Zenon von Elea

Zenon von Elea (um 490 bis um 430 v. Chr.) war ein griechischer Philosoph aus der Stadt Elea in Unteritalien. Berühmt wurde er durch Paradoxien, das sind scheinbar zwingende Gedankengänge mit einem absurden Ergebnis. Das bekannteste: Achilles, der schnellste Läufer der griechischen Sagenwelt, soll eine Schildkröte nie einholen können, wenn sie einen Vorsprung hat. Jeder weiß, dass das falsch ist. Schwer ist es zu sagen, was genau an der Überlegung nicht stimmt.

Zenon war kein Mathematiker im engeren Sinn, doch seine Argumente trafen den Kern der Mathematik: Was geschieht, wenn man etwas unendlich oft teilt? Kann eine Summe aus unendlich vielen Teilen einen endlichen Wert haben? Die Antworten von Aristoteles, Archimedes und viel später Cauchy und Weierstraß gehören zu den Grundlagen der Analysis.

Leben: Ein Schüler des Parmenides

Von Zenons Leben ist wenig bekannt. Platon lässt ihn in seinem Dialog Parmenides gemeinsam mit seinem Lehrer nach Athen reisen: Zenon sei damals etwa 40, Parmenides etwa 65 Jahre alt gewesen, und der junge Sokrates habe zugehört. Aus diesen Angaben errechnet man Zenons Geburt um 490 v. Chr. Ob das Treffen wirklich stattfand, bezweifeln viele Fachleute. Platon ist hier eher ein Erzähler als ein Zeuge.

Parmenides lehrte, das Seiende sei eins und unveränderlich; Vielheit und Bewegung nehme man nur durch trügerische Sinne wahr. Gegner spotteten, daraus folgten lächerliche Ergebnisse. Nach Platon schrieb Zenon als junger Mann ein Buch, das zeigen sollte: Wer an Vielheit und Bewegung glaubt, gerät in noch größere Widersprüche. Er habe es nie veröffentlichen wollen, es sei ihm entwendet worden. Der Philosoph Proklos berichtet von 40 Argumenten, doch erhalten sind nur Zitate.

Nicht verwechseln darf man ihn mit Zenon von Kition, dem Begründer der Stoa (um 300 v. Chr.). Über Zenons Ende erzählt Diogenes Laertios dramatische Geschichten von einer Verschwörung gegen einen Tyrannen. Sie gelten als erfunden.

Die Paradoxien der Bewegung

Aristoteles beschreibt in seiner Physik (Buch VI) vier Argumente gegen die Bewegung:

• Dichotomie: Wer ein Ziel erreichen will, muss zuerst die Hälfte des Weges zurücklegen, davor die Hälfte der Hälfte und so fort. Das sind unendlich viele Aufgaben, also komme man nie an.
• Achilles: Der Verfolger muss immer erst dorthin, wo der Verfolgte gerade war. Er holt ihn nie ein.
• Pfeil: In jedem Augenblick nimmt der fliegende Pfeil genau so viel Raum ein wie er selbst, er ruht also. Aus lauter Ruhe, so Zenon, entstehe keine Bewegung.
• Stadion: Körper, die einander mit gleicher Geschwindigkeit entgegenlaufen, scheinen zu zeigen, dass die halbe Zeit gleich der doppelten sei.

Achilles und die Schildkröte

„Das Zweite ist der sogenannte Achilles. Er besagt, dass das Langsamste im Lauf niemals vom Schnellsten eingeholt wird. Denn der Verfolger muss zuerst dorthin gelangen, von wo der Fliehende aufgebrochen ist, sodass der Langsamere stets einen Vorsprung hat.“

Rechnen wir mit Zahlen. Achilles läuft 10 Meter pro Sekunde, die Schildkröte 1 Meter pro Sekunde und hat 100 Meter Vorsprung. Bis Achilles diese 100 Meter geschafft hat, sind 10 Sekunden vergangen, und die Schildkröte ist 10 Meter weiter. Für diese 10 Meter braucht er 1 Sekunde, dann ist sie wieder einen Meter weiter, und so geht es endlos weiter.

Es gibt unendlich viele Etappen, aber sie werden so schnell kürzer, dass ihre Summe endlich bleibt. Eine solche Summe nennt man geometrische Reihe: Jedes Glied ist ein fester Bruchteil des vorigen, hier ein Zehntel.

Nach rund 11,1 Sekunden und 111,1 Metern ist Achilles genau auf Höhe der Schildkröte. Sie hat in dieser Zeit 11,1 Meter zurückgelegt und steht deshalb bei 100 + 11,1 = 111,1 Metern.

Wie löst man das Rätsel?

Zenons Argument tut so, als müsse eine Folge aus unendlich vielen Etappen auch unendlich lange dauern. Das stimmt nicht, wenn die Etappen schnell genug schrumpfen. Aristoteles unterschied zwei Arten von Unendlichkeit: Eine Strecke lässt sich potenziell immer weiter teilen, doch niemand kann unendlich viele Teilungen tatsächlich ausführen. Auch die Zeit ist so teilbar, deshalb sei kein Widerspruch im Spiel. Archimedes summierte im 3. Jahrhundert v. Chr. in seiner Quadratur der Parabel eine geometrische Reihe (1 + ¼ + 1/16 + … = 4/3). Streng gefasst wurde der Grenzwert aber erst im 19. Jahrhundert durch Cauchy und Weierstraß. Ob damit alle philosophischen Fragen geklärt sind, diskutieren Fachleute bis heute.

Auch das Pfeil-Paradoxon hat eine moderne Antwort: Geschwindigkeit ist kein Zustand eines einzelnen Augenblicks, sondern ein Grenzwert aus Weg und Zeit über winzige Zeitspannen. Daraus entstand die Idee der Ableitung.

Paradoxien gegen die Vielheit

Zenon bekämpfte auch die Annahme, die Welt bestehe aus vielen Dingen. Teilt man etwas immer weiter, sind die Teile entweder ohne Größe, dann kann man mit ihnen nichts aufbauen, oder sie haben Größe, dann ergibt unendlich viel davon etwas Unendliches. Ein weiteres Beispiel ist die Hirse: Ein Scheffel Hirse macht beim Fallen Lärm, ein einzelnes Korn fällt lautlos. Wie entsteht aus lauter Lautlosem Lärm? Manche sehen hier ein Argument gegen die Atomlehre, wie sie später Demokrit vertrat.

Zeitleiste: Zenon und seine Paradoxien

1. um 490 v. Chr. Geburt in Elea (errechnet aus Platons Angaben).
2. um 450 v. Chr. Nach Platon besucht Zenon mit Parmenides Athen; ob das stimmt, ist unsicher.
3. um 430 v. Chr. Tod, vermutlich in Elea oder Syrakus.
4. 4. Jh. v. Chr. Aristoteles beschreibt die vier Bewegungsparadoxien und unterscheidet potenzielles und tatsächliches Unendliches.
5. 3. Jh. v. Chr. Archimedes summiert geometrische Reihen bei der Berechnung von Parabelflächen.
6. 6. Jh. n. Chr. Simplikios überliefert in seinem Physik-Kommentar viele Zenon-Zitate.
7. 1821 Cauchy legt in seinem Cours d’analyse den Grundstein für den modernen Grenzwertbegriff.
8. 1977 Der Quanten-Zeno-Effekt erhält seinen Namen.

Bedeutung heute: Unendliches rechnen

Ohne Zenon sähe die Schulmathematik anders aus. Die Frage, wie viel unendlich viele kleine Stücke ergeben, ist der Kern von Reihen, Grenzwerten und Integralen. Auch praktisch taucht sie auf: Ein Ball, der nach jedem Aufprall nur halb so hoch springt, prellt unendlich oft, bleibt aber nach endlicher Zeit liegen. Computerprogramme, die solche Vorgänge simulieren, müssen dieses „Zeno-Verhalten“ erkennen, sonst bleiben sie in einer Endlosschleife hängen. Einen Überblick über die Epoche bietet der Artikel griechische Mathematik.

Quellen und weiterführende Literatur

• Hermann Diels, Walther Kranz (Hrsg.): Die Fragmente der Vorsokratiker, Band 1, 6. Auflage, Weidmann, Berlin 1951, S. 247–258.
• Rafael Ferber: Zenons Paradoxien der Bewegung und die Struktur von Raum und Zeit, 2. Auflage, Steiner, Stuttgart 1995.
• Christof Rapp: Zenon aus Elea. In: Hellmut Flashar u. a. (Hrsg.): Frühgriechische Philosophie (Grundriss der Geschichte der Philosophie. Die Philosophie der Antike, Band 1), Halbband 2, Schwabe, Basel 2013, S. 531–572.
• MacTutor History of Mathematics: Zeno of Elea (englisch)
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Zeno’s Paradoxes (englisch)