Gauß-Verfahren für lineare Gleichungs­systeme

Das Gauß-Verfahren (auch Gaußsches Eliminationsverfahren) löst lineare Gleichungssysteme in einem festen Schema. Bei zwei Unbekannten reicht das Additionsverfahren. Bei drei oder mehr Unbekannten wird das Hin- und Herrechnen schnell unübersichtlich. Das Gauß-Verfahren ordnet es: Du entfernst die Unbekannten Schritt für Schritt, bis eine „Treppe“ entsteht, die du von unten nach oben auflöst.

Auf dieser Seite lernst du die Stufenform, die Matrixschreibweise und die erlaubten Umformungen. Danach rechnest du ein System mit drei Unbekannten durch. Du erkennst die Sonderfälle ohne Lösung und mit unendlich vielen Lösungen und siehst, was sie im Raum bedeuten. Wenn du lineare Gleichungssysteme noch nicht kennst, beginne bei den Linearen Gleichungssystemen. Dort steht auch ein erstes Beispiel mit drei Gleichungen.

Die Idee: von der Stufenform zur Lösung

Stell dir vor, ein System hätte diese Gestalt: In der letzten Gleichung steht nur noch z, in der vorletzten nur y und z, in der ersten alle drei. Dann löst du sofort die letzte Gleichung, setzt das Ergebnis in die vorletzte ein und so weiter. Eine solche Gestalt heißt Stufenform, bei quadratischen Systemen auch Dreiecksform. Das Gauß-Verfahren macht aus jedem System eine Stufenform, ohne die Lösungen zu verändern.

Matrixschreibweise und erlaubte Umformungen

Die Variablen x, y und z schleppst du beim Umformen nur mit. Wichtig sind die Zahlen. Darum schreibst du sie als erweiterte Koeffizientenmatrix auf: links die Zahlen vor den Variablen, rechts vom senkrechten Strich die Zahlen rechts vom Gleichheitszeichen. Jede Zeile gehört zu einer Gleichung, jede Spalte zu einer Variablen.

Das System $x+2y-z=-3$, $2x+y+z=6$, $-x+3y+2z=1$ wird zu

Auch eine 1 steht in der Matrix. Fehlt eine Variable, schreibst du eine 0. Zum Umformen sind genau drei Schritte erlaubt. Jeder ändert die Lösungsmenge nicht und lässt sich rückgängig machen:

1. Zeilen vertauschen. Die Reihenfolge der Gleichungen ist egal.
2. Eine Zeile mit einer Zahl ungleich null multiplizieren. Das ist eine Gleichung mit beiden Seiten malnehmen. Die Zahl hinter dem Strich gehört dazu.
3. Ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren. Das ist das Additionsverfahren.

Schritt für Schritt mit drei Unbekannten

Wir lösen das System von oben. Zuerst sorgst du dafür, dass in der ersten Spalte unter dem Pivot 1 nur Nullen stehen. Dann machst du dasselbe in der zweiten Spalte unter dem nächsten Pivot.

1. Spalte 1 leeren: Zeile II minus 2 mal Zeile I und Zeile III plus Zeile I.

2. Pivot vereinfachen: Zeile II durch −3 teilen. Das macht den Pivot zu 1 und die Zahlen klein.

3. Spalte 2 leeren: Zeile III minus 5 mal Zeile II.

Das ist die Stufenform. Jetzt löst du von unten nach oben auf. Die letzte Zeile heißt $6z=18$, also $z=3$. Die mittlere Zeile heißt $y-z=-4$, also $y=-4+3=-1$. Die erste Zeile heißt $x+2y-z=-3$, also $x=-3+2+3=2$. Die Lösung ist $(2|-1|3)$.

Man kann auch weiterrechnen, bis links eine Einheitsmatrix steht: Zeile III durch 6, dann Zeile II plus Zeile III, dann Zeile I plus Zeile III und zuletzt Zeile I minus 2 mal Zeile II. Es entsteht $\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& |& 2\\ 0& 1& 0& |& -1\\ 0& 0& 1& |& 3\end{array}\right)$ und die Lösung steht direkt da. Das heißt Gauß-Jordan-Verfahren. Auch der Gleichungssystem-Rechner arbeitet so.

Der Ablauf bleibt immer gleich: Pivot wählen (bei 0 Zeilen tauschen), darunter alles zu null machen, zur nächsten Spalte gehen, bis die Stufenform steht, dann rückwärts auflösen.

Wenn es keine Lösung gibt

Nicht jedes System hat eine Lösung. Nimm $x+y+z=6$, $x-y+2z=5$, $2x+3z=12$. Zeile II minus Zeile I und Zeile III minus 2 mal Zeile I geben

Zeile III minus Zeile II ergibt die Zeile $\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& |& 1\end{array}\right)$, also die Gleichung $0=1$. Das ist falsch, egal welche Zahlen du für x, y und z wählst. Das System hat keine Lösung. Merke dir das Muster: links nur Nullen, rechts eine Zahl ungleich null.

Unendlich viele Lösungen mit Parameter

Ändere im letzten Beispiel nur die Zahl rechts unten: $2x+3z=11$ statt 12. Dieselben Schritte führen zu

Die letzte Zeile $0=0$ ist immer wahr, sie sagt nichts mehr aus. Es bleiben zwei Gleichungen für drei Unbekannte, und eine Variable darf frei gewählt werden. Du nennst sie Parameter. Setze zum Beispiel $y=t$ mit einer beliebigen reellen Zahl t. Aus der zweiten Zeile $-2y+z=-1$ folgt $z=2t-1$. Die erste Zeile gibt $x=6-t-(2t-1)=7-3t$.

Bleibt von drei Gleichungen nur eine übrig, sind zwei Variablen frei. Aus $x+2y-z=4$ folgt mit $y=s$ und $z=t$ die Lösung $x=4-2s+t$.

Die Anzahl der Zeilen, die nicht nur aus Nullen bestehen, heißt Rang. Mit n Unbekannten und dem Rang r gibt es im lösbaren Fall n − r Parameter. Hat ein System weniger Gleichungen als Unbekannte (unterbestimmt), gibt es nie genau eine Lösung. Hat es mehr Gleichungen als Unbekannte (überbestimmt), hat es meistens keine Lösung, aber nicht immer. Ein Beispiel: $x+y=3$, $x-y=1$, $2x+y=5$ haben die gemeinsame Lösung $(2|1)$.

Geometrische Deutung: Ebenen im Raum

Jede Gleichung $ax+by+cz=d$ beschreibt eine Ebene im Raum (siehe Koordinatenform). Die Lösungen des Systems sind die Punkte, die auf allen drei Ebenen liegen. Je nach Lage der Ebenen gibt es drei typische Bilder.

• Ein Schnittpunkt: Die drei Ebenen schneiden sich wie die drei Wände einer Zimmerecke. Das ist der Normalfall mit genau einer Lösung.
• Eine Schnittgerade: Die drei Ebenen gehen durch eine gemeinsame Gerade, wie die Seiten eines aufgeschlagenen Buches. Das sind unendlich viele Lösungen mit einem Parameter.
• Kein gemeinsamer Punkt: Die Ebenen bilden ein Dreiecksprisma, oder zwei von ihnen sind parallel. Das System hat keine Lösung.

Ein vierter Fall: Alle drei Gleichungen beschreiben dieselbe Ebene. Dann ist die Lösungsmenge eine Ebene mit zwei Parametern. Das Beispiel mit unendlich vielen Lösungen oben ist die Gerade $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ -1\end{array}\right)+t·\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 2\end{array}\right)$. Die Parameterform kennst du von den Geraden im Raum. Der Richtungsvektor steht senkrecht auf den Normalenvektoren aller drei Ebenen: $(1|1|1)·(-3|1|2)=0$, $(1|-1|2)·(-3|1|2)=0$ und $(2|0|3)·(-3|1|2)=0$. Zwei Ebenen allein behandelt die Seite zur Lage zweier Ebenen.

Anwendungen

• Steckbriefaufgaben: Eine Funktion aus Punkten und Eigenschaften bestimmen, siehe Hoch- und Tiefpunkt mit dem Gauß-Verfahren. Der Steckbrief-Rechner macht das mit exakten Brüchen.
• Ebene durch drei Punkte: Setzt du die Punkte in $ax+by+cz=d$ ein, entsteht ein System für a, b, c, d.
• Chemie: Reaktionsgleichungen ausgleichen, etwa $a\text{C₃H₈}+b\text{O₂}\to c\text{CO₂}+d\text{H₂O}$. Die Atomzahlen geben $3a=c$, $8a=2d$ und $2b=2c+d$. Das sind drei Gleichungen für vier Unbekannte, also ein Parameter. Mit $a=1$ folgt $c=3$, $d=4$ und $b=5$.
• Elektrotechnik: Die Kirchhoffschen Regeln für Ströme in Netzwerken führen zu Gleichungssystemen mit vielen Unbekannten.
• Rechnen am Computer: Große Systeme mit Tausenden Unbekannten werden nach demselben Prinzip gelöst, mit zusätzlichen Tricks gegen Rundungsfehler. Die Matrixsicht steht bei den Matrizen.

Übungen

Mehr Aufgaben mit immer neuen Zahlen findest du im Arbeitsblatt Gauß-Verfahren üben. Für zwei Unbekannte gibt es das Blatt Gleichungssysteme üben.

Geschichte: von den Zählstäbchen zur Matrix

Das Verfahren ist viel älter als Gauß. Das chinesische Rechenbuch Neun Kapitel der Rechenkunst löst im Kapitel Fangcheng Systeme mit drei Unbekannten durch genau diese Umformungen, mit Zählstäbchen auf dem Rechenbrett. Den Kommentar dazu schrieb Liu Hui im Jahr 263. Mehr steht in der Epoche Chinesische Mathematik. In Europa enthielt schon 1759 eine Arbeit von Lagrange die wesentlichen Elemente des Verfahrens.

Seinen Namen hat das Verfahren von Carl Friedrich Gauß. Er benutzte es, um Bahnen von Himmelskörpern aus Messungen zu bestimmen, so beim Kleinplaneten Pallas, und beschrieb es 1810 in einer Abhandlung. Die kurze Schreibweise mit Matrizen kam erst später auf: Das Wort „Matrix“ prägte 1850 James Joseph Sylvester, und Arthur Cayley entwickelte 1858 die Rechenregeln. Die weitere Geschichte der Gleichungssysteme steht bei den Linearen Gleichungssystemen.

Häufige Fragen

Wenn du die Zahlen mit dem Computer prüfen willst, hilft der Gleichungssystem-Rechner. Wie Matrizen allgemein funktionieren, zeigt die Seite Matrizen.

Quellen und weiterführende Literatur

• Kangshen Shen, John N. Crossley, Anthony W.-C. Lun: The Nine Chapters on the Mathematical Art. Companion and Commentary, Oxford University Press, Oxford 1999.
• Carl Friedrich Gauß: Disquisitio de elementis ellipticis Palladis, Göttingen 1810.
• Wikipedia: Gaußsches Eliminationsverfahren
• MacTutor History of Mathematics: Carl Friedrich Gauss (englisch)