Polynome

Ein Polynom ist eine Summe aus Termen der Form „Zahl mal Potenz von x“, zum Beispiel 3x⁴ − 2x² + x − 7. Das Wort besteht aus griechisch poly („viel“) und lateinisch nomen („Glied“). Binome und Trinome sind Polynome mit zwei oder drei Gliedern. Polynome gehören zu den einfachsten Funktionen, denn zum Ausrechnen genügen Addieren und Multiplizieren.

Hier lernst du, Polynome zu verrechnen, zu dividieren und in Faktoren zu zerlegen. Mit dem Faktorsatz findest du Nullstellen und löst kubische Gleichungen. Am Ende stehen der binomische Lehrsatz und ein Blick auf Gleichungen fünften Grades, an denen Abel und Galois die Grenzen des Lösbaren entdeckten. Vorwissen: quadratische Gleichungen.

Polynome, Grad und Koeffizienten

Setzt du eine Zahl für x ein, erhältst du den Funktionswert. Für p(x) = x³ − 2x² − 5x + 6 ist p(2) = 8 − 8 − 10 + 6 = −4. Ist p(c) = 0, heißt c Nullstelle. Hier sind −2, 1 und 3 Nullstellen, denn zum Beispiel p(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0. Dieses Polynom begleitet dich durch die ganze Seite.

Polynome addieren und subtrahieren

Du addierst Polynome, indem du gleichartige Glieder zusammenfasst, also Glieder mit derselben Potenz von x (wie bei Termen). Beim Subtrahieren drehst du alle Vorzeichen des abgezogenen Polynoms um. Eine Tabelle der Koeffizienten hält die Ordnung.

Also ist p + q = 4x³ + 2x² + 6 und p − q = 2x³ − 6x² + 10x − 8. Der Grad der Summe kann kleiner sein als die Grade der Summanden: (x³ + x) + (−x³ + 2) = x + 2.

Polynome multiplizieren

Du multiplizierst zwei Polynome, indem du jedes Glied des einen mit jedem Glied des anderen malnimmst und danach zusammenfasst (Summe mal Summe). Dabei gilt x^a · x^b = x^a+b (siehe Potenzen). Deshalb ist der Grad des Produkts die Summe der Grade.

Division durch Monome

Ein Monom ist ein einzelnes Glied wie 3x. Teilst du ein Polynom durch ein Monom, teilst du jedes Glied einzeln (Summe durch Monom). Das geht nur für x ≠ 0.

Polynome durch lange Division teilen

Durch ein Polynom mit mehreren Gliedern teilst du mit der Polynomdivision, auch lange Division genannt. Sie funktioniert wie das schriftliche Teilen von Zahlen: Du teilst die höchsten Potenzen, multiplizierst zurück, subtrahierst und beginnst mit dem Rest von vorn. Zum Vergleich: 7 : 3 ist 2 Rest 1, denn 3 · 2 + 1 = 7. Bei Polynomen gilt genauso Dividend = Teiler · Quotient + Rest, und der Rest hat einen kleineren Grad als der Teiler.

Synthetische Division (Horner-Schema)

Teilst du durch einen Linearfaktor x − c, geht es kürzer mit dem Horner-Schema, auch synthetische Division genannt. Du schreibst nur die Koeffizienten auf. Die Regel: Schreibe den ersten Koeffizienten nach unten. Multipliziere jede Zahl der unteren Zeile mit c, schreibe das Ergebnis in die nächste Spalte der mittleren Zeile und addiere es zum Koeffizienten darüber.

Nebenbei berechnet das Schema Funktionswerte: Die letzte Zahl ist immer p(c). Das spart Rechenschritte, weil p(x) = ((a₃ x + a₂)x + a₁)x + a₀ nur Mal und Plus braucht. Das Verfahren heißt nach William George Horner, der es 1819 veröffentlichte. Älter ist die Version des Italieners Paolo Ruffini (um 1809), und in China löste Qin Jiushao schon 1247 Gleichungen höheren Grades nach demselben Prinzip.

Satz vom Rest

Der Restsatz sagt: Teilst du p(x) durch x − c, ist der Rest genau p(c). Der Grund: Es gilt p(x) = q(x) · (x − c) + r. Setzt du x = c ein, fällt der erste Summand weg, und es bleibt p(c) = r. Du bekommst den Rest also ohne Division, durch bloßes Einsetzen.

Faktorsatz

Ist p(c) = 0, so ist nach dem Restsatz der Rest 0, und p lässt sich ohne Rest durch x − c teilen. Das ist der Faktorsatz. Er gilt auch umgekehrt: Ist x − c ein Faktor von p, so ist c eine Nullstelle.

Faktorisierung durch Gruppieren

Bei vier Gliedern hilft oft das Gruppieren: Du bildest zwei Paare, klammerst in jedem Paar einen Faktor aus und hoffst, dass in beiden Paaren dieselbe Klammer entsteht. Dann klammerst du diese Klammer aus. Auch bei Trinomen mit Leitkoeffizient größer 1 wird das Verfahren gebraucht.

Zwei Sonderformeln für Kubikzahlen ergänzen das Werkzeug: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) und a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). So ist x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4), wie die Polynomdivision oben gezeigt hat.

Kubische Gleichungen lösen

Eine kubische Gleichung hat die Form ax³ + bx² + cx + d = 0 mit a ≠ 0. Sie hat mindestens eine reelle Lösung, denn der Graph kommt von unten und geht nach oben (oder umgekehrt), und höchstens drei. Du gehst in dieser Reihenfolge vor: erst ausklammern, dann gruppieren, dann eine Nullstelle raten, per Horner-Schema abspalten und die Rest-Gleichung mit der Mitternachtsformel lösen.

Die Cardanische Formel in Kürze

Findest du keine Nullstelle durch Raten, hilft die Cardanische Formel, die Gerolamo Cardano 1545 veröffentlichte (mehr bei Tartaglia, Cardano und Ferrari). Zuerst entfernst du mit x = y − b : (3a) das quadratische Glied und erhältst y³ + py + q = 0. Dafür gilt:

Bei drei verschiedenen reellen Lösungen wird der Ausdruck unter der Quadratwurzel negativ. Cardano musste dann mit Wurzeln aus negativen Zahlen rechnen, obwohl reelle Zahlen herauskommen. Das war ein Anstoß für die komplexen Zahlen. Gleichungen vierten Grades löste Cardanos Schüler Lodovico Ferrari. Ein Sonderfall ist leicht: Kommen nur x⁴, x² und eine Zahl vor, setzt du z = x². Aus x⁴ − 5x² + 4 = 0 wird z² − 5z + 4 = 0 mit z = 1 oder z = 4, also x = ±1 oder x = ±2.

Binomischer Lehrsatz

Die binomischen Formeln kennen (a + b)² und (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Der binomische Lehrsatz gibt die Entwicklung für jede Potenz n an. Die Zahlen davor heißen Binomialkoeffizienten und stehen im Pascalschen Dreieck: Am Rand steht 1, jede innere Zahl ist die Summe der beiden darüber.

Die Potenzen von a sinken von links nach rechts von n auf 0, die von b steigen von 0 auf n. Die Summe der Zeile ist 2ⁿ, denn für a = b = 1 gilt (1 + 1)ⁿ.

Das Dreieck ist älter als sein Name. In China bildete es Yang Hui 1261 ab, in Europa untersuchte es Blaise Pascal 1654 systematisch (gedruckt 1665). Isaac Newton dehnte den binomischen Lehrsatz in den 1660er-Jahren auf gebrochene Exponenten aus.

Gleichungen höheren Grades: Abel und Galois

Für Grad 2, 3 und 4 gibt es Lösungsformeln aus Grundrechenarten und Wurzeln. Ab Grad 5 nicht mehr: Niels Henrik Abel bewies 1824, dass es keine allgemeine Lösungsformel für Gleichungen fünften Grades gibt. Welche einzelnen Gleichungen sich trotzdem durch Wurzeln lösen lassen, klärte Évariste Galois mit seiner Theorie der Gruppen. Das heißt nicht, dass es keine Lösungen gäbe: Nach dem Fundamentalsatz existieren sie, und Näherungsverfahren wie das von Newton berechnen sie beliebig genau. Es fehlt nur der Wurzelausdruck, etwa bei x⁵ − 4x + 2 = 0.

Häufige Fragen

Wann nehme ich Polynomdivision, wann das Horner-Schema?

Das Horner-Schema ist die Kurzform für Teiler der Gestalt x − c. Durch Teiler mit mehr Gliedern, etwa x² − 1, brauchst du die lange Polynomdivision.

Quellen und weiterführende Literatur

• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• Gerolamo Cardano: Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus (Ars magna), Nürnberg 1545.
• Jean-Pierre Tignol: Galois’ Theory of Algebraic Equations, World Scientific, Singapur 2001.
• MacTutor History of Mathematics: Quadratic, cubic and quartic equations (englisch)
• Wikipedia: Polynom