Satz des Pythagoras: Formel, Beweis und Aufgaben

Der Satz des Pythagoras verrät, wie in einem rechtwinkligen Dreieck die drei Seiten zusammenhängen: Das Quadrat der längsten Seite ist so groß wie die Quadrate der beiden kürzeren Seiten zusammen. Damit berechnest du eine fehlende Seitenlänge, sobald du die beiden anderen kennst. Du brauchst ihn beim Bauen, Vermessen und überall, wo ein rechter Winkel vorkommt.

Hier lernst du den Satz Schritt für Schritt, von der Formel über Beweis und Umkehrung bis zu Anwendungen, Kathetensatz und Höhensatz. Du solltest Quadratwurzeln kennen und einfache Gleichungen umstellen können.

Was sagt der Satz des Pythagoras?

Zeichne über jede Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ein Quadrat. Dann haben die beiden kleineren Quadrate zusammen genau so viel Fläche wie das größte. Mit den Seitenlängen a, b und c heißt das:

Probe am Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5: Es ist 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².

Katheten und Hypotenuse richtig zuordnen

Die meisten Fehler entstehen schon bei der Frage, welche Seite welche ist. Die Katheten (von griechisch káthetos, „das Herabgelassene“, das Lot) schließen den rechten Winkel ein. Die Hypotenuse (von griechisch hypoteínousa, „die sich darunter Erstreckende“) liegt ihm gegenüber.

Die Katheten a und b liegen am rechten Winkel, die Hypotenuse c liegt ihm gegenüber und ist die längste Seite.

Suche den rechten Winkel, meist mit einem kleinen Quadrat markiert.
Die Seite gegenüber ist die Hypotenuse c, immer die längste Seite.
Die beiden anderen Seiten sind a und b. Welche welche ist, spielt keine Rolle, denn in $a^{2} + b^{2}$ darfst du sie vertauschen.

Die Hypotenuse liegt nicht immer unten. Drehst du das Dreieck, bleibt sie die Seite gegenüber dem rechten Winkel.

Die Hypotenuse berechnen

Kennst du beide Katheten, quadrierst du sie, addierst die Quadrate und ziehst die Wurzel.

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Eine Kathete berechnen

Kennst du die Hypotenuse und eine Kathete, stellst du um: Aus $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ wird $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ . Jetzt wird also abgezogen.

b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}

Den Rechenweg zeigt dir auch der Pythagoras-Rechner.

Warum gilt der Satz? Ein Beweis zum Anschauen

Ein Zahlenbeispiel beweist noch nichts, denn der Satz soll für jedes rechtwinklige Dreieck gelten. Einer der schönsten Beweise braucht kaum Rechnung. Du zeichnest zwei gleich große Quadrate mit der Seitenlänge a + b und legst in jedes vier Kopien des Dreiecks, aber verschieden angeordnet.

Beide großen Quadrate haben die Seitenlänge a + b, im Beispiel 3 + 4 = 7. Nimmst du aus beiden dieselben vier Dreiecke weg, bleibt links c² und rechts a² + b² übrig.

Links bilden die Hypotenusen der vier Dreiecke ein schräges Quadrat mit der Seite c und der Fläche c². (An jeder Ecke ergeben die beiden spitzen Winkel zusammen 90°, bis 180° fehlen also genau 90°.)
Rechts bleiben bei derselben Dreiecksmenge zwei Quadrate frei, mit den Flächen a² und b².
Beide große Quadrate sind gleich groß und enthalten dieselben vier Dreiecke. Also ist auch der Rest gleich groß: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

Als Rechnung: Das große Quadrat hat die Fläche ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ . Es besteht auch aus c² und vier Dreiecken mit je ½ · a · b, also aus c² + 2ab. Aus $a^{2} + 2 a b + b^{2} = c^{2} + 2 a b$ folgt $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

Die Umkehrung: Ist das Dreieck rechtwinklig?

Das hilft, wenn du prüfen willst, ob eine Ecke wirklich ein rechter Winkel ist. Die Umkehrung sagt sogar mehr: Ist c² größer als a² + b², ist der Winkel gegenüber von c stumpf (über 90°). Ist c² kleiner, sind alle Winkel spitz. Der Grund steht im Kosinussatz.

Auf Baustellen prüft man so die Ecken: 60 cm an der einen Wand, 80 cm an der anderen. Sind die Markierungen genau 100 cm voneinander entfernt, ist die Ecke rechtwinklig. Das ist das Dreieck 3, 4, 5, zwanzigmal so groß. Oft heißt es, ägyptische Seilspanner hätten mit einem Seil aus zwölf gleichen Stücken (3 + 4 + 5) rechte Winkel abgesteckt. Das ist eine Vermutung aus dem 19. Jahrhundert, belegt ist es nicht (Ägyptische Mathematik).

Pythagoreische Zahlentripel

Drei natürliche Zahlen mit $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ heißen pythagoreisches Zahlentripel. Das bekannteste ist (3, 4, 5). Alle drei Seiten sind ganzzahlig, deshalb nimmt man solche Dreiecke in Aufgaben so gern.

Die ersten pythagoreischen Tripel
Tripel (a, b, c)	Probe
(3, 4, 5)	9 + 16 = 25
(5, 12, 13)	25 + 144 = 169
(8, 15, 17)	64 + 225 = 289
(7, 24, 25)	49 + 576 = 625

Multiplizierst du alle drei Zahlen mit derselben Zahl, entsteht ein neues Tripel: Aus (3, 4, 5) wird (6, 8, 10). Tripel ohne gemeinsamen Teiler heißen primitiv. Alle primitiven Tripel liefert eine Formel, die nach Euklid benannt ist. Du wählst zwei natürliche Zahlen m > n und setzt

a = m^{2} - n^{2} b = 2 m n c = m^{2} + n^{2}

Für m = 2 und n = 1 entsteht (3, 4, 5), für m = 3 und n = 2 das Tripel (5, 12, 13).

Anwendungen: Bildschirm, Leiter, Abstand und Raumdiagonale

Die Bildschirmdiagonale

Fernseher werden mit der Diagonale in Zoll angegeben (1 Zoll = 2,54 cm). Bei einem Bildschirm im Format 16 : 9 gilt b = 16k und h = 9k mit einer gemeinsamen Einheit k.

Die Leiter an der Wand

Der Abstand zweier Punkte

Im Koordinatensystem bilden die Punkte A(x₁ | y₁) und B(x₂ | y₂) die Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Katheten sind |x₂ − x₁| und |y₂ − y₁|, die Strecke AB ist die Hypotenuse.

d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

Die Raumdiagonale im Quader

Im Raum wendest du den Satz zweimal an. Bei einem Quader mit den Kanten a, b und c hat die Diagonale e des Bodens die Länge $e^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Die Raumdiagonale d bildet mit e und der Höhe c ein zweites rechtwinkliges Dreieck: $d^{2} = e^{2} + c^{2}$ . Zusammen ergibt das

d = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

Kathetensatz und Höhensatz

Zum Satz des Pythagoras gehören zwei Verwandte, die zusammen die Satzgruppe des Pythagoras bilden. Sie arbeiten mit der Höhe h auf die Hypotenuse, der Strecke vom rechten Winkel bei C senkrecht zur Hypotenuse. Sie trifft diese im Punkt D und teilt sie in die Hypotenusenabschnitte p (neben der Kathete a) und q (neben b). Es gilt c = p + q.

Die Höhe h zerlegt das Dreieck in zwei kleinere Dreiecke und teilt die Hypotenuse c in die Abschnitte q und p. Im Zahlenbeispiel 3-4-5 gilt p = 1,8, q = 3,2 und h = 2,4.

Beide Sätze folgen aus der Ähnlichkeit (Kongruenz und Ähnlichkeit). Das Dreieck ABC und das Teildreieck CBD stimmen im Winkel bei B und im rechten Winkel überein. Deshalb gilt a : c = p : a, und das ergibt a² = p · c. Für b geht es genauso mit ACD. Die beiden Teildreiecke sind auch untereinander ähnlich, daraus folgt h : p = q : h und damit h² = p · q.

Addierst du beide Gleichungen des Kathetensatzes, entsteht a² + b² = (p + q) · c = c². Das ist der Satz des Pythagoras: Er steckt im Kathetensatz.

Typische Fehler beim Satz des Pythagoras

Übungen

Mehr Aufgaben mit Lösungen findest du im Arbeitsblatt Satz des Pythagoras üben.

Geschichte: viel älter als Pythagoras

Der Satz trägt den Namen von Pythagoras von Samos (ca. 570–495 v. Chr.), ist aber viel älter. Babylonische Schreiber kannten den Zusammenhang spätestens um 1800 v. Chr. Die Tontafel YBC 7289 zeigt ein Quadrat mit Diagonalen und einen sehr genauen Wert für √2. Die Tafel Plimpton 322 enthält Zahlen, die sich als Teile pythagoreischer Tripel lesen lassen, etwa 119 und 169 mit 120 (119² + 120² = 169²).

In China heißt der Satz Gougu-Satz, nach den Namen der beiden Katheten. Er steht im Zhoubi suanjing, das seine heutige Form vermutlich in der Han-Zeit erhielt. Zhao Shuang fügte im 3. Jahrhundert n. Chr. eine Figur aus vier Dreiecken und einem kleinen Quadrat hinzu, die den Satz zeigt (Gougu-Satz). Die indischen Shulbasutras, Bauanleitungen für Opferaltäre, nennen ihn in Worten und mit Tripeln wie (3, 4, 5) und (5, 12, 13) (Shulbasutras).

Was die Griechen hinzufügten, war der allgemeine Beweis. Euklid bewies den Satz um 300 v. Chr. in Buch I seiner Elemente (Satz 47) und gleich danach die Umkehrung (Satz 48). Sein Beweis führt über den Kathetensatz. Die Grundlage des Höhensatzes steht in Buch VI (Satz 8).

Häufige Fragen

Gilt der Satz in jedem Dreieck?

Nein, nur im rechtwinkligen. Für beliebige Dreiecke gilt der Kosinussatz $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot \cos γ$ . Bei einem rechten Winkel ist der Kosinus 0, und die Formel wird zum Satz des Pythagoras.

Gibt es den Satz auch für dritte oder höhere Potenzen?

Nein. Die Gleichung $a^{n} + b^{n} = c^{n}$ hat für n > 2 keine Lösung in positiven ganzen Zahlen. Das ist der Große Fermatsche Satz, den Pierre de Fermat behauptete und Andrew Wiles 1994 bewies.

Quellen und weiterführende Literatur

Wikipedia: Satz des Pythagoras
David E. Joyce: Euclid’s Elements, Book I, Proposition 47 (englisch)
MacTutor History of Mathematics: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics (englisch)
Eli Maor: The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History, Princeton University Press, Princeton 2007.
Elisha Scott Loomis: The Pythagorean Proposition, 2. Auflage, 1940.