe unten). Die Zehn galt deshalb als heilige Zahl, die das Wesen aller Zahlen in sich enthält.

Vollkommene und befreundete Zahlen

Eine Zahl heißt vollkommen, wenn sie gleich der Summe ihrer echten Teiler ist: 6 = 1 + 2 + 3 und 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Eine allgemeine Regel zur Erzeugung solcher Zahlen bewies später Euklid. Erst bei Iamblichos findet sich die Nachricht, Pythagoras habe das Zahlenpaar 220 und 284 als befreundete Zahlen gekannt: Die echten Teiler von 220 (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110) ergeben zusammen 284, die echten Teiler von 284 (1, 2, 4, 71, 142) ergeben 220. Ein Freund, so soll Pythagoras gesagt haben, sei ein anderes Ich, so wie diese beiden Zahlen. Ob das Zahlenpaar wirklich so alt ist, lässt sich nicht prüfen.

Der Satz des Pythagoras

Der Satz, der seinen Namen trägt, lautet: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse, der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, so groß wie die beiden Quadrate über den Katheten zusammen. Bezeichnet man die Katheten mit a und b und die Hypotenuse mit c, gilt

Auch die Umkehrung ist richtig: Erfüllen die Seiten eines Dreiecks diese Gleichung, so hat es einen rechten Winkel. Mehr dazu, wie man den Satz anwendet, steht im Lernbereich Geometrie.

Älter als Pythagoras: Babylon, Indien und China

Der Satz ist weit älter als sein Namensgeber. Babylonische Schreiber rechneten schon um 1800 v. Chr. mit ihm, wie Keilschrifttafeln aus altbabylonischer Zeit zeigen. Die Tafel YBC 7289 gibt die Diagonale eines Quadrats mit einem Näherungswert für √2 an, der erst in der sechsten Nachkommastelle abweicht. Die berühmte Tafel Plimpton 322 enthält Zahlenreihen, die sich als pythagoreische Tripel deuten lassen, etwa die Werte 119 und 169, die zusammen mit 120 ein Tripel bilden (119² + 120² = 169²). Mehr dazu im Artikel über die sumerische und babylonische Mathematik.

In Indien formulieren die Shulbasutras, Handbücher für den Bau von Opferaltären, den Satz in Worten: Die Schnur über der Diagonale eines Rechtecks erzeugt so viel Fläche wie die Schnüre über Länge und Breite zusammen (indische Mathematik). In China zeigt das Zhoubi suanjing eine Figur zum Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5. Das Werk wurde allerdings erst in der Han-Zeit zusammengestellt, sodass sich nicht sagen lässt, ob dieses Wissen älter als Pythagoras ist (chinesische Mathematik). Für Ägypten fehlt ein klarer Beleg. Die oft erzählte Geschichte von ägyptischen „Seilspannern“, die mit einer Zwölfknotenschnur rechte Winkel abgesteckt hätten, ist eine Vermutung des 19. Jahrhunderts.

Pythagoreische Tripel

Ganze Zahlen, die die Gleichung a² + b² = c² erfüllen, heißen pythagoreische Tripel. Der spätantike Gelehrte Proklos schreibt Pythagoras eine Regel zu, die von einer ungeraden Zahl n ausgeht:

Für n = 3, 5 und 7 entstehen die Tripel (3, 4, 5), (5, 12, 13) und (7, 24, 25). Eine zweite Regel, die mit geraden Zahlen arbeitet und zum Beispiel (8, 15, 17) liefert, schreibt Proklos Platon zu. Vielfache wie (6, 8, 10) sind ebenfalls Tripel, bringen aber nichts Neues; interessant sind die teilerfremden, sogenannten primitiven Tripel.

Beweise und Verallgemeinerungen

Der älteste erhaltene Beweis steht im ersten Buch der Elemente Euklids (Satz I.47, um 300 v. Chr.). Seither sind unzählige weitere hinzugekommen: Der Amerikaner Elisha Scott Loomis sammelte 1927 und in erweiterter Auflage 1940 über 360 verschiedene Beweise. Euklid verallgemeinerte den Satz auch selbst: Er gilt für beliebige zueinander ähnliche Figuren über den drei Seiten, etwa Halbkreise oder regelmäßige Fünfecke, nicht aber für beliebige, unähnliche Formen. Für Dreiecke ohne rechten Winkel bewies Euklid eine Erweiterung, die dem heutigen Kosinussatz der Trigonometrie entspricht.

Eine berühmte Frage ergibt sich, wenn man die Quadrate durch höhere Potenzen ersetzt. Pierre de Fermat behauptete im 17. Jahrhundert, dass die Gleichung aⁿ + bⁿ = cⁿ für n > 2 keine Lösung in positiven ganzen Zahlen hat. Bewiesen wurde das erst 1994 durch Andrew Wiles.

Geometrie der Pythagoreer: Winkelsummen, Flächen und regelmäßige Körper

Der Mathematikhistoriker Eudemos, ein Schüler des Aristoteles, schrieb den Pythagoreern den Beweis zu, dass die Winkel eines Dreiecks zusammen zwei rechte Winkel, also 180°, ergeben. Daraus folgt, dass die Innenwinkel eines n-Ecks zusammen (n − 2) · 180° messen und die Außenwinkel stets 360°. Ebenfalls pythagoreisch soll die Erkenntnis sein, dass sich die Ebene lückenlos nur mit drei Sorten gleicher regelmäßiger Vielecke parkettieren lässt: mit gleichseitigen Dreiecken, Quadraten und regelmäßigen Sechsecken.

Ein weiteres Arbeitsgebiet war die Flächenanlegung: Man konstruiert zu einer gegebenen Strecke ein Rechteck oder Quadrat mit vorgeschriebenem Flächeninhalt. Damit ließen sich Aufgaben lösen, die man heute als quadratische Gleichungen schreiben würde, etwa a(a − x) = x². Diese Gleichung beschreibt die Teilung einer Strecke im „stetigen Verhältnis“, später Goldener Schnitt genannt. Von den fünf regelmäßigen Körpern sollen die Pythagoreer Würfel, Tetraeder und Dodekaeder gekannt haben; Oktaeder und Ikosaeder kamen nach antiker Überlieferung erst durch Theaitetos hinzu. Als Erkennungszeichen diente ihnen das Pentagramm, der fünfzackige Stern im regelmäßigen Fünfeck.

Inkommensurabilität: Hippasos und die Grenzen der ganzen Zahlen

Zwei Strecken heißen kommensurabel, wenn es eine gemeinsame Maßeinheit gibt, die in beide ganzzahlig oft hineinpasst. Die pythagoreische Vorstellung, alle Größenverhältnisse ließen sich durch ganze Zahlen ausdrücken, setzte das stillschweigend voraus. Irgendwann im 5. Jahrhundert v. Chr. stellte sich heraus, dass das nicht stimmt: Seite und Diagonale eines Quadrats haben kein gemeinsames Maß. In heutiger Sprache: √2 ist keine Bruchzahl, sondern irrational.

Die Entdeckung wird mit dem Pythagoreer Hippasos von Metapont verbunden. Ob er sie am Quadrat oder am regelmäßigen Fünfeck machte, ist nicht überliefert. Der Mathematikhistoriker Kurt von Fritz plädierte für das Fünfeck, weil sich dort Diagonale und Seite in einem endlos wiederholbaren Muster gegenseitig messen. Die Folgen wurden lange dramatisiert: Von einer „Grundlagenkrise“, die die Pythagoreer erschüttert habe, sprechen die antiken Quellen nicht. Tatsächlich bauten Theodoros von Kyrene und Theaitetos die Lehre von den irrationalen Größen aus, und Eudoxos von Knidos schuf eine Proportionenlehre, die auch mit inkommensurablen Größen umgehen konnte.

Musik und Zahl: Intervalle am Monochord

Am nachhaltigsten wirkte die pythagoreische Verbindung von Zahl und Klang. Spannt man eine Saite über einen Resonanzkasten, ein sogenanntes Monochord, und teilt sie mit einem verschiebbaren Steg, so klingen bestimmte Längenverhältnisse besonders harmonisch:

• Oktave: Verhältnis 2 : 1 (die halbe Saite klingt eine Oktave höher)
• Quinte: Verhältnis 3 : 2 (zwei Drittel der Saite)
• Quarte: Verhältnis 4 : 3 (drei Viertel der Saite)

Quinte und Quarte zusammen ergeben die Oktave (3/2 · 4/3 = 2), ihr Unterschied ist der Ganzton 9 : 8. Diese drei Konsonanzen und ihre Zusammensetzungen waren für die Pythagoreer die einzigen echten Wohlklänge. Die große Terz mit dem Verhältnis 5 : 4 gehört nicht dazu; in der pythagoreischen Stimmung hat sie das Verhältnis 81 : 64. Ob Pythagoras die Verhältnisse selbst entdeckte, ist unsicher. Gut belegt sind sie bei Philolaos und Archytas, der auch das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel beschrieb.

Aus diesen Verhältnissen entstand die pythagoreische Stimmung, in der alle Töne durch reine Quinten gewonnen werden. Sie hat einen Schönheitsfehler: Zwölf reine Quinten übersteigen sieben Oktaven um einen kleinen Rest, das pythagoreische Komma.

Dieser Rest beschäftigte Musiktheoretiker über zwei Jahrtausende und führte schließlich zur gleichstufigen Stimmung heutiger Klaviere, die das Komma gleichmäßig auf alle Quinten verteilt.

Die Harmonie der Sphären

Die Pythagoreer übertrugen die musikalischen Zahlenverhältnisse auf den Himmel: Die Gestirne erzeugten bei ihrer Bewegung Töne, deren Abstände einer Tonleiter entsprächen. Dass wir diese Sphärenharmonie nicht hören, erklärten sie damit, dass wir sie von Geburt an ständig wahrnehmen. Aristoteles berichtet die Lehre und weist sie zurück. Im Mittelalter lebte sie als musica mundana fort, und noch Johannes Kepler suchte 1619 in seiner Harmonices mundi nach musikalischen Verhältnissen in den Planetenbahnen.

Zeitleiste: Pythagoras und die Pythagoreer

1. um 1800 v. Chr. Babylonische Tafeln wie Plimpton 322 und YBC 7289 zeigen Kenntnis des späteren „Satzes des Pythagoras“.
2. um 570 v. Chr. Geburt des Pythagoras auf Samos.
3. um 538 v. Chr. Polykrates wird Tyrann von Samos; einige Jahre später verlässt Pythagoras die Insel.
4. um 530 v. Chr. Ankunft in Kroton (Unteritalien) und Gründung der pythagoreischen Gemeinschaft.
5. 510 v. Chr. Kroton besiegt Sybaris; danach Aufstand unter Kylon gegen die Pythagoreer, Pythagoras geht nach Metapont.
6. um 495 v. Chr. Tod des Pythagoras, vermutlich in Metapont.
7. um 450 v. Chr. Gewaltsame Erhebungen gegen die Pythagoreer in Unteritalien; Überlebende wie Philolaos gehen nach Griechenland.
8. um 300 v. Chr. Euklids Elemente enthalten den ältesten erhaltenen Beweis des Satzes (I.47).
9. um 300 n. Chr. Iamblichos verfasst seine Pythagoras-Biografie, Hauptquelle vieler Legenden.

Bedeutung heute: Wo uns Pythagoras begegnet

Der Satz des Pythagoras ist eines der meistgebrauchten Werkzeuge der Mathematik. Mit ihm berechnet man Diagonalen von Bildschirmen und Abstände in Koordinatensystemen, und Handwerker prüfen mit dem 3-4-5-Dreieck rechte Winkel. Seine Verallgemeinerungen reichen vom Kosinussatz bis zum Abstandsbegriff in hochdimensionalen Räumen, der heute in Datenanalyse und maschinellem Lernen eingesetzt wird.

Ebenso folgenreich war die pythagoreische Grundidee. Wenn Galileo Galilei 1623 schrieb, das Buch der Natur sei in der Sprache der Mathematik geschrieben, stand er in dieser Tradition. Über Platon, der die Zahlenlehre in seine Philosophie aufnahm, und über Euklid, der Teile davon streng bewies, prägten die Pythagoreer das Bild der Mathematik als Wissenschaft, die mit Beweisen arbeitet. Die Musiktheorie verdankt ihnen die Beschreibung der Intervalle durch Zahlenverhältnisse, und der Begriff der irrationalen Zahl beginnt mit ihrer Entdeckung der Inkommensurabilität. Eine Übersicht über die Epoche bietet der Artikel griechische Mathematik.

Häufige Fragen

Wann und wo lebte Pythagoras?

Pythagoras wurde um 570 v. Chr. auf der Insel Samos geboren. Um 530 v. Chr. ging er nach Kroton in Unteritalien und gründete dort seine Gemeinschaft. Er starb um 495 v. Chr., vermutlich in Metapont. Alle Daten sind Näherungswerte.

Hat Pythagoras den Satz des Pythagoras erfunden?

Nein. Babylonische Schreiber kannten den Zusammenhang schon um 1800 v. Chr., auch indische Altarbau-Handbücher formulieren ihn. Ob Pythagoras oder seine Schüler einen allgemeinen Beweis fanden, ist nicht belegt. Der älteste erhaltene Beweis steht bei Euklid.

Was bedeutet „Alles ist Zahl“?

Der Satz ist eine spätere Zusammenfassung pythagoreischer Lehren, die Aristoteles überliefert. Gemeint ist, dass Zahlen und Zahlenverhältnisse die Ordnung der Welt bestimmen: in der Musik, in der Geometrie und am Himmel.

Quellen und weiterführende Literatur

• Walter Burkert: Weisheit und Wissenschaft. Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon, Hans Carl, Nürnberg 1962.
• Christoph Riedweg: Pythagoras. Leben, Lehre, Nachwirkung. Eine Einführung, C. H. Beck, München 2002.
• Leonid Zhmud: Wissenschaft, Philosophie und Religion im frühen Pythagoreismus, Akademie Verlag, Berlin 1997.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Pythagoras of Samos (englisch)