Apollonios von Perge

Apollonios von Perge war ein griechischer Mathematiker, der ungefähr von 262 bis 190 v. Chr. lebte und vor allem in Alexandria arbeitete. Sein Hauptwerk, die Konika („Kegelschnitte“), ist die gründlichste Untersuchung von Ellipse, Parabel und Hyperbel in der Antike. Von ihm stammen auch diese drei Namen, die wir bis heute verwenden. In der Antike galt er als „der große Geometer“.

Ein Kegelschnitt entsteht, wenn man einen Kegel mit einer Ebene durchschneidet, ähnlich wie man eine Eistüte schräg aufschneidet. Je nachdem, wie steil man schneidet, ergibt sich eine andere Kurve. Apollonios erforschte diese Kurven so vollständig, dass sein Buch bis ins 17. Jahrhundert unübertroffen blieb. Johannes Kepler konnte darauf aufbauen, als er 1609 erkannte, dass die Planeten auf Ellipsen um die Sonne laufen.

Leben: Perge, Alexandria und Pergamon

Apollonios stammte aus Perge, einer griechischen Stadt in Pamphylien an der heutigen türkischen Südküste unweit von Antalya. Als junger Mann studierte er in Alexandria. Nach dem Bericht des späteren Mathematikers Pappos lernte er dort lange bei Schülern Euklids. Eine Zeit lang lebte er auch in Pergamon, einer Stadt mit großer Bibliothek, und er starb um 190 v. Chr. in Alexandria. Nicht verwechseln darf man ihn mit dem Dichter Apollonios von Rhodos, der die Argonautika schrieb.

Das Vorwort zu Buch I verrät, wie die Konika entstanden: Der Geometer Naukrates besuchte Apollonios in Alexandria und wollte das Werk haben, bevor er wieder abreiste. Apollonios schrieb die acht Bücher in Eile nieder und überarbeitete sie später. Die verbesserte Fassung schickte er Buch für Buch an seinen Freund Eudemos in Pergamon, später an einen gewissen Attalos. Ob dieser mit dem König von Pergamon identisch war, ist nicht sicher.

Die Idee: Alle Kegelschnitte aus einem Kegel

Kegelschnitte kannte man schon vor ihm. Menaichmos hatte sie im 4. Jahrhundert v. Chr. beim Versuch benutzt, einen Würfel zu verdoppeln, und auch Euklid schrieb mehrere Bücher darüber, die verloren sind. Man schnitt jedoch jeweils einen anderen, besonderen Kegel senkrecht zur Mantellinie. Archimedes sprach deshalb noch vom „Schnitt des rechtwinkligen Kegels“, wenn er die Parabel meinte.

Apollonios ging einen anderen Weg. Er erzeugte den Kegel, indem er eine Gerade durch einen festen Punkt, die Spitze, an einem Kreis entlangführte. So entsteht ein Doppelkegel aus zwei Hälften, der auch schief sein darf. Alle Kurven ergeben sich dann aus demselben Kegel, wenn man nur die Ebene kippt:

• Trifft die Ebene alle Mantellinien einer Kegelhälfte, entsteht eine Ellipse. Der Kreis ist ein Sonderfall.
• Liegt die Ebene parallel zu einer Mantellinie, entsteht eine Parabel.
• Schneidet die Ebene beide Kegelhälften, entsteht eine Hyperbel mit zwei getrennten Ästen.

Woher die Namen kommen

Die Wörter stammen aus der Sprache der Flächenanlegung, einer Technik der Griechen, Rechtecke und Quadrate zu vergleichen. Apollonios zeigte, dass für jeden Punkt einer Kurve eine einfache Flächenbeziehung gilt. Der Punkt liegt im Abstand x vom Scheitel und im Abstand y von der Achse. Dann vergleicht man das Quadrat über y mit einem Rechteck aus x und einer festen Strecke p, dem Parameter. Dabei ist d die Länge der Hauptachse, also der Strecke zwischen den Scheiteln.

Die Konika: Aufbau und Überlieferung

Buch I erklärt, wie die Kurven entstehen, und ihre Grundeigenschaften. Buch II behandelt Tangenten und die Asymptoten der Hyperbel, das sind Geraden, denen sich die Kurve beliebig nah annähert. Buch III beschreibt Eigenschaften, die mit den Brennpunkten zusammenhängen, Buch IV die möglichen Schnittpunkte zweier Kegelschnitte. Buch V fragt nach der kürzesten und längsten Strecke von einem Punkt zur Kurve, also nach den Normalen. Die Bücher VI und VII behandeln Ähnlichkeit und zugeordnete Durchmesser. Buch VIII ist verloren.

Nur die Bücher I bis IV sind auf Griechisch erhalten, um 500 n. Chr. kommentierte sie Eutokios von Askalon. Die Bücher V bis VII kennt man aus einer arabischen Fassung des 9. Jahrhunderts, die in Bagdad im Kreis der Brüder Banu Musa entstand. Sie wurde in Florenz wiederentdeckt und 1661 von Giovanni Borelli und Abraham Ecchellensis ins Lateinische übersetzt. Edmond Halley gab 1710 in Oxford eine Gesamtausgabe heraus und versuchte, Buch VIII aus den Hinweisen des Apollonios zu rekonstruieren.

Weitere Leistungen: Berührungsproblem und Planetenbahnen

Pappos nennt sechs weitere Schriften des Apollonios, von denen nur eine erhalten ist. Eine davon, Berührungen, behandelt das Problem des Apollonios: Gesucht ist ein Kreis, der drei vorgegebene Kreise, Geraden oder Punkte berührt. Bei drei Kreisen gibt es bis zu acht Lösungen. François Viète löste die Aufgabe um 1600 erneut mit Zirkel und Lineal und nannte seine Schrift darüber Apollonius Gallus, „den gallischen Apollonios“.

Auch in der Astronomie wirkte Apollonios. Die scheinbar schleifenförmige Bewegung der Planeten beschrieb er mit Kreisen, die auf anderen Kreisen laufen (Epizykel), und mit exzentrischen Kreisen. Hipparchos und Ptolemäus bauten darauf ihre Modelle. Außerdem berichtet Eutokios von einer verlorenen Schrift, in der Apollonios für π einen genaueren Wert als Archimedes gefunden haben soll.

Zeitleiste: Apollonios und die Konika

1. um 262 v. Chr. Geburt in Perge in Pamphylien.
2. 3. Jh. v. Chr. Studium in Alexandria bei Schülern Euklids, Aufenthalt in Pergamon.
3. um 190 v. Chr. Tod in Alexandria.
4. um 500 n. Chr. Eutokios kommentiert die Bücher I bis IV der Konika.
5. 9. Jh. Die Bücher V bis VII erscheinen in einer arabischen Fassung.
6. 1537 Giovanni Battista Memo gibt in Venedig eine lateinische Ausgabe heraus.
7. 1609 Kepler erkennt die Marsbahn als Ellipse.
8. 1661 Borelli veröffentlicht die Bücher V bis VII auf Lateinisch.
9. 1710 Halley legt eine Gesamtausgabe vor.

Bedeutung heute: Kegelschnitte im Alltag

Satellitenschüsseln und Autoscheinwerfer nutzen die Parabel, denn ein Parabolspiegel bündelt parallele Strahlen in einem Punkt. In einem Gewölbe mit elliptischem Grundriss hört man ein Flüstern im einen Brennpunkt im anderen. Planeten und Kometen laufen auf Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln um die Sonne, wie Isaac Newton aus dem Gravitationsgesetz folgerte.

Seit Descartes und Fermat im 17. Jahrhundert Koordinaten benutzten, schreibt man Kegelschnitte als Gleichungen. Die einfachste Parabel y = x² begegnet in der Schule bei den quadratischen Gleichungen. Einen Überblick über die Zeit des Apollonios gibt der Artikel Hellenistische Mathematik, mehr zur Geometrie der Lernbereich Geometrie.

Häufige Fragen

Was sind Kegelschnitte?

Es sind die Kurven, die entstehen, wenn eine Ebene einen Doppelkegel schneidet: Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel.

Wer hat Ellipse, Parabel und Hyperbel benannt?

Apollonios von Perge in seinen Konika. Er übernahm die Wörter aus der griechischen Flächenlehre und gab ihnen eine neue Bedeutung.

Wie viele Bücher haben die Konika?

Acht. Sieben davon sind erhalten, vier auf Griechisch und drei nur auf Arabisch. Das achte Buch ist verloren.

Quellen und weiterführende Literatur

• Thomas L. Heath: Apollonius of Perga. Treatise on Conic Sections, Cambridge University Press, Cambridge 1896.
• Gerald J. Toomer: Apollonius: Conics Books V to VII. The Arabic Translation of the Lost Greek Original in the Version of the Banu Musa, 2 Bände, Springer, New York 1990.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Apollonius of Perga (englisch)