Lineare Gleichungssysteme

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen mit mehreren Unbekannten, die gleichzeitig gelten sollen. Meist hast du zwei Gleichungen mit den Unbekannten x und y. „Linear“ heißt: x und y kommen nur in der ersten Potenz vor und werden nicht miteinander multipliziert. Die Lösung ist ein Zahlenpaar (x | y), das beide Gleichungen erfüllt.

Wie du einzelne Gleichungen löst, weißt du von der Seite Gleichungen lösen. Hier setzt du dieses Können ein, um aus zwei Unbekannten eine zu machen. Du lernst das Einsetzungs-, das Gleichsetzungs- und das Additionsverfahren, die Lösung per Zeichnung und die Sonderfälle. Zum Schluss wagst du den Sprung zu drei Gleichungen.

Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Auf dem Markt kosten 3 Äpfel und 2 Birnen zusammen 12 €, und 1 Apfel und 4 Birnen kosten 14 €. Was kostet ein Apfel (x), was eine Birne (y)? Du schreibst zwei Gleichungen auf:

• I: 3x + 2y = 12
• II: x + 4y = 14

Ein Zahlenpaar ist nur dann eine Lösung, wenn es beide Gleichungen erfüllt. Probiere (2 | 3): In I ist 3 · 2 + 2 · 3 = 12, in II ist 2 + 4 · 3 = 14. Beides stimmt, also kostet ein Apfel 2 € und eine Birne 3 €. Nur durch Raten findest du solche Paare aber nicht zuverlässig. Dafür gibt es feste Verfahren.

Substitutionsmethode (Einsetzungsverfahren)

Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Unbekannten auf und setzt das Ergebnis in die andere Gleichung ein. „Substituieren“ heißt „ersetzen“. So bleibt nur eine Unbekannte übrig, und diese Gleichung kannst du lösen.

Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren ist ein Sonderfall des Einsetzens. Sind beide Gleichungen nach derselben Unbekannten aufgelöst, etwa nach y, dann müssen die beiden rechten Seiten gleich sein, denn beide sind gleich y. Du setzt sie gleich und erhältst eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.

Additions- bzw. Eliminationsverfahren

Beim Additionsverfahren rechnest du die beiden Gleichungen zusammen, sodass eine Unbekannte verschwindet (lateinisch eliminare, „hinausschaffen“). Das ist erlaubt, denn du addierst zu I die ganze Gleichung II: links die linke Seite von II, rechts die rechte Seite von II. Beide sind gleich groß, also bleibt die Waage im Gleichgewicht. Das Verfahren ist oft am schnellsten, besonders wenn die Gleichungen schon die Form ax + by = c haben.

Grafische Lösung: der Schnittpunkt zweier Geraden

Jede lineare Gleichung mit zwei Unbekannten beschreibt im Koordinatensystem eine Gerade. Die Lösung des Systems ist der Punkt, der auf beiden Geraden liegt, also der Schnittpunkt. Du stellst beide Gleichungen nach y um (y = mx + b), zeichnest die Geraden mit Steigung m und Achsenabschnitt b und liest den Schnittpunkt ab.

Bei x = 2 haben beide Geraden den Wert 3. Rechnerisch bestätigt es das Gleichsetzen aus dem vorigen Abschnitt. Das Ablesen ist nur dann genau, wenn der Schnittpunkt auf einem Gitterpunkt liegt. Sonst rechnest du, und die Zeichnung zeigt dir, ob das Ergebnis sinnvoll ist.

Sonderfälle: keine oder unendlich viele Lösungen

Zwei Geraden können sich schneiden, parallel verlaufen oder aufeinander liegen. Entsprechend hat ein System eine, keine oder unendlich viele Lösungen. Beim Rechnen erkennst du den Fall daran, dass die Unbekannten verschwinden und eine reine Zahlenaussage übrig bleibt.

Ausblick: drei Gleichungen und das Gauß-Verfahren

Bei drei Unbekannten x, y und z brauchst du drei Gleichungen. Jede beschreibt eine Ebene im Raum. Das Additionsverfahren lässt sich fortsetzen: Du eliminierst zuerst x aus zwei Gleichungen, dann y aus einer, bis eine Dreiecksform entsteht. Diese löst du von unten nach oben. Das Vorgehen heißt Gauß-Verfahren. Übersichtlich wird es, wenn du nur die Zahlen aufschreibst.

Ein solches Zahlenschema heißt Matrix, und die Zeilenumformungen kannst du mit Matrizen kurz und allgemein beschreiben. Mehr dazu findest du auf der Seite zu den Matrizen.

Geschichte: von den Neun Kapiteln bis zur Matrix

Eines der ältesten Werke, das Gleichungssysteme mit einem allgemeinen Verfahren löst, stammt aus China. Die Neun Kapitel der Rechenkunst entstanden um die Zeitenwende, und Liu Hui kommentierte sie 263 n. Chr. Ihr achtes Kapitel heißt Fangcheng, „rechteckige Anordnung“. Die Rechner legten die Zahlen jeder Gleichung als Spalte aus Zählstäbchen auf das Rechenbrett. Dann zogen sie Vielfache einer Spalte von einer anderen ab, bis eine Dreiecksform übrig blieb, genau wie im Abschnitt oben. Die erste Aufgabe lautet: 3 Bündel guter, 2 Bündel mittlerer und 1 Bündel schlechter Ernte ergeben 39 Maß Korn. Zwei weitere Angaben mit anderen Mengen gehören dazu. Heute schreibst du 3x + 2y + z = 39, 2x + 3y + z = 34 und x + 2y + 3z = 26. Die Lösung ist x = 9¼, y = 4¼ und z = 2¾ Maß. Mehr dazu steht in der Epoche zur chinesischen Mathematik.

In Europa tauchte die Elimination erst Jahrhunderte später auf. Carl Friedrich Gauß wandte sie systematisch an, zuerst um 1810 in der Astronomie und später bei der Landvermessung. Er wertete Messdaten nach der Methode der kleinsten Quadrate aus und musste dabei große Gleichungssysteme lösen. Der Name „Gaußsches Eliminationsverfahren“ setzte sich erst im 20. Jahrhundert durch. Eine Verbindung zu den chinesischen Texten gab es nicht, es waren unabhängige Entdeckungen. Das Wort „Matrix“ für ein Zahlenschema prägte 1850 James Joseph Sylvester, und Arthur Cayley entwickelte 1858 die Rechenregeln für Matrizen (siehe Matrizen).

Weiter geht es mit Bereichen statt einzelner Lösungen bei den Ungleichungen. Dort lernst du auch, wie sich ein System aus Ungleichungen zeichnen lässt.

Quellen und weiterführende Literatur

• Kangshen Shen, John N. Crossley, Anthony W.-C. Lun: The Nine Chapters on the Mathematical Art. Companion and Commentary, Oxford University Press, Oxford 1999.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Nine Chapters on the Mathematical Art (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Carl Friedrich Gauss (englisch)