Symmetrie und Abbildungen

Ein Schmetterling, ein Blatt, ein Schneekristall und der Buchstabe A haben etwas gemeinsam: Nach einer passenden Bewegung sehen sie wieder genauso aus wie vorher. Diese Eigenschaft heißt Symmetrie. Das Wort kommt aus dem Griechischen und bedeutet „Ebenmaß“.

Hier lernst du die drei Arten von Symmetrie kennen: Achsensymmetrie, Punktsymmetrie und Drehsymmetrie. Danach siehst du, wie Spiegeln, Drehen und Verschieben als Abbildungen funktionieren und wie du sie im Koordinatensystem berechnest. Eine knappe Übersicht steht im Abschnitt Symmetrie der Seite Geometrie.

Achsensymmetrie: Spiegeln an einer Geraden

Falte ein Blatt Papier, zeichne eine halbe Figur an die Faltkante und schneide sie aus. Beim Auffalten erhältst du eine achsensymmetrische Figur. Die Faltkante heißt Symmetrieachse. Die beiden Hälften sind Bild und Spiegelbild.

Manche Figuren haben mehrere Achsen, manche keine. Das Parallelogramm hat keine Achse, obwohl eine Diagonale es in zwei gleiche Dreiecke teilt. Diese Dreiecke sind nicht spiegelbildlich, sondern um 180° gedreht.

Ein Spiegelbild konstruieren

So zeichnest du das Spiegelbild eines Dreiecks ABC an einer Achse a:

1. Fälle von jeder Ecke das Lot auf die Achse, zum Beispiel mit dem Geodreieck (Lot fällen).
2. Miss den Abstand der Ecke zur Achse, also die Länge des Lots.
3. Trage dieselbe Länge hinter der Achse auf dem Lot ab. So entsteht der Bildpunkt.
4. Verbinde A′, B′ und C′ in derselben Reihenfolge.

Beim Spiegeln bleiben Längen und Winkel gleich. Nur der Umlaufsinn dreht sich um: Läufst du im Dreieck ABC gegen den Uhrzeigersinn, läufst du im Bilddreieck A′B′C′ im Uhrzeigersinn. Deshalb erscheint Schrift im Spiegel verkehrt herum.

Punktsymmetrie: die halbe Drehung

Drehe ein Parallelogramm aus Pappe um seinen Mittelpunkt um eine halbe Umdrehung, also um 180°. Es passt wieder genau in den Rahmen, aus dem du es genommen hast. Solche Figuren heißen punktsymmetrisch. Der Punkt, um den du drehst, ist das Symmetriezentrum Z.

Anders als bei der Achsenspiegelung bleibt bei der Punktspiegelung der Umlaufsinn erhalten. Das Bild eines Dreiecks läuft also im gleichen Drehsinn wie das Original.

Drehsymmetrie

Ein Windrad mit drei gleichen Flügeln passt nach einer Drehung um 120° wieder auf sich selbst, aber es hat keine Spiegelachse. Solche Figuren heißen drehsymmetrisch. Der Punkt, um den du drehst, ist das Drehzentrum. Der kleinste Winkel, um den du die Figur drehen kannst, heißt Drehwinkel.

Passt die Figur bei einer vollen Umdrehung genau n-mal auf sich selbst, heißt sie n-zählig. Der Drehwinkel ist dann 360° : n. Das Windrad ist 3-zählig, das Quadrat 4-zählig und das Parallelogramm 2-zählig. Der Kreis passt nach jeder Drehung auf sich selbst.

Symmetrie bei Vielecken, Buchstaben und Verkehrszeichen

Vielecke

Bei regelmäßigen Vielecken sind alle Seiten und alle Winkel gleich. Sie haben besonders viele Symmetrien.

Auch bei anderen Figuren hilft die Symmetrie. Ein gleichschenkliges Dreieck hat eine Achse, nämlich die Höhe auf die Basis. Ein ungleichseitiges Dreieck hat keine. Die Symmetrien der Vierecke stehen in der Tabelle im Haus der Vierecke. Der Kreis hat unendlich viele Achsen, nämlich jede Gerade durch den Mittelpunkt, und er passt nach jeder Drehung um den Mittelpunkt auf sich selbst.

Buchstaben

Die Tabelle hängt von der Schriftart ab. H, I, O und X haben alle drei Symmetrien.

Verkehrszeichen

In der Tabelle zählt nur die Form des Schildes, nicht das Bild darauf.

Abbildungen: Spiegeln, Drehen, Verschieben

Eine Abbildung ordnet jedem Punkt P der Ebene einen Bildpunkt P′ zu. Spiegelung, Punktspiegelung, Drehung und Verschiebung sind besondere Abbildungen: Original und Bild sind kongruent, also gleich groß und gleich geformt. Längen, Winkel und Flächeninhalte bleiben erhalten (Kongruenzabbildungen).

Ein Fixpunkt wird auf sich selbst abgebildet. Drehwinkel zählen gegen den Uhrzeigersinn positiv. Die Punktspiegelung ist eine Drehung um 180°.

Abbildungen im Koordinatensystem

Im Koordinatensystem kannst du Abbildungen rechnen. Die Tabelle sammelt die wichtigen Regeln, dazu kommen die Drehungen um den Ursprung.

Du kannst Abbildungen auch hintereinander ausführen. Spiegelst du erst an der y-Achse und dann an der x-Achse, so wird aus (x|y) zuerst (−x|y) und dann (−x|−y). Das ist die Punktspiegelung am Ursprung.

Die Spiegelung an der Geraden y = x vertauscht x und y. Sie hat eine wichtige Anwendung: Der Graph der Umkehrfunktion entsteht aus dem Graphen der Funktion durch Spiegeln an dieser Geraden. Zum Beispiel liegt (2|4) auf dem Graphen von x², und (4|2) liegt auf dem Graphen der Wurzelfunktion.

Ausblick: Symmetrie bei Funktionsgraphen

Auch Graphen von Funktionen können symmetrisch sein. Du prüfst es, indem du x durch −x ersetzt.

Bei den ganzrationalen Funktionen erkennst du die Symmetrie schon an den Exponenten.

Symmetrie in Natur, Kunst und Technik

In der Natur kommt Symmetrie oft vor, aber nie ganz exakt. Schmetterlingsflügel, Blätter und der Körper vieler Tiere sind annähernd spiegelsymmetrisch. Viele Blüten und Seesterne sind drehsymmetrisch. Eine Schneeflocke hat meistens sechs Arme und ist damit 6-zählig drehsymmetrisch.

In Kunst und Technik nutzt man Symmetrie bewusst: Kirchenfenster mit Rosetten, Mandalas, Zahnräder und Fliesenmuster sind dreh- oder achsensymmetrisch.

Parkette

Ein Parkett ist eine lückenlose Überdeckung der Ebene mit Vielecken. Mit nur einer Sorte regelmäßiger Vielecke gelingt das genau dreimal, denn an jeder Ecke müssen die Winkel zusammen 360° ergeben (Winkelsumme): 6 · 60° mit Dreiecken, 4 · 90° mit Quadraten und 3 · 120° mit Sechsecken. Regelmäßige Fünfecke gehen nicht. Ihr Winkel ist 108°, und 360° : 108° ≈ 3,33 ist keine ganze Zahl.

Ausblick: Symmetriegruppen

Führst du zwei Symmetrien einer Figur hintereinander aus, ist das Ergebnis wieder eine Symmetrie dieser Figur. Beim Rechteck gibt es vier Symmetrien: das Nichtstun, die Spiegelung an der senkrechten Achse, die Spiegelung an der waagerechten Achse und die Drehung um 180°. Spiegelst du nacheinander an beiden Achsen, erhältst du die Drehung um 180°.

Zwei Spiegelungen an Achsen, die sich unter dem Winkel α schneiden, ergeben zusammen eine Drehung um 2 · α. Die Mittelachsen des Rechtecks schneiden sich unter 90°, das ergibt 180°. Eine Mittelachse und eine Diagonalachse des Quadrats schneiden sich unter 45°, das ergibt 90°. Parallele Achsen mit dem Abstand d ergeben eine Verschiebung um 2 · d.

Mathematiker fassen alle Symmetrien einer Figur zu einer Gruppe zusammen. Die sechs Symmetrien des gleichseitigen Dreiecks sind das Standardbeispiel auf der Seite Gruppentheorie.

Auch Muster lassen sich ordnen. Borten, die sich in einer Richtung endlos wiederholen, gibt es in genau 7 Typen (Friesgruppen). Muster, die die Ebene in zwei Richtungen füllen, gibt es in genau 17 Typen (Ornamentgruppen). Darin kommen nur 2-, 3-, 4- und 6-zählige Drehzentren vor, so wie bei den Parketten oben.

Typische Fehler

Übungen

Zum Weiterüben gibt es das Arbeitsblatt Achsensymmetrie: Übungen mit Kästchenbildern.

Geschichte: vom Ebenmaß zur Gruppe

Das griechische Wort symmetria setzt sich aus syn („zusammen“) und metron („Maß“) zusammen. In der Antike meinte es vor allem das stimmige Maßverhältnis der Teile eines Ganzen, etwa an einem Bauwerk. Unsere Spiegel- und Drehsymmetrie ist eine spätere Bedeutung. Johannes Kepler fragte 1611 in einer kleinen Schrift, warum Schneeflocken sechs Ecken haben.

Lange vor jeder Theorie beherrschten Handwerker die Symmetrie. Sternmuster und Flechtbänder islamischer Bauten wurden mit Zirkel und Lineal konstruiert, mehr steht im Abschnitt Geometrie in Kunst und Architektur der Seite Islamische Mathematik. Der Künstler M. C. Escher besuchte 1922 und 1936 die Alhambra in Granada, studierte die Mosaike und entwarf danach Parkette aus Vögeln, Echsen und anderen Tieren.

Die Mathematik fand die Ordnung später. Felix Klein schlug 1872 im Erlanger Programm vor, jede Geometrie durch die Abbildungen zu beschreiben, die ihre Eigenschaften unverändert lassen. Für die Ebene beantwortete der russische Kristallograph Jewgraf Fjodorow 1891 die Frage nach den Mustertypen: Es gibt genau 17. Emmy Noether bewies 1918, dass zu jeder kontinuierlichen Symmetrie der Naturgesetze eine Erhaltungsgröße gehört, etwa die Energie. Mehr dazu steht auf der Seite Emmy Noether. Der Mathematiker Hermann Weyl beschrieb 1952 in seinem Buch Symmetry die Bedeutung des Begriffs für Kunst, Natur und Wissenschaft.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Achsensymmetrie und Punktsymmetrie?

Bei der Achsensymmetrie spiegelst du die Figur an einer Geraden. Bei der Punktsymmetrie drehst du sie um 180° um einen Punkt. Das Rechteck hat beides, das Parallelogramm nur die Punktsymmetrie, der Drachen nur die Achsensymmetrie.

Warum haben Schneeflocken sechs Arme?

Eiskristalle bauen sich aus Wassermolekülen in einem Muster aus Sechsecken auf. Deshalb wachsen sechs gleichartige Arme. Weil jede Flocke auf ihrem Weg durch die Luft etwas andere Bedingungen erlebt, sind echte Flocken selten perfekt symmetrisch.

Quellen und weiterführende Literatur

• Hermann Weyl: Symmetry, Princeton University Press, Princeton 1952.
• Wikipedia: Symmetrie (Geometrie)
• Wikipedia: Spiegelung (Geometrie)
• Wikipedia: Friesgruppe