Mathematik des 16. Jahrhunderts

Die Mathematik des 16. Jahrhunderts steht im Zeichen von Renaissance, Buchdruck und Fernhandel. In diesem Jahrhundert überholte Europa erstmals die übrigen mathematischen Kulturen: Italienische Mathematiker fanden Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades, ein Problem, an dem auch die Gelehrten der islamischen Welt gescheitert waren. Zugleich wurde Mathematik zur Alltagskunst. Rechenmeister wie Adam Ries lehrten Kaufleuten und Handwerkern in gedruckten Büchern das Rechnen mit Ziffern.

Viele Zeichen, die heute selbstverständlich sind, stammen aus dieser Zeit: Plus und Minus, das Wurzelzeichen, das Gleichheitszeichen und die Dezimalbrüche. Am Ende des Jahrhunderts rechnete François Viète als Erster systematisch mit Buchstaben für bekannte und unbekannte Größen und machte die Algebra so zu einer allgemeinen Formelsprache.

Damit lagen die Werkzeuge bereit, mit denen das 17. Jahrhundert Logarithmen, analytische Geometrie und Infinitesimalrechnung entwickeln sollte. Die Mathematik des 16. Jahrhunderts ist deshalb das Scharnier zwischen dem Rechnen des Mittelalters und der Wissenschaft der Neuzeit.

Renaissance, Buchdruck und Handel

Die Renaissance, die „Wiedergeburt“ der Antike, begann im 14. Jahrhundert in Italien und erfasste bis 1500 weite Teile Europas. Humanisten suchten nach griechischen Handschriften, gaben Euklid, Archimedes, Apollonios und Diophant in neuen Ausgaben heraus und übersetzten sie ins Lateinische. Besonders zuverlässige Editionen lieferte ab den 1550er-Jahren Federico Commandino. Mathematik galt nun als Schlüssel zum Verständnis der Natur, aber auch der Kunst: Maler wie Piero della Francesca und Albrecht Dürer beschäftigten sich mit Perspektive und Proportion.

Mindestens ebenso wichtig waren wirtschaftliche Kräfte. Handelshäuser wie die Fugger in Augsburg brauchten Buchhalter, Wechselrechner und Kalkulatoren. Seefahrer, die nach Amerika und Asien segelten, benötigten astronomische Tafeln und genaue Karten. Festungsbau und Artillerie warfen Fragen der Geometrie und Ballistik auf. Der Buchdruck schließlich sorgte dafür, dass Lehrbücher, Tabellen und Streitschriften schnell und in großer Zahl verbreitet wurden, erstmals auch in den Volkssprachen statt nur auf Latein.

Luca Pacioli: Summa und göttliche Proportion

Am Beginn der Epoche steht der Franziskaner Luca Pacioli (ca. 1447–1517). Seine Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita, 1494 in Venedig gedruckt, fasste auf rund 600 Seiten das Wissen der italienischen Abakusschulen zusammen: Arithmetik, Algebra, Geometrie und kaufmännisches Rechnen. Ein Abschnitt enthält die erste gedruckte Darstellung der doppelten Buchführung, wie sie venezianische Kaufleute praktizierten. Deshalb gilt Pacioli als „Vater der Buchhaltung“, obwohl er das Verfahren nicht erfunden hat.

Für die Algebra markierte die Summa zugleich die Grenzen des damaligen Wissens. Pacioli schrieb Abkürzungen wie p̄ für più (plus) und m̄ für meno (minus), noch keine eigenen Rechenzeichen. Für Gleichungen wie x³ + mx = n sei beim gegenwärtigen Stand der Kunst eine allgemeine Lösung ebenso unmöglich wie die Quadratur des Kreises, stellte er fest. Genau diese Herausforderung nahmen seine Nachfolger an.

1496 holte Herzog Ludovico Sforza Pacioli nach Mailand, wo er sich mit Leonardo da Vinci anfreundete. Für Paciolis Schrift De divina proportione („Über die göttliche Proportion“, gedruckt 1509) zeichnete Leonardo rund 60 Ansichten von Vielflächnern. Das Buch behandelt das Teilungsverhältnis, das heute Goldener Schnitt heißt (etwa 1 : 1,618), und deutet es im Geist der Zeit als Abbild göttlicher Vollkommenheit.

Rechenmeister und Rechenbücher: Adam Ries und seine Vorgänger

Nördlich der Alpen trugen die Rechenmeister das Ziffernrechnen in breite Bevölkerungsschichten. Sie unterrichteten in Handelsstädten wie Nürnberg, Augsburg, Leipzig oder Erfurt in eigenen Rechenschulen und schrieben dafür Rechenbücher auf Deutsch. Ihr Publikum waren Kaufleute, Handwerker, Bergleute und Verwaltungsschreiber, die Preise, Löhne, Gewichte, Münzsorten und Zinsen berechnen mussten.

Eines der frühesten Rechenbücher schrieb der Leipziger Magister Johannes Widmann (um 1460–nach 1498). Seine Behende und hubsche Rechenung auff allen kauffmanschafft (Leipzig 1489) ist das erste gedruckte Buch, in dem die Zeichen + und − vorkommen. Widmann verwendete sie allerdings noch nicht als Rechenzeichen, sondern um Überschuss und Fehlbetrag zu kennzeichnen, etwa bei Gewichtsangaben. Als Zeichen für Addition und Subtraktion benutzte sie erst Heinrich Schreiber (Grammateus) 1518 in Wien. Widmann hielt 1486 in Leipzig auch die erste bekannte Algebra-Vorlesung an einer deutschen Universität.

Der bekannteste Rechenmeister ist Adam Ries (1492/1493–1559) aus Staffelstein in Franken. Nach einigen Jahren in Erfurt ließ er sich in Annaberg im Erzgebirge nieder, wo er eine Rechenschule führte und als Beamter im sächsischen Bergbau arbeitete. Sein erstes Buch, Rechnung auff der linihen (1518), lehrt das Rechnen auf dem Rechenbrett. Das zweite, Rechenung auff der linihen und federn (1522), stellt das Linienrechnen und das schriftliche Rechnen „mit der Feder“ nebeneinander; es erlebte weit über 100 Auflagen. 1550 folgte die umfangreiche Rechenung nach der lenge.

Ries schrieb klar, Schritt für Schritt und mit vielen Beispielen aus dem Alltag, und er schrieb auf Deutsch. Für Annaberg berechnete er eine Brotordnung, die Gewicht und Preis des Brotes an den Getreidepreis band. Daneben verfasste er 1524 eine umfangreiche Algebra, die „Coß“, die allerdings erst 1992 gedruckt wurde. Die Redewendung „nach Adam Riese“ für ein unanfechtbar richtiges Ergebnis ist seit dem 18. Jahrhundert belegt.

Die deutsche Coss: Rudolff und Stifel

Die Algebra hieß im deutschen Sprachraum Coss, nach dem italienischen cosa („Ding“) für die Unbekannte, das wiederum auf das arabische schai’ zurückgeht. Ihre Vertreter, die Cossisten, entwickelten eigene Zeichen für die Unbekannte und ihre Potenzen. 1525 veröffentlichte Christoff Rudolff in Straßburg das erste deutschsprachige Algebrabuch, Behend und hübsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre, so gemeincklich die Coß genennt werden. Darin erscheint erstmals im Druck das Zeichen √ für die Quadratwurzel, vermutlich entstanden aus einem kleinen r für radix („Wurzel“).

Der Theologe und Mathematiker Michael Stifel (um 1487–1567), ein Weggefährte Martin Luthers, gab Rudolffs Coss 1553 erweitert neu heraus. Sein Hauptwerk Arithmetica integra (Nürnberg 1544) ist die wichtigste deutsche Algebra des Jahrhunderts. Stifel rechnete mit negativen Zahlen, die er „absurde Zahlen“ nannte, und führte den Begriff Exponent ein. Er stellte eine arithmetische Folge (…, −1, 0, 1, 2, 3, …) einer geometrischen (…, ½, 1, 2, 4, 8, …) gegenüber und bemerkte, dass der Multiplikation in der einen Reihe die Addition in der anderen entspricht. Das ist die Grundidee der Logarithmen, die John Napier 1614 ausarbeitete.

Albrecht Dürer: Kunst und Geometrie

Wie eng Kunst und Mathematik in der Renaissance verbunden waren, zeigt Albrecht Dürer (1471–1528). Auf seinem Kupferstich Melencolia I von 1514, einer rätselhaften Allegorie der Melancholie mit Zirkel, Waage, Sanduhr und einem eigenartigen Vielflächner, hängt an der Wand ein magisches Quadrat der Ordnung 4. Es gilt als das erste, das in der europäischen Kunst abgebildet wurde.

Alle Zeilen, Spalten und beide Diagonalen ergeben 34. Dieselbe Summe liefern die vier Eckfelder (16 + 13 + 4 + 1), die vier Mittelfelder (10 + 11 + 6 + 7) und jedes der vier Viertel aus 2 × 2 Feldern. Je zwei Felder, die symmetrisch zum Mittelpunkt liegen, ergänzen sich zu 17. In der Mitte der untersten Zeile steht das Entstehungsjahr 1514.

1525 veröffentlichte Dürer die Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt, eines der ersten Geometriebücher in deutscher Sprache. Es richtet sich an Künstler und Handwerker und erklärt Konstruktionen von Spiralen und Kegelschnitten, Näherungskonstruktionen für regelmäßige Vielecke und die Zentralperspektive.

Der Streit um die kubische Gleichung

Die spektakulärste Entdeckung des Jahrhunderts ist die Lösungsformel für Gleichungen dritten Grades, auch kubische Gleichungen genannt. Quadratische Gleichungen konnte man seit al-Chwarizmi allgemein lösen. Für kubische kannte man nur Näherungsverfahren und die geometrischen Konstruktionen mit Kegelschnitten, die Omar Chayyam im 11. Jahrhundert angegeben hatte. Die Geschichte ihrer Lösung gehört zu den bekanntesten Kriminalgeschichten der Mathematik.

Del Ferro, Fior und Tartaglia

Um 1515 fand Scipione del Ferro (1465–1526), Professor in Bologna, ein Verfahren für Gleichungen der Form x³ + px = q. Er veröffentlichte es nicht. In einer Zeit, in der Gelehrte ihren Ruf und ihre Anstellung in öffentlichen Wettstreiten verteidigen mussten, war ein geheimes Verfahren bares Geld wert. Kurz vor seinem Tod verriet er es seinem Schüler Antonio Maria Fior.

Fior forderte 1535 den in Venedig lehrenden Rechenmeister Niccolò Tartaglia (1499/1500–1557) aus Brescia zu einem Wettstreit heraus; jeder stellte dem anderen 30 Aufgaben. Tartaglias Beiname bedeutet „Stotterer“: Bei der Plünderung Brescias 1512 hatte ihn ein französischer Soldat mit einem Säbel schwer im Gesicht verletzt. Tartaglia ahnte, dass Fior alles auf die kubische Gleichung setzen würde. In der Nacht zum 13. Februar 1535 fand er die Lösung selbst, löste alle Aufgaben Fiors in kurzer Zeit und gewann den Wettstreit deutlich.

Cardanos Ars Magna

Von Tartaglias Sieg hörte der Mailänder Arzt, Astrologe und Universalgelehrte Gerolamo Cardano (1501–1576). Er bedrängte Tartaglia so lange, bis dieser ihm im März 1539 die Lösung in Form eines Merkgedichts verriet, gegen das Versprechen, sie niemals zu veröffentlichen. Gemeinsam mit seinem Schüler Lodovico Ferrari (1522–1565) baute Cardano das Verfahren auf alle Fälle der kubischen Gleichung aus. 1543 sahen beide in Bologna del Ferros Aufzeichnungen und erfuhren, dass dieser die Lösung vor Tartaglia gefunden hatte. Cardano fühlte sich nun nicht mehr an sein Versprechen gebunden. 1545 veröffentlichte er die Lösung in seiner in Nürnberg gedruckten Ars Magna („Die große Kunst“) und nannte del Ferro und Tartaglia als Entdecker.

Die Lösungsformel für x³ + px = q heißt heute cardanische Formel:

Ferrari und die Gleichung vierten Grades

Ferrari gelang um 1540 noch mehr: Er führte die allgemeine Gleichung vierten Grades auf eine kubische Hilfsgleichung zurück und löste damit auch sie. Cardano nahm das Verfahren in die Ars Magna auf. Tartaglia fühlte sich betrogen und griff Cardano 1546 in seinem Buch Quesiti et inventioni diverse scharf an. Ferrari verteidigte seinen Lehrer in sechs gedruckten Herausforderungen, den Cartelli, und Tartaglia antwortete mit ebenso vielen. Am 10. August 1548 trafen beide in Mailand zu einer öffentlichen Disputation aufeinander. Tartaglia reiste nach dem ersten Tag ab, und Ferrari galt als Sieger.

Tartaglia blieb trotz allem ein bedeutender Mathematiker. Seine Nova scientia (1537) gilt als erstes Buch über die Mathematik der Geschossbahnen, 1543 veröffentlichte er die erste italienische Übersetzung Euklids, und in seinem großen Lehrbuch General trattato di numeri et misure (1556–1560) steht das Zahlendreieck der Binomialkoeffizienten, das in Italien bis heute „Tartaglia-Dreieck“ heißt. Cardano wiederum schrieb mit dem Liber de ludo aleae über das Würfelspiel eine der ersten Abhandlungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. Er verfasste sie um 1564, gedruckt wurde sie aber erst 1663.

Wurzeln aus negativen Zahlen: Cardano und Bombelli

Bei der Arbeit mit der neuen Formel stießen die Algebraiker auf etwas Unerhörtes: Wurzeln aus negativen Zahlen. Cardano stellte in der Ars Magna die Aufgabe, die Zahl 10 so in zwei Teile zu zerlegen, dass ihr Produkt 40 ist. Die Lösung lautet 5 + √−15 und 5 − √−15: Die Summe ist 10, das Produkt 25 − (−15) = 40. Cardano hielt solche Rechnungen für ebenso spitzfindig wie nutzlos, führte sie aber korrekt durch.

Unausweichlich wurden die neuen Zahlen im sogenannten casus irreducibilis: Hat eine kubische Gleichung drei reelle Lösungen, dann führt die cardanische Formel unweigerlich auf Wurzeln aus negativen Zahlen. Den Ausweg zeigte Rafael Bombelli (1526–1572) aus Bologna in seiner Algebra von 1572. Er stellte Rechenregeln für Ausdrücke mit √−1 auf, in seiner Sprache più di meno und meno di meno, und zeigte, dass man damit zu richtigen reellen Ergebnissen gelangt.

Bombelli bearbeitete außerdem eine wiederentdeckte Handschrift der Arithmetica des Diophant und nahm viele ihrer Aufgaben in sein Buch auf. Bis die komplexen Zahlen als vollwertige Zahlen anerkannt waren, vergingen allerdings noch mehr als zwei Jahrhunderte. Erst Leonhard Euler und Carl Friedrich Gauß verhalfen ihnen zum Durchbruch.

Neue Zeichen: Wie die Formelsprache entstand

Noch um 1500 wurde Algebra fast ausschließlich in Worten oder mit Abkürzungen geschrieben. Im Lauf des 16. Jahrhunderts setzten sich nach und nach Symbole durch, die wir bis heute verwenden, allerdings nicht auf einmal und nicht überall zugleich.

Das Gleichheitszeichen führte der walisische Arzt und Mathematiker Robert Recorde (um 1512–1558) in seinem Algebralehrbuch The Whetstone of Witte („Der Wetzstein des Verstandes“, 1557) ein. Er wollte nicht ständig „ist gleich“ ausschreiben und wählte zwei parallele Striche gleicher Länge, weil keine zwei Dinge einander gleicher sein könnten. Seine Striche waren noch deutlich länger als unser heutiges Zeichen, das sich erst im 17. Jahrhundert allgemein durchsetzte. Das Malkreuz × und das Divisionszeichen ÷ kamen ebenfalls erst im 17. Jahrhundert hinzu. Wie man heute mit dem Zeichen umgeht, erklärt die Seite über die Eigenschaften der Gleichheit.

François Viète und die Buchstabenrechnung

Den entscheidenden Schritt zur modernen Algebra machte der französische Jurist François Viète (1540–1603). Er diente den Königen Heinrich III. und Heinrich IV. als Rat und betrieb Mathematik neben seinem Beruf. In seiner In artem analyticem isagoge („Einführung in die analytische Kunst“, Tours 1591) bezeichnete er nicht nur die Unbekannten, sondern auch die gegebenen Größen mit Buchstaben: Vokale für Unbekannte, Konsonanten für Bekannte. Erst dadurch ließen sich Gleichungen allgemein behandeln. Statt unzähliger Zahlenbeispiele genügte eine Rechnung mit Buchstaben, die für alle Fälle gilt. Viète nannte das logistica speciosa, das Rechnen mit Arten, im Gegensatz zur logistica numerosa, dem Rechnen mit Zahlen.

Mit dieser Schreibweise fand Viète Zusammenhänge zwischen den Lösungen einer Gleichung und ihren Koeffizienten. Für eine quadratische Gleichung x² + px + q = 0 mit den Lösungen x₁ und x₂ gilt in heutiger Form der Satz von Vieta: x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q. Ähnliche Beziehungen stellte er für Gleichungen höheren Grades auf, wobei er nur positive Lösungen betrachtete. Mehr dazu steht auf der Seite über quadratische Gleichungen.

1593 veröffentlichte Viète die erste bekannte Darstellung der Kreiszahl π als unendliches Produkt:

Mit einem Vieleck aus 393.216 Ecken bestimmte er π außerdem auf zehn Stellen genau. Als der niederländische Mathematiker Adriaan van Roomen 1593 eine Gleichung 45. Grades als Herausforderung an die Mathematiker seiner Zeit veröffentlichte, erkannte Viète darin einen trigonometrischen Zusammenhang und gab rasch Lösungen an. Für Heinrich IV. entschlüsselte er abgefangene Briefe der spanischen Krone. König Philipp II. soll sich daraufhin beim Papst beschwert haben, die Franzosen stünden mit dem Teufel im Bund.

Simon Stevin und die Dezimalbrüche

Der flämische Ingenieur Simon Stevin (1548–1620), der im Dienst des Prinzen Moritz von Oranien Festungen und Schleusen plante, veröffentlichte 1585 das schmale Büchlein De Thiende („Das Zehntel“), im selben Jahr auch auf Französisch als La Disme. Darin zeigte er, wie man alle Bruchrechnungen mit Dezimalzahlen erledigen kann, als wären es ganze Zahlen. Seine Schreibweise war noch umständlich: Statt 3,14 schrieb er etwa 3⓪1①4②, also mit eingekreisten Stellenangaben. Das Dezimalkomma beziehungsweise den Dezimalpunkt machte erst John Napier im frühen 17. Jahrhundert populär. Stevin forderte auch dezimale Maße, Gewichte und Münzen; verwirklicht wurde das erst mit dem metrischen System nach der Französischen Revolution.

In seiner Arithmétique (1585) vertrat Stevin außerdem eine moderne Zahlauffassung. Es gebe keine „absurden“, „irrationalen“ oder „unerklärlichen“ Zahlen; auch Wurzeln wie √2 und negative Größen seien vollwertige Zahlen. Damit stellte er sich gegen eine Tradition, die seit der Antike nur die natürlichen Zahlen als eigentliche Zahlen gelten ließ.

Trigonometrie, Astronomie und Navigation

Die angewandte Mathematik erhielt im 16. Jahrhundert starke Impulse aus Astronomie, Kartografie und Seefahrt. 1543 erschien in Nürnberg das Hauptwerk des Nikolaus Kopernikus, De revolutionibus orbium coelestium, mit eigenen Kapiteln über ebene und sphärische Trigonometrie. Sein Schüler Georg Joachim Rheticus berechnete riesige Tafeln aller sechs Winkelfunktionen, die nach seinem Tod als Opus Palatinum (1596) erschienen. Der Heidelberger Theologe Bartholomäus Pitiscus prägte 1595 den Namen Trigonometrie.

Gemma Frisius beschrieb 1533 die Landvermessung durch Triangulation. Gerhard Mercator entwarf 1569 eine winkeltreue Weltkarte, auf der Kurse mit gleichbleibender Kompassrichtung als gerade Linien erscheinen. Der Jesuit Christophorus Clavius war maßgeblich an der Gregorianischen Kalenderreform von 1582 beteiligt. Um die gewaltigen Multiplikationen der Astronomen zu vereinfachen, nutzte man im Umkreis Tycho Brahes die Prosthaphärese: Mit Formeln wie cos a · cos b = ½ [cos(a − b) + cos(a + b)] ließ sich ein Produkt auf Additionen und Tabellenwerte zurückführen. Aus demselben Bedürfnis entwickelten Jost Bürgi und John Napier um 1600 unabhängig voneinander die Logarithmen.

Wichtige Persönlichkeiten

• Luca Pacioli (ca. 1447–1517): Summa (1494), doppelte Buchführung, De divina proportione
• Johannes Widmann (um 1460–nach 1498): Rechenbuch mit den ersten gedruckten Zeichen + und −
• Scipione del Ferro (1465–1526): erste Lösung der kubischen Gleichung x³ + px = q
• Albrecht Dürer (1471–1528): magisches Quadrat, Underweysung der Messung
• Michael Stifel (um 1487–1567): Arithmetica integra, Begriff Exponent
• Adam Ries (1492/1493–1559): deutschsprachige Rechenbücher
• Niccolò Tartaglia (1499/1500–1557): kubische Gleichung, Ballistik, Euklid-Übersetzung
• Gerolamo Cardano (1501–1576): Ars Magna (1545), Wurzeln negativer Zahlen, Glücksspielrechnung
• Robert Recorde (um 1512–1558): Gleichheitszeichen
• Lodovico Ferrari (1522–1565): Lösung der Gleichung vierten Grades
• Rafael Bombelli (1526–1572): Rechenregeln für komplexe Zahlen
• François Viète (1540–1603): Buchstabenrechnung, Satz von Vieta, Produktformel für π
• Simon Stevin (1548–1620): Dezimalbrüche, moderner Zahlbegriff

Zeitleiste der Mathematik im 16. Jahrhundert

1. 1489 Johannes Widmanns Rechenbuch enthält erstmals gedruckt die Zeichen + und −.
2. 1494 Luca Pacioli veröffentlicht die Summa mit der ersten gedruckten Darstellung der doppelten Buchführung.
3. um 1515 Scipione del Ferro löst die Gleichung x³ + px = q, hält das Verfahren aber geheim.
4. 1522 Adam Ries veröffentlicht sein Rechenbuch Rechenung auff der linihen und federn.
5. 1525 Christoff Rudolffs Coß führt das Wurzelzeichen ein; Dürer veröffentlicht seine Underweysung der Messung.
6. 1535 Tartaglia findet die Lösung der kubischen Gleichung und besiegt Fior im Wettstreit.
7. 1543 Kopernikus’ De revolutionibus erscheint in Nürnberg.
8. 1545 Cardanos Ars Magna macht die Lösungen der Gleichungen dritten und vierten Grades bekannt.
9. 1557 Robert Recorde führt das Gleichheitszeichen ein.
10. 1572 Rafael Bombellis Algebra erklärt das Rechnen mit Wurzeln aus negativen Zahlen.
11. 1585 Simon Stevin veröffentlicht De Thiende über Dezimalbrüche.
12. 1591 François Viète begründet in der Isagoge die Buchstabenrechnung.

Erbe: Der Weg ins 17. Jahrhundert

Um 1600 sah die Mathematik in Europa grundlegend anders aus als hundert Jahre zuvor. Die Algebra besaß Symbole, Gleichungen bis zum vierten Grad waren allgemein gelöst, und mit den Wurzeln aus negativen Zahlen war die Tür zu den komplexen Zahlen aufgestoßen. Ob sich auch Gleichungen fünften Grades durch Wurzelausdrücke lösen lassen, blieb offen; erst im 19. Jahrhundert bewiesen Niels Henrik Abel und Évariste Galois, dass das im Allgemeinen unmöglich ist.

Die Werkzeuge des 16. Jahrhunderts trugen unmittelbar Früchte. Stifels Vergleich von Zahlenfolgen und die Prosthaphärese der Astronomen führten 1614 zu Napiers Logarithmen. Viètes Buchstabenrechnung wurde zur Grundlage der analytischen Geometrie, die René Descartes und Pierre de Fermat entwickelten, und damit auch der Infinitesimalrechnung von Newton und Leibniz. Die Rechenbücher von Adam Ries und seinen Kollegen prägten den Rechenunterricht in deutschen Schulen über Generationen. Die Wurzeln dieser Entwicklung reichen zurück zu den Abakusschulen und Übersetzungen der mittelalterlichen europäischen Mathematik und zur Algebra al-Chwarizmis.

Häufige Fragen

Wer hat das Plus- und das Minuszeichen erfunden?

Erstmals gedruckt erscheinen + und − 1489 im Rechenbuch des Leipzigers Johannes Widmann, dort noch als Zeichen für Überschuss und Fehlbetrag. Als Rechenzeichen für Addition und Subtraktion verwendete sie 1518 Heinrich Schreiber in Wien. Luca Pacioli schrieb dagegen noch p̄ und m̄.

Wer hat die kubische Gleichung gelöst?

Als Erster fand Scipione del Ferro um 1515 eine Lösung, die er geheim hielt. Niccolò Tartaglia entdeckte sie 1535 unabhängig davon neu. Veröffentlicht und auf alle Fälle ausgedehnt hat sie Gerolamo Cardano 1545 in der Ars Magna, weshalb sie heute cardanische Formel heißt.

Was bedeutet „nach Adam Riese“?

Die Redewendung bedeutet „richtig gerechnet“ und erinnert an den Rechenmeister Adam Ries (1492/1493–1559), dessen deutschsprachige Rechenbücher im 16. und 17. Jahrhundert weit verbreitet waren. Belegt ist sie seit dem 18. Jahrhundert.

Seit wann gibt es das Gleichheitszeichen?

Robert Recorde führte das Zeichen = 1557 in seinem Lehrbuch The Whetstone of Witte ein. Allgemein durchgesetzt hat es sich erst im Lauf des 17. Jahrhunderts.

Quellen und weiterführende Literatur

• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• Victor J. Katz: A History of Mathematics. An Introduction, 3. Auflage, Addison-Wesley, Boston 2009.
• Florian Cajori: A History of Mathematical Notations, 2 Bände, Open Court, Chicago 1928–1929.
• Girolamo Cardano: The Great Art or The Rules of Algebra, übersetzt und herausgegeben von T. Richard Witmer, MIT Press, Cambridge (Massachusetts) 1968.
• MacTutor History of Mathematics: Quadratic, cubic and quartic equations (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: François Viète (englisch)