Christian Goldbach

Christian Goldbach (1690–1764) war ein deutscher Gelehrter aus Königsberg, der in Russland als Professor, Prinzenerzieher und Staatsbeamter arbeitete. Weltbekannt wurde er durch einen Brief, den er am 7. Juni 1742 an Leonhard Euler schrieb. Darin steht die Goldbachsche Vermutung: Jede gerade Zahl größer als 2 lässt sich als Summe zweier Primzahlen schreiben. Ob das für alle Zahlen stimmt, weiß bis heute niemand.

Goldbach war kein Mathematiker im Hauptberuf, aber ein außergewöhnlich gut vernetzter Gesprächspartner. Er kannte Gottfried Wilhelm Leibniz, Nikolaus Bernoulli und Abraham de Moivre persönlich, und sein über 35 Jahre dauernder Briefwechsel mit Euler lenkte dessen Blick auf die Zahlentheorie. Damit steht Goldbach für die Mathematik des 18. Jahrhunderts, in der Ideen vor allem in Briefen und an Akademien ausgetauscht wurden.

Leben: Ein vielgereister Gelehrter

Königsberg und die Bildungsreise

Goldbach wurde am 18. März 1690 in Königsberg geboren, der Hauptstadt des Herzogtums Preußen (heute Kaliningrad). Sein Vater war ein evangelischer Pfarrer. Er studierte an der Albertus-Universität vor allem Rechtswissenschaft und Medizin, daneben etwas Mathematik. Ab 1710 reiste er für mehrere Jahre durch Deutschland, England, die Niederlande, Italien und Frankreich. In Leipzig lernte er 1711 Leibniz kennen und wechselte mit ihm Briefe. 1712 traf er in London Nikolaus I. Bernoulli und Abraham de Moivre. Mit der Familie der Bernoullis blieb er in Verbindung.

Sankt Petersburg und Moskau

1725 öffnete in Sankt Petersburg die nach Plänen Zar Peters I. gegründete Akademie der Wissenschaften. Goldbach bewarb sich im Sommer und wurde Professor für Mathematik und Geschichte; bei der feierlichen Eröffnung am 27. Dezember 1725 führte er Protokoll. Anfang 1728 zog er als Lehrer des jungen Zaren Peter II. mit dem Hof nach Moskau. Nach Peters frühem Tod 1730 kehrte er nach Sankt Petersburg zurück, wirkte wieder an der Akademie und verwaltete sie ab 1737 gemeinsam mit einem Kollegen. Um 1740 wechselte er ins russische Außenministerium. Dort stieg er auf; 1760 wurde er Geheimer Rat. Goldbach starb am 1. Dezember 1764 (russischer Kalender: 20. November) in Moskau.

Der Briefwechsel mit Euler

Ab 1729 schrieben sich Goldbach und Euler rund 35 Jahre lang. Schon früh ging es um eine Rechenfrage: Wie lässt sich die Fakultät n! = 1 · 2 · 3 · … · n auch für Zwischenwerte wie 2,5 sinnvoll erklären? Aus Eulers Antwort entstand die Gammafunktion. Goldbach lenkte Euler auch auf die Behauptungen von Pierre de Fermat. In einem Brief vom Juli 1730 zeigte er, dass die Fermat-Zahlen 2²ⁿ + 1 paarweise keinen gemeinsamen Teiler haben. Daraus folgt, dass es unendlich viele Primzahlen geben muss. Fermat hatte vermutet, alle diese Zahlen seien prim; Euler widerlegte das um 1732 mit 2³² + 1 = 641 · 6.700.417.

Auch der Goldbach-Euler-Satz stammt aus dieser Zusammenarbeit: Zählt man die Brüche 1/(k − 1) für alle Zahlen k, die Potenzen sind (4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, …), zusammen, so ergibt sich genau 1. Euler veröffentlichte ihn 1737 und führte ihn auf Goldbach zurück.

Die Goldbachsche Vermutung

Am 7. Juni 1742 schickte Goldbach von Moskau aus einen Brief an Euler. Am Rand notierte er eine Beobachtung, nach der sich jede Zahl als Summe von drei Primzahlen schreiben lässt. Er rechnete damals die 1 noch zu den Primzahlen; heute zählt man sie nicht mehr dazu. Euler antwortete am 30. Juni 1742: Aus Goldbachs Aussage folge, dass jede gerade Zahl die Summe zweier Primzahlen sein müsse. Er hielt das für sicher richtig, konnte es aber nicht beweisen. Die Fassung mit den geraden Zahlen ist die, die wir heute Goldbachsche Vermutung nennen.

An den ersten Zahlen lässt sich die Behauptung schnell überprüfen. Eine Primzahl ist eine Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

Je größer die Zahl, desto mehr Zerlegungen gibt es im Schnitt: 100 hat sechs, 1.000 hat 28 und 10.000 schon 127. Gerade das macht die Vermutung glaubwürdig, denn eine Zahl ohne jede Zerlegung müsste ein extremer Ausreißer sein.

Forschungsstand: Was ist heute bekannt?

• Rechnerische Prüfung: Mit Computern wurden alle geraden Zahlen bis 4 · 10¹⁸ überprüft (Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog und Silvio Pardi, veröffentlicht 2014). Ein Gegenbeispiel fand sich nicht.
• Winogradow (1937): Jede hinreichend große ungerade Zahl ist die Summe dreier Primzahlen.
• Chen Jingrun (1966, ausgeführt 1973): Jede hinreichend große gerade Zahl ist die Summe einer Primzahl und einer Zahl mit höchstens zwei Primfaktoren. Das kommt der Vermutung sehr nahe.
• Helfgott (2013): Der aus Peru stammende Mathematiker Harald Helfgott legte einen Beweis der schwachen Vermutung vor. Zusammen mit David Platt prüfte er die verbleibenden kleinen Fälle per Computer. Der Beweis wird in der Fachwelt als richtig angesehen.
• Offen: Die starke Vermutung ist bis heute unbewiesen und nicht widerlegt.

Eine Prüfung bis 4 · 10¹⁸ ist beeindruckend, aber kein Beweis. Das zeigt schon Fermats Vermutung, alle Zahlen 2²ⁿ + 1 seien prim: Sie stimmt für n = 0 bis 4, scheitert aber bei n = 5. Auch ein Preisgeld hat bisher nicht geholfen. Der Verlag Faber & Faber setzte im Jahr 2000 eine Million Dollar für einen Beweis innerhalb von zwei Jahren aus, vor allem zur Werbung für den Roman Onkel Petros und die Goldbachsche Vermutung. Ausgezahlt wurde nichts.

Zeitleiste: Christian Goldbachs Leben

1. 1690 Geburt am 18. März in Königsberg
2. 1710 Beginn der großen Bildungsreise durch Europa
3. 1725 Professor an der neuen Akademie in Sankt Petersburg
4. 1728 Lehrer des Zaren Peter II. in Moskau
5. 1729 Beginn des Briefwechsels mit Euler
6. 1742 Brief mit der Goldbachschen Vermutung am 7. Juni
7. 1752 Zweite Vermutung über p + 2n²
8. 1764 Tod in Moskau

Bedeutung und Nachwirkung

Die Goldbachsche Vermutung ist ein Paradebeispiel für Fragen der Mathematik, die jedes Kind verstehen kann und die doch Generationen von Fachleuten widerstehen. Der Zusammenhang zwischen Addition und Primzahlen, die über die Multiplikation definiert sind, ist erstaunlich schwer zu fassen. Zum Angriff auf die Vermutung entwickelten Mathematiker mächtige Werkzeuge. Dazu gehört die Kreismethode von G. H. Hardy und John Littlewood aus den 1920er-Jahren (mehr bei Hardy und Ramanujan), die später Winogradow und Helfgott verfeinerten.

Primzahlen sind die Grundlage vieler Verschlüsselungsverfahren. Eine direkte Anwendung der Goldbachschen Vermutung gibt es nicht, aber jedes neue Verständnis darüber, wie Primzahlen verteilt sind, ist für die Zahlentheorie wertvoll.

Quellen und weiterführende Literatur

• Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog, Silvio Pardi: Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to 4·10¹⁸. In: Mathematics of Computation 83 (2014).
• Harald A. Helfgott: The ternary Goldbach conjecture is true. Preprint 2013 (arXiv:1312.7748).
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Springer, Berlin 2008/2009.
• MacTutor History of Mathematics: Christian Goldbach (englisch)
• Wikipedia: Christian Goldbach