Leonhard Euler

Leonhard Euler (1707–1783) war ein Schweizer Mathematiker und Physiker und gilt als der produktivste Mathematiker der Geschichte. Geboren in Basel, wirkte er fast sein ganzes Berufsleben an den Akademien in Sankt Petersburg und Berlin. Von ihm sind 866 Schriften bekannt: Bücher, Abhandlungen und Aufsätze zu nahezu allen Gebieten der Mathematik, dazu zu Mechanik, Astronomie, Optik, Schiffbau und Musiktheorie.

Viele Begriffe, die heute zum Schulstoff gehören, tragen seinen Namen oder seine Handschrift: die Eulersche Zahl e, die Eulersche Formel und die berühmte Eulersche Identität e^iπ + 1 = 0, der Polyedersatz E − K + F = 2 und die Schreibweise f(x) für Funktionen. Mit der Lösung des Königsberger Brückenproblems legte er den Grundstein der Graphentheorie, mit der Lösung des Basler Problems wurde er als 28-Jähriger in ganz Europa bekannt. Erstaunlich ist, dass fast die Hälfte seines Werks entstand, als er bereits nahezu blind war.

Kindheit und Ausbildung in Basel

Leonhard Euler kam am 15. April 1707 in Basel als ältestes Kind des Pfarrers Paul Euler und der Pfarrerstochter Margaretha Brucker zur Welt. Kurz darauf zog die Familie ins nahe Riehen, wo der Vater eine Pfarrstelle übernahm. Paul Euler hatte selbst bei Jakob Bernoulli Mathematik gehört und gab seinem Sohn den ersten Unterricht.

Mit 13 Jahren schrieb er sich 1720 an der Universität Basel ein. Der Vater wünschte sich einen Theologen, doch Johann Bernoulli, der führende Mathematiker auf dem Kontinent, erkannte die Begabung des Jungen. Er gab ihm keine regulären Stunden, sondern empfing ihn samstags, um Fragen zu besprechen, die Euler sich in der Woche erarbeitet hatte. Bernoulli überzeugte schließlich auch den Vater, Leonhard der Mathematik zu überlassen (mehr zur Familie auf der Seite über die Brüder Jakob und Johann Bernoulli).

1723 erwarb Euler mit einer Arbeit, die die Naturphilosophie von Descartes und Newton verglich, den Magistergrad. 1727 reichte er bei der Pariser Akademie eine Preisschrift über die beste Anordnung von Schiffsmasten ein und erhielt eine ehrenvolle Erwähnung; später gewann er diesen damals wichtigsten Wissenschaftspreis Europas zwölfmal. Eine Bewerbung um die Basler Physikprofessur scheiterte dagegen. So nahm der 19-Jährige ein Angebot aus Russland an.

Erste Jahre in Sankt Petersburg (1727–1741)

Die nach Plänen Peters des Großen 1725 eröffnete Akademie in Sankt Petersburg lockte ausländische Gelehrte mit guten Gehältern. Das war typisch für die Mathematik des 18. Jahrhunderts, die vor allem an Akademien betrieben wurde. Daniel Bernoulli, ein Sohn Johanns, arbeitete bereits dort und vermittelte Euler eine Stelle. Als Euler am 17. Mai 1727 ankam, war gerade Zarin Katharina I. gestorben, und die Akademie geriet in unruhige Zeiten. Euler setzte sich dennoch rasch durch: 1731 wurde er Professor für Physik, 1733 übernahm er als Nachfolger Daniel Bernoullis die Professur für Mathematik.

1734 heiratete er Katharina Gsell, die Tochter eines Schweizer Malers. Das Paar bekam 13 Kinder, von denen nur fünf das Kindesalter überlebten. Euler soll erzählt haben, einige seiner besten Einfälle seien ihm mit einem Säugling auf dem Arm gekommen, während die übrigen Kinder um ihn herum spielten. 1738 verlor er nach einer schweren Erkrankung weitgehend die Sehkraft des rechten Auges; er selbst machte die anstrengende Arbeit an Landkarten dafür verantwortlich.

In diesen Jahren entstanden die ersten großen Erfolge: die Lösung des Basler Problems, die Abhandlung über die Königsberger Brücken und das Lehrbuch Mechanica (1736), das Newtons Bewegungslehre konsequent mit den Mitteln der Analysis darstellte. Zugleich begann der Briefwechsel mit Christian Goldbach, der Eulers Interesse an der Zahlentheorie weckte und über Jahrzehnte andauerte.

Die Berliner Jahre (1741–1766)

Die politischen Wirren nach dem Tod der Zarin Anna veranlassten Euler 1741, einem Ruf Friedrichs II. an die Akademie in Berlin zu folgen. In 25 Jahren schrieb er dort über 380 Arbeiten. Hier erschienen seine großen Lehrbücher: die Methodus inveniendi lineas curvas (1744), mit der die Variationsrechnung als eigenes Gebiet entstand, die zweibändige Introductio in analysin infinitorum (1748) und die Institutiones calculi differentialis (1755). Daneben beaufsichtigte er Sternwarte und Botanischen Garten und begutachtete für den König Kanäle, Wasserspiele und Lotterien.

Einem breiten Publikum wurde er durch seine Briefe an eine deutsche Prinzessin bekannt: Anfang der 1760er-Jahre schrieb er über 200 Briefe an die Prinzessin Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt, in denen er Physik, Astronomie und Philosophie allgemeinverständlich erklärte. Das Buch wurde erfolgreicher als jedes seiner Fachwerke.

Das Verhältnis zu Friedrich II. blieb kühl. Der König schätzte geistreiche Unterhalter wie Voltaire und nannte den frommen, zurückhaltenden Euler spöttisch seinen „Zyklopen“. Als Friedrich nach dem Tod des Akademiepräsidenten Maupertuis Euler bei der Nachfolge überging, bat dieser um seine Entlassung. Erst beim zweiten Gesuch ließ der König ihn ziehen. Eulers Berliner Stelle übernahm 1766 Joseph-Louis Lagrange, mit dem er zuvor die Variationsrechnung ausgebaut hatte.

Rückkehr nach Russland und späte Jahre (1766–1783)

Katharina die Große holte Euler 1766 unter großzügigen Bedingungen nach Sankt Petersburg zurück. Kurz danach wurde am linken Auge ein Grauer Star festgestellt. Eine Operation 1771 half nur für wenige Tage; danach war Euler fast völlig blind. Im selben Jahr zerstörte ein Stadtbrand sein Haus. Euler wurde gerettet, ebenso der größte Teil seiner Manuskripte, doch Bibliothek und Möbel verbrannten. 1773 starb seine Frau Katharina; 1776 heiratete er ihre Halbschwester Salome Abigail Gsell.

Trotz dieser Schläge arbeitete Euler weiter, als sei nichts geschehen. Er rechnete im Kopf und diktierte seinen Söhnen und Mitarbeitern wie Anders Johan Lexell und Nikolaus Fuss. Sein Gedächtnis war legendär: Zeitgenossen berichten, er habe Vergils Aeneis vollständig auswendig gekannt. In dieser Zeit entstanden unter anderem die Vollständige Anleitung zur Algebra (1770), eines der erfolgreichsten Algebra-Lehrbücher überhaupt, und eine umfangreiche Mondtheorie (1772).

Am 18. September 1783 gab Euler einem Enkel Mathematikunterricht, rechnete an der Bewegung von Heißluftballonen und sprach mit Lexell und Fuss über die Bahn des kurz zuvor entdeckten Planeten Uranus. Am Nachmittag erlitt er eine Hirnblutung und starb am späten Abend. Der französische Mathematiker und Philosoph Condorcet schloss seinen Nachruf mit einem berühmt gewordenen Satz:

„… er hörte auf zu rechnen und zu leben.“

Eulers mathematische Notation

Über Eulers viel gelesene Lehrbücher setzten sich seine Schreibweisen in ganz Europa durch. Manche Symbole benutzte er nicht als Erster, aber er machte sie zum Standard.

Eine Korrektur gegenüber verbreiteten Darstellungen: Die Gewohnheit, bekannte Größen mit a, b, c und Unbekannte mit x, y, z zu bezeichnen, stammt nicht von Euler, sondern von René Descartes (La Géométrie, 1637). Wichtiger als einzelne Zeichen war Eulers Funktionsbegriff: In der Introductio von 1748 stellte er die Funktion und nicht mehr die geometrische Kurve ins Zentrum der Analysis.

Die Eulersche Zahl e

Die Zahl e ≈ 2,71828 ist neben π die wichtigste Konstante der Mathematik. Jakob Bernoulli war bei Zinseszinsfragen auf sie gestoßen: Legt man 1 € zu 100 % Jahreszins an und verzinst immer häufiger, wächst das Guthaben nicht beliebig, sondern nähert sich einer Grenze. Bei jährlicher Verzinsung erhält man 2 €, bei monatlicher (1 + 1/12)¹² ≈ 2,613 €, bei täglicher (1 + 1/365)³⁶⁵ ≈ 2,715 € und bei „stetiger“ Verzinsung genau e Euro.

Euler benutzte den Buchstaben e erstmals 1727 oder 1728 in einem Manuskript über Geschütze und 1731 in einem Brief an Goldbach; gedruckt erschien er 1736 in der Mechanica. Ob er dabei an seinen eigenen Namen dachte, ist nicht überliefert. Euler zeigte, dass sich e auf zwei Arten darstellen lässt:

Die Reihe rechts konvergiert sehr schnell: Schon die ersten sieben Summanden liefern 2,7181. In der Introductio gab Euler e auf 23 Nachkommastellen an, und 1737 bewies er mithilfe von Kettenbrüchen, dass e irrational ist. Vor allem erkannte er e als natürliche Basis von Exponentialfunktion und Logarithmus.

Eulersche Formel und Eulersche Identität

In der Introductio von 1748 verband Euler die Exponentialfunktion mit den Winkelfunktionen. Setzt man in die Exponentialfunktion eine imaginäre Zahl ein, erhält man die Eulersche Formel:

Anschaulich beschreibt e^iφ einen Punkt auf dem Einheitskreis der komplexen Zahlenebene, der um den Winkel φ (im Bogenmaß) gedreht ist. Wachstum und Schwingung, Exponentialfunktion und Trigonometrie waren zuvor getrennte Welten; nun erweisen sie sich als zwei Seiten derselben Sache. Ähnliche Zusammenhänge hatten Roger Cotes und Johann Bernoulli schon gestreift, doch erst Euler formulierte sie klar und nutzte sie systematisch.

Für φ = π gilt cos π = −1 und sin π = 0. Daraus folgt die Eulersche Identität:

Sie verknüpft die fünf wichtigsten Zahlen der Mathematik (0, 1, e, i und π) mit den drei Grundoperationen Addition, Multiplikation und Potenzieren. In Umfragen unter Mathematikerinnen und Mathematikern wird sie regelmäßig zur „schönsten Formel“ gewählt.

Das Basler Problem: 1 + 1/4 + 1/9 + … = π²/6

Was ergibt die Summe der Kehrwerte aller Quadratzahlen? Diese Frage hatte der Italiener Pietro Mengoli Mitte des 17. Jahrhunderts gestellt; Jakob Bernoulli machte sie 1689 bekannt. Dass die Reihe einen endlichen Wert hat, war klar, doch weder die Bernoullis noch Leibniz oder de Moivre fanden ihn. Weil sich vor allem Basler Mathematiker daran versuchten, heißt die Aufgabe Basler Problem.

Euler berechnete die Summe zunächst numerisch auf viele Nachkommastellen, erkannte darin π²/6 wieder und fand 1734/35 eine Begründung. Im Dezember 1735 trug er das Ergebnis in Sankt Petersburg vor, gedruckt erschien es 1740:

Euler blieb nicht bei diesem einen Wert stehen. Er berechnete auch 1 + 1/2⁴ + 1/3⁴ + … = π⁴/90 und die Summen für alle geraden Exponenten. 1737 entdeckte er zudem einen verblüffenden Zusammenhang zwischen solchen Reihen und den Primzahlen, das Euler-Produkt:

Die linke Seite wird heute Zetafunktion ζ(s) genannt; das Basler Problem fragt nach ζ(2). Aus dem Produkt folgerte Euler, dass die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen unendlich groß wird. Das war ein neuer Beweis dafür, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. 1859 dehnte Bernhard Riemann die Zetafunktion auf komplexe Zahlen aus und formulierte die Riemannsche Vermutung, eines der berühmtesten offenen Probleme der Mathematik.

Das Königsberger Brückenproblem

Die ostpreußische Stadt Königsberg (heute Kaliningrad) lag am Fluss Pregel, der dort zwei Inseln umfließt: den Kneiphof und die Lomse. Sieben Brücken verbanden die Inseln untereinander und mit den beiden Ufern. Unter den Einwohnern kursierte die Frage, ob man einen Spaziergang machen kann, der jede Brücke genau einmal überquert. Der Danziger Politiker Carl Leonhard Gottlieb Ehler machte Euler auf das Rätsel aufmerksam.

Euler bemerkte, dass Form und Lage der Wege keine Rolle spielen. Es kommt nur darauf an, welche Landstücke durch wie viele Brücken verbunden sind. Er ersetzte daher jedes Landstück durch einen Punkt und jede Brücke durch eine Verbindungslinie. In heutiger Sprache entstand so ein Graph mit vier Knoten und sieben Kanten. Im August 1735 legte er der Petersburger Akademie seine Lösung vor; gedruckt wurde die Abhandlung Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis 1741.

Der entscheidende Gedanke ist einfach: Wer ein Landstück unterwegs betritt, muss es über eine andere Brücke wieder verlassen. Die Brücken eines Landstücks, das man nur durchquert, werden also immer paarweise verbraucht; ihre Anzahl muss gerade sein. Nur Start und Ziel dürfen eine ungerade Zahl von Brücken haben. In Königsberg führen aber zu allen vier Landstücken ungerade viele Brücken (5, 3, 3 und 3). Ein solcher Spaziergang ist daher unmöglich, egal, wo man beginnt.

Euler selbst hielt die Frage zunächst für kaum mathematisch. Gerade darin lag ihre Bedeutung: Es zählen nicht Länge oder Winkel, sondern nur die Verbindungen. Eulers Lösung gilt deshalb als erster Satz der Graphentheorie und als frühes Beispiel für topologisches Denken. Im heutigen Kaliningrad hat sich das Brückennetz durch Krieg und Umbauten verändert: Ein Weg über alle Brücken ist nun möglich, ein Rundweg noch immer nicht.

Der Eulersche Polyedersatz: E − K + F = 2

1750 teilte Euler Goldbach in einem Brief eine Beobachtung über Körper mit ebenen Seitenflächen mit. Zählt man bei einem konvexen Polyeder die Ecken E, die Kanten K und die Flächen F, so gilt stets:

Die fünf regelmäßigen Körper der Tabelle sind nach Platon benannt, der sie in seiner Naturphilosophie beschrieb. Verblüffend am Polyedersatz ist, dass er auch für jeden unregelmäßigen konvexen Körper gilt, etwa für eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche: 5 − 8 + 5 = 2. Eulers Beweis von 1758 enthielt allerdings eine Lücke. Den ersten strengen Beweis veröffentlichte Adrien-Marie Legendre 1794. Später stellte sich heraus, dass schon Descartes um 1630 eine gleichwertige Aussage notiert, aber nie veröffentlicht hatte.

Die Zahl E − K + F heißt heute Euler-Charakteristik. Sie ändert sich nicht, wenn man einen Körper verbiegt oder dehnt, wohl aber, wenn er ein Loch bekommt: Für einen Ring aus Würfeln ergibt sich 0 statt 2. Damit wurde der Satz zu einem Ausgangspunkt der Topologie, einem Teilgebiet der Geometrie, das solche unveränderlichen Größen untersucht.

Zahlentheorie: Von Fermat zu Euler

Angeregt durch Goldbach, arbeitete sich Euler durch die Behauptungen von Pierre de Fermat, der viele Sätze ohne Beweis hinterlassen hatte. Fermat hatte vermutet, alle Zahlen der Form 2²ⁿ + 1 seien Primzahlen. Euler widerlegte das spätestens 1732: Die Zahl 2³² + 1 = 4.294.967.297 ist durch 641 teilbar, denn 641 · 6.700.417 = 4.294.967.297. Den kleinen Fermatschen Satz bewies er dagegen und verallgemeinerte ihn mit der von ihm eingeführten φ-Funktion: φ(n) zählt die Zahlen von 1 bis n, die mit n keinen gemeinsamen Teiler haben. So ist φ(12) = 4, nämlich 1, 5, 7 und 11.

Weitere Ergebnisse aus Eulers Zahlentheorie:

• 1772 bewies er, dass 2³¹ − 1 = 2.147.483.647 eine Primzahl ist. Bis 1867 blieb sie die größte bekannte Primzahl. Zahlen dieser Form heißen nach Marin Mersenne Mersenne-Zahlen.
• Vor Euler kannte man drei Paare befreundeter Zahlen, etwa 220 und 284; er fand Dutzende weitere.
• Für die Gleichung x³ + y³ = z³ gab er 1770 einen (noch lückenhaften) Beweis, dass sie keine Lösung in positiven ganzen Zahlen hat. Das ist der erste Fall des Großen Fermatschen Satzes.
• Er fand eine Formel, nach der das Produkt zweier Summen von vier Quadraten wieder eine solche Summe ist. Darauf baute Lagrange 1770 seinen Beweis des Vier-Quadrate-Satzes auf; den Satz selbst bewies also nicht Euler.
• Er formulierte das quadratische Reziprozitätsgesetz, das später Legendre präzisierte und Carl Friedrich Gauß 1796 erstmals bewies.

Aus einer Vermutung, die Goldbach ihm am 7. Juni 1742 schrieb, machte Euler die heute bekannte Form: Jede gerade Zahl größer als 2 ist die Summe zweier Primzahlen. Bewiesen ist diese Goldbachsche Vermutung bis heute nicht.

Analysis, Mechanik und weitere Gebiete

Den größten Teil seines Werks widmete Euler der Analysis. Seine Lehrbücher Introductio (1748), Institutiones calculi differentialis (1755) und Institutiones calculi integralis (1768–1770) ordneten die von Newton und Leibniz begründete Infinitesimalrechnung zu einem Gesamtsystem in Leibniz’ Schreibweise. Einige Stichworte:

• Variationsrechnung: Sie sucht Kurven, die eine Größe minimal oder maximal machen. Euler gab dem Gebiet seinen Namen; die Euler-Lagrange-Gleichung ist sein wichtigstes Werkzeug.
• Numerik: Das Euler-Verfahren, mit dem man Differentialgleichungen Schritt für Schritt näherungsweise löst, ist das einfachste Verfahren dieser Art und der Ausgangspunkt vieler Simulationsmethoden.
• Spezielle Funktionen und Konstanten: Gammafunktion (Verallgemeinerung der Fakultät), Euler-Mascheroni-Konstante γ ≈ 0,5772, Euler-Maclaurin-Summenformel.
• Mechanik: 1757 stellte Euler die Grundgleichungen reibungsfreier Strömungen auf; er berechnete die Knicklast von Säulen und begründete die Mechanik starrer Körper (Euler-Winkel).
• Astronomie und Schiffbau: Seine Mondtheorie half bei der Längenbestimmung auf See; Scientia navalis (1749) begründete die Schiffstheorie.
• Musiktheorie: Im Tentamen novae theoriae musicae (1739) versuchte er, Wohlklang mathematisch zu erklären.

Zeitleiste: Leonhard Eulers Leben

1. 1707 Geburt am 15. April in Basel; Kindheit im Pfarrhaus in Riehen
2. 1720 Studium an der Universität Basel, Förderung durch Johann Bernoulli
3. 1727 Umzug an die Akademie in Sankt Petersburg
4. 1735 Lösung des Basler Problems und des Königsberger Brückenproblems
5. 1741 Wechsel an die Akademie Friedrichs II. in Berlin
6. 1748 Introductio in analysin infinitorum mit der Eulerschen Formel
7. 1750 Polyedersatz E − K + F = 2 in einem Brief an Goldbach
8. 1766 Rückkehr nach Sankt Petersburg auf Einladung Katharinas der Großen
9. 1771 Nahezu vollständige Erblindung; Stadtbrand zerstört sein Haus
10. 1783 Tod am 18. September in Sankt Petersburg

Eulers Bedeutung heute

Wer heute Mathematik lernt, schreibt in Eulers Sprache: f(x), e, i, π und Σ stehen in jedem Schulbuch. Auch im Alltag stecken seine Ideen:

• Netze: Routenplaner, Leitungsnetze und soziale Netzwerke werden als Graphen modelliert. Eulerwege helfen etwa bei der Tourenplanung von Müllabfuhr oder Winterdienst, wo jede Straße genau einmal befahren werden soll.
• Elektrotechnik und Signalverarbeitung: Mit der Eulerschen Formel rechnet man Wechselstrom, Schwingungen und Funksignale bequem als komplexe Zahlen. Auch die Fourier-Analyse, die hinter Audio- und Bildkompression steckt, baut auf ihr auf.
• Verschlüsselung: Der Satz von Euler und die φ-Funktion sind die mathematische Grundlage des RSA-Verfahrens.
• Wachstum und Zerfall: Die Zahl e beschreibt stetige Verzinsung, Bevölkerungswachstum und radioaktiven Zerfall.

Seit 1911 gibt die Schweizer Euler-Kommission seine gesammelten Werke heraus; die über 70 Bände mit seinen Schriften liegen vor, die Edition des Briefwechsels dauert an. Pierre-Simon Laplace wird der Rat zugeschrieben: „Lest Euler, lest Euler, er ist unser aller Meister.“ Ob wörtlich so gesagt oder nicht: Das Urteil gilt bis heute.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Emil A. Fellmann: Leonhard Euler. Rowohlt, Reinbek 1995 (rowohlts monographien).
• Ronald S. Calinger: Leonhard Euler. Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, Princeton 2016.
• William Dunham: Euler. The Master of Us All. Mathematical Association of America, Washington 1999.
• Robin Wilson: Euler’s Pioneering Equation. The Most Beautiful Theorem in Mathematics. Oxford University Press, Oxford 2018.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 2: Von Euler bis zur Gegenwart, Springer, Berlin 2009.
• MacTutor History of Mathematics: Leonhard Euler (englisch)