Differentialgleichungen

Eine Differentialgleichung (kurz DGL) ist eine Gleichung, in der eine gesuchte Funktion $y(x)$ zusammen mit ihren Ableitungen vorkommt, zum Beispiel $y\prime =2y$. Gesucht ist hier keine Zahl, sondern eine Funktion, die die Gleichung für alle x erfüllt. Die Ableitung $y\prime$ gibt an, wie schnell sich $y$ ändert.

Warum ist das wichtig? Viele Naturgesetze sagen nicht, wie groß etwas ist, sondern wie schnell es sich ändert: Ein Bestand wächst, ein Kaffee kühlt ab, eine Feder schwingt. Daraus entsteht eine Differentialgleichung, und ihre Lösung beschreibt den ganzen Verlauf. Die höchste vorkommende Ableitung bestimmt die Ordnung: $y\prime =2y$ hat die Ordnung 1, $y\prime \prime =-y$ die Ordnung 2. Hier geht es um gewöhnliche Differentialgleichungen mit einer unabhängigen Variablen.

Wachstum und Zerfall: y′ = k · y

Die einfachste und wichtigste Differentialgleichung lautet

In Worten: Die Änderungsrate ist proportional zum Bestand. Je mehr Bakterien da sind, desto mehr kommen pro Stunde dazu. Das ist Wachstum bei $k>0$. Bei $k<0$ nimmt der Bestand ab: Zerfall.

Die Lösungen sind die Exponentialfunktionen $y=C·e^{kx}$ mit einer beliebigen Konstante $C$. Zur Probe leitest du ab: $y\prime =C·k·e^{kx}=k·y$. Das stimmt. Mehr zu diesen Funktionen steht bei der Exponentialfunktion. Sie ist gerade die Funktion, die ihre eigene Ableitung ist, also die Lösung für $k=1$.

Anfangswertproblem

Die Lösung $y=C·e^{kx}$ enthält eine freie Konstante $C$. Zu jedem $C$ gehört eine andere Kurve. Welche gemeint ist, sagt ein Anfangswert: Du gibst vor, wie groß $y$ an einer Stelle ist, meist bei $x=0$. Setzt du das ein, wird $C$ eindeutig. Eine Differentialgleichung zusammen mit einem Anfangswert heißt Anfangswertproblem.

Bei Gleichungen der Ordnung 1 braucht man einen Anfangswert, bei der Ordnung 2 zwei (zum Beispiel Ort und Geschwindigkeit zu Beginn). Unter üblichen Voraussetzungen gibt es dann genau eine Lösung.

Das Richtungsfeld

Eine Differentialgleichung der Form $y\prime =f(x,y)$ sagt dir an jedem Punkt $(x|y)$, welche Steigung die Lösung dort haben muss. Du zeichnest in ein Gitter von Punkten jeweils ein kurzes Stück mit dieser Steigung. Das Bild heißt Richtungsfeld.

Eine Lösung ist eine Kurve, die diesen Strichen folgt, wie ein Blatt auf einem Fluss. Der Anfangswert legt fest, wo du ins Wasser gehst. Bei $y\prime =\mathrm{0,5}·y$ hängt die Steigung nur von $y$ ab. Die Striche sind unten flach und werden nach oben steiler. Die dicke Kurve ist die Lösung mit $y(0)=1$.

Trennung der Variablen

Viele Gleichungen lassen sich mit einem Trick lösen. Hat die Gleichung die Form $y\prime =g(x)·h(y)$, trennst du die Variablen: Alles mit y kommt auf die eine Seite, alles mit x auf die andere. Danach integrierst du beide Seiten.

1. Schreibe $y\prime =\frac{dy}{dx}$ und trenne: $\frac{1}{h(y)}dy=g(x)dx$.
2. Integriere beide Seiten (siehe Integral und Integrationsmethoden).
3. Löse nach $y$ auf.
4. Setze den Anfangswert ein und bestimme die Konstante.

Auch die Gleichung $y\prime =k·y$ von oben löst du so: $\frac{1}{y}dy=kdx$ ergibt $\ln |y|=kx+c$ und damit $y=C·e^{kx}$. Achte darauf, dass du durch $y$ geteilt hast. Die Lösung $y=0$ geht dabei verloren. Sie steckt aber in $C=0$.

Lineare Gleichung und Newtons Abkühlungsgesetz

Die Gleichung $y\prime =a·y+b$ mit Zahlen $a\ne 0$ und $b$ lässt sich auf den Fall von oben zurückführen. Setze $z=y+\frac{b}{a}$. Dann ist $z\prime =y\prime =a·y+b=a·z$, also $z=C·e^{ax}$. Das ergibt

Der Wert $-\frac{b}{a}$ ist das Gleichgewicht: Dort ist $y\prime =0$, und es ändert sich nichts mehr.

Ein Beispiel ist Newtons Abkühlungsgesetz: Ein Körper kühlt umso schneller ab, je größer der Temperaturunterschied zur Umgebung ist. Mit der Temperatur $T$, der Umgebungstemperatur $T_U$ und einer Konstante $k>0$ gilt

Logistisches Wachstum

Exponentielles Wachstum geht ewig weiter. In der Wirklichkeit setzen Platz und Nahrung eine Grenze. Das logistische Wachstum berücksichtigt das mit der Gleichung

Hier ist $r$ die Wachstumsrate und $K$ die Tragfähigkeit, die Grenze des Bestands. Ist $y$ klein, ist der Faktor in der Klammer fast 1, und der Bestand wächst fast exponentiell. Nähert sich $y$ der Grenze $K$, geht die Klammer gegen 0, und das Wachstum bremst ab. Die Lösung hat die Form

Beim Beispiel $K=1000$, $y_0=10$ und $r=\mathrm{0,5}$ ist $y(t)=\frac{1000}{1+99·e^{-\mathrm{0,5}t}}$. Der Bestand wächst am schnellsten, wenn er die Hälfte der Grenze erreicht hat, also bei $y=500$. Das ist nach $t=\frac{\ln 99}{\mathrm{0,5}}\approx \mathrm{9,19}$ der Fall, dort liegt der Wendepunkt. Die größte Wachstumsrate ist $\frac{rK}{4}=125$ pro Zeiteinheit. Die logistische Gleichung stammt von Pierre-François Verhulst (1838).

Schwingungen: y″ = −ω² · y

Eine Masse an einer Feder wird mit der Kraft $-D·y$ zurückgezogen, wobei y die Auslenkung und D die Federkonstante ist. Nach Newton ist Kraft gleich Masse mal Beschleunigung, also $m·y\prime \prime =-D·y$. Mit $\omega =\sqrt{D/m}$ ergibt sich

Das ist eine Gleichung der Ordnung 2. Ihre Lösungen sind Sinus und Kosinus: $y=A·\cos (\omega t)+B·\sin (\omega t)$. Zur Probe ist $y\prime \prime =-{\omega }^2·(A\cos (\omega t)+B\sin (\omega t))=-{\omega }^2·y$. Die Konstanten $A$ und $B$ bestimmst du aus zwei Anfangswerten, Ort und Geschwindigkeit.

Numerisch lösen: das Euler-Verfahren

Die meisten Differentialgleichungen lassen sich nicht mit einer Formel lösen. Dann rechnet man näherungsweise. Die Idee beim Euler-Verfahren: Du gehst im Richtungsfeld in kleinen Schritten der Länge $h$ immer ein Stück in Richtung der Steigung. Aus dem Punkt $(x_n|y_n)$ wird

Das ist eine Tangentenstufe: Die Steigung $f(x_n,y_n)$ legt fest, wie sich $y$ im Schritt ändert. Du rechnest so lange weiter, bis du bei der gewünschten Stelle bist.

Das Euler-Verfahren liegt hier immer unter der exakten Kurve, denn die Kurve ist nach oben gekrümmt, und jede Tangente liegt darunter. Kleinere Schritte helfen, aber langsam: Der Fehler ist ungefähr proportional zu $h$.

Runge-Kutta: viel genauer

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (RK4) liest die Steigung nicht nur am Anfang des Schritts, sondern an vier Stellen und bildet einen gewichteten Mittelwert:

Für dasselbe Beispiel mit nur acht Schritten ($h=\mathrm{0,5}$) erhältst du $y(4)\approx \mathrm{7,388665}$, der Fehler beträgt nur etwa $\mathrm{0,0004}$. Zum Vergleich: Das Euler-Verfahren hat auch nach 400 Schritten noch den Fehler 0,037. Schon der erste Schritt zeigt den Unterschied: Euler gibt $\mathrm{1,25}$, RK4 gibt $\mathrm{1,28402}$, die exakte Lösung ist $e^{\mathrm{0,25}}\approx \mathrm{1,28403}$. Mit dem Differentialgleichungs-Rechner kannst du Richtungsfelder und Näherungen selbst ausprobieren.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: von Newton bis Lorenz

Differentialgleichungen entstanden mit der Infinitesimalrechnung. Isaac Newton unterschied in seiner Methodus fluxionum von 1671 verschiedene Arten, und Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelte die Schreibweise $\frac{dy}{dx}$. Die Bezeichnung „Trennung der Veränderlichen“ geht auf Johann Bernoulli zurück, der sie 1694 in einem Brief an Leibniz benutzte. Die Brüder Bernoulli lösten viele Typen, darunter die nach ihnen benannte Bernoulli-Gleichung.

Leonhard Euler ordnete das Gebiet in seinen Institutiones calculi integralis (1768 bis 1770) und stellte dort das nach ihm benannte Näherungsverfahren vor. Carl Runge (1895) und Martin Kutta (1901) entwickelten die genaueren Verfahren, die heute überall im Einsatz sind. Henri Poincaré begründete in den 1880er-Jahren die qualitative Theorie: Er fragte nicht mehr nach Formeln, sondern danach, wie sich Lösungen auf lange Sicht verhalten. Daran schloss 1963 Edward Lorenz an, der bei einem einfachen Wettermodell das Chaos entdeckte.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen einer Gleichung und einer Differentialgleichung?

Bei einer Gleichung wie $x^2=4$ suchst du Zahlen. Bei einer Differentialgleichung suchst du eine Funktion, die zusammen mit ihren Ableitungen eine Gleichung erfüllt.

Kann man jede Differentialgleichung lösen?

Nicht mit einer Formel. Viele Gleichungen haben zwar Lösungen, aber keine Formel dafür. Dann rechnet man näherungsweise, zum Beispiel mit dem Euler- oder dem Runge-Kutta-Verfahren.

Was ist der Unterschied zwischen gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen?

Bei gewöhnlichen kommt nur eine Variable vor, etwa die Zeit. Bei partiellen hängt die Funktion von mehreren Variablen ab, zum Beispiel von Ort und Zeit, und es kommen partielle Ableitungen vor. Sie sind schwieriger und gehören ins Studium.

Warum heißt es „allgemeine“ Lösung?

Weil sie die Konstante $C$ enthält und damit alle Lösungen auf einmal beschreibt. Mit einem Anfangswert wird daraus die „spezielle“ Lösung.

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Differentialgleichung
• Wikipedia: Trennung der Veränderlichen
• Wikipedia: Runge-Kutta-Verfahren
• Wikipedia: Logistisches Wachstum
• Carl Runge: Über die numerische Auflösung von Differentialgleichungen. Mathematische Annalen, Band 46, 1895, S. 167 bis 178 (DOI 10.1007/BF01446807)
• Edward N. Lorenz: Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of the Atmospheric Sciences, Band 20, 1963, S. 130 bis 141