Évariste Galois

Évariste Galois (1811–1832) war ein französischer Mathematiker, der in nur wenigen Jahren eine der tiefsten Theorien der Algebra schuf. Er beantwortete eine Frage, die Mathematiker seit Jahrhunderten beschäftigte: Für welche Gleichungen gibt es eine Lösungsformel, die nur Grundrechenarten und Wurzeln benutzt? Seine Antwort, die heutige Galoistheorie, verknüpft die Lösungen einer Gleichung mit ihren Symmetrien. Dabei verwendete Galois als Erster den Begriff der Gruppe in einem Sinn, der dem heutigen nahekommt.

Sein Leben verlief kurz und dramatisch. Zweimal fiel er durch die Aufnahmeprüfung der École polytechnique, seine Manuskripte gingen verloren oder wurden abgelehnt, als überzeugter Republikaner saß er im Gefängnis. Mit 20 Jahren starb er an den Folgen eines Duells. Erst 1846, vierzehn Jahre nach seinem Tod, veröffentlichte Joseph Liouville seine Arbeiten. Erst dann begriff die Mathematik nach und nach, was sie verloren hatte.

Kindheit und Schulzeit in Paris

Évariste Galois wurde am 25. Oktober 1811 in Bourg-la-Reine südlich von Paris geboren. Sein Vater Nicolas-Gabriel Galois war ein angesehener Liberaler und wurde 1815 Bürgermeister des Ortes; beide Eltern waren gebildet. Bis zum zwölften Lebensjahr unterrichtete ihn die Mutter, Adélaïde-Marie Demante, zu Hause in Latein, Griechisch und Religion.

Im Oktober 1823 trat Galois als Internatsschüler in das Pariser Lycée Louis-le-Grand ein. Anfangs war er ein guter Schüler, später wurde er gelangweilt und eigenwillig. Die Wende kam 1827 mit seinem ersten Mathematikkurs. Galois las die Geometrie von Adrien-Marie Legendre angeblich wie einen Roman und arbeitete danach die Schriften von Joseph-Louis Lagrange zur Gleichungstheorie durch. Seine Lehrer beschrieben ihn als „sonderbar“ und „verschlossen“, aber besessen von Mathematik. Sein Lehrer Louis Richard erkannte als einer der Ersten seine Begabung und notierte, der Schüler arbeite nur noch „in den höchsten Regionen der Mathematik“.

1828 versuchte Galois ohne die übliche Vorbereitung die Aufnahmeprüfung an der École polytechnique, der angesehensten Hochschule Frankreichs, und fiel durch. Im April 1829 erschien seine erste Veröffentlichung, ein kurzer Aufsatz über periodische Kettenbrüche. Kurz darauf reichte er bei der Pariser Akademie der Wissenschaften zwei Arbeiten über die Auflösung von Gleichungen ein. Gutachter war Augustin-Louis Cauchy.

Schicksalsjahre 1829 bis 1831

Im Juli 1829 nahm sich der Vater das Leben. Ein Priester hatte in Bourg-la-Reine gefälschte, boshafte Verse unter seinem Namen verbreitet; der Skandal zermürbte den Bürgermeister. Wenige Wochen später trat Galois ein zweites Mal zur Prüfung an der École polytechnique an und scheiterte erneut, der Überlieferung nach, weil er Gedankenschritte übersprang, die der Prüfer nicht nachvollziehen konnte, und sich mit ihm überwarf. Ein drittes Mal durfte er nicht antreten. Ende 1829 legte er das Baccalauréat ab und wurde an der École préparatoire aufgenommen, der späteren École normale supérieure.

Inzwischen hatte Cauchy ihm offenbar geraten, seine Ergebnisse zu einer einzigen Arbeit für den Großen Preis der Akademie zusammenzufassen. Galois reichte sie im Februar 1830 ein. Der Sekretär der Akademie, Joseph Fourier, nahm das Manuskript mit nach Hause und starb wenige Monate später. Die Arbeit wurde nie wiedergefunden. Den Preis erhielten im Juni 1830 Niels Henrik Abel (postum) und Carl Gustav Jacob Jacobi für ihre Arbeiten über elliptische Funktionen.

1830 veröffentlichte Galois dennoch mehrere kurze Aufsätze, darunter Sur la théorie des nombres, in dem er erstmals Rechenbereiche mit endlich vielen Elementen beschrieb, die heute endliche Körper oder Galoisfelder heißen. Im Januar 1831 forderte ihn der Mathematiker Siméon Denis Poisson auf, eine dritte Fassung seiner Gleichungstheorie einzureichen. Das ablehnende Gutachten vom Juli 1831 erreichte ihn erst im Gefängnis: Die Argumentation sei weder klar noch ausführlich genug, um ihre Strenge zu beurteilen. Poisson ermunterte ihn zugleich, eine vollständigere Darstellung vorzulegen. Galois sah darin nur einen weiteren Beweis für die Ignoranz der Akademie.

Revolution, Politik und Gefängnis

Die Julirevolution von 1830 stürzte König Karl X.; an seine Stelle trat der „Bürgerkönig“ Louis-Philippe. Galois, wie sein Vater ein glühender Republikaner, war von diesem Ausgang enttäuscht. Während der Kämpfe hatte der Direktor seiner Schule die Schüler eingeschlossen, um sie von den Barrikaden fernzuhalten. Als Galois ihn in einem Zeitungsbrief scharf angriff, wurde er der Schule verwiesen. Er trat der Artillerie der Nationalgarde bei, einer republikanisch gesinnten Einheit, die der König bald darauf auflöste.

Am 9. Mai 1831 erhob Galois bei einem Bankett von Republikanern sein Glas mit einem offenen Messer in der Hand und brachte einen Trinkspruch auf Louis-Philippe aus, eine kaum verhüllte Drohung. Er wurde verhaftet, im Juni aber freigesprochen. Am 14. Juli 1831, dem Jahrestag des Sturms auf die Bastille, nahm man ihn erneut fest: Er trug die Uniform der aufgelösten Artillerie und war schwer bewaffnet. Diesmal wurde er zu sechs Monaten Haft im Pariser Gefängnis Sainte-Pélagie verurteilt.

Aus dieser Zeit stammt ein Brief der Mathematikerin Sophie Germain, die besorgt über den begabten, aber völlig mittellosen jungen Mann schrieb. Im März 1832 wurde Galois wegen einer Cholera-Epidemie in ein Pariser Sanatorium verlegt. Dort verliebte er sich offenbar in Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, die Tochter eines dort tätigen Arztes. Nach seiner Freilassung Ende April 1832 zeigen erhaltene Briefe, dass sie sich von ihm distanzierte.

Das Duell und Galois’ letzte Nacht

Am Abend des 29. Mai 1832 schrieb Galois mehrere Briefe. Der wichtigste ging an seinen Freund Auguste Chevalier: Auf wenigen Seiten fasste er seine Ergebnisse zusammen, skizzierte weitere Ideen und bat darum, die Arbeiten Carl Friedrich Gauß und Jacobi vorzulegen. Sie sollten „nicht über ihre Richtigkeit, sondern über ihre Bedeutung“ urteilen. In den Rand eines Manuskripts schrieb er: „Hier fehlt noch etwas zum Beweis. Ich habe keine Zeit.“

Am frühen Morgen des 30. Mai traf ihn bei einem Pistolenduell eine Kugel in den Bauch. Seine Sekundanten und der Gegner ließen ihn liegen; ein Bauer fand ihn und brachte ihn ins Hôpital Cochin. Dort starb Galois am 31. Mai 1832 gegen zehn Uhr, vermutlich an einer Bauchfellentzündung. Seinem jüngeren Bruder Alfred soll er gesagt haben: „Weine nicht, Alfred! Ich brauche all meinen Mut, um mit zwanzig Jahren zu sterben.“ Er wurde in einem Gemeinschaftsgrab auf dem Friedhof Montparnasse beigesetzt, dessen genaue Lage unbekannt ist; in Bourg-la-Reine erinnert ein Gedenkstein an ihn.

Wer sein Gegner war und worum es ging, ist nicht sicher geklärt. Alexandre Dumas nannte den Republikaner Pescheux d’Herbinville; ein Zeitungsbericht wenige Tage nach dem Duell beschreibt dagegen einen alten Freund mit den Initialen „L. D.“, was eher auf den Mitgefangenen Ernest Duchâtelet passt. Die meisten Quellen bringen den Streit mit Stéphanie in Verbindung.

Die Galoistheorie einfach erklärt

Die Frage nach der Lösungsformel

Für quadratische Gleichungen x² + px + q = 0 kennt jede Schülerin die Lösungsformel; der Sache nach war das Verfahren schon in Babylonien und bei al-Chwarizmi bekannt (mehr dazu auf der Lernseite Quadratische Gleichungen). Im 16. Jahrhundert fanden italienische Mathematiker auch Formeln für Gleichungen dritten und vierten Grades (siehe Tartaglia, Cardano und Ferrari). Alle diese Formeln benutzen nur die vier Grundrechenarten und Wurzeln. Man sagt: Die Gleichungen sind durch Radikale lösbar.

Für den Grad fünf blieb die Suche fast 300 Jahre erfolglos. Lagrange untersuchte 1770/71, warum die bekannten Formeln funktionieren, und stieß dabei auf die Vertauschungen (Permutationen) der Lösungen. Paolo Ruffini legte 1799 einen lückenhaften Unmöglichkeitsbeweis vor, 1824 bewies Niels Henrik Abel, dass es für die allgemeine Gleichung fünften Grades keine Lösungsformel gibt. Offen blieb aber: Welche einzelnen Gleichungen sind trotzdem lösbar? Genau diese Frage beantwortete Galois.

Die Symmetrien der Lösungen

Galois’ Idee: Man betrachtet, auf welche Weisen sich die Lösungen einer Polynomgleichung vertauschen lassen, ohne dass dabei eine gültige Rechenbeziehung zwischen ihnen falsch wird. Alle erlaubten Vertauschungen zusammen bilden eine Gruppe, die heute so genannte Galoisgruppe der Gleichung. Ihre Struktur verrät, ob die Gleichung durch Radikale lösbar ist.

Galois erkannte, dass eine Gleichung genau dann durch Radikale lösbar ist, wenn sich ihre Gruppe schrittweise in einfache, kommutative Bausteine zerlegen lässt. Solche Gruppen heißen heute auflösbar; der Name erinnert an das Auflösen der Gleichung. Das Zerlegen gelingt nur entlang besonderer Untergruppen, die Galois als „eigentliche Zerlegungen“ beschrieb und die heute Normalteiler heißen.

Für die allgemeine Gleichung n-ten Grades sind alle n! Vertauschungen erlaubt. Bei n ≤ 4 ist diese Gruppe auflösbar, deshalb gibt es die bekannten Formeln. Ab n = 5 enthält sie einen Baustein (die Gruppe der 60 geraden Vertauschungen von fünf Elementen), der sich nicht weiter zerlegen lässt und nicht kommutativ ist. Daher kann es keine allgemeine Formel geben. Abels Ergebnis folgt so als Spezialfall.

Für Gleichungen von Primzahlgrad formulierte Galois ein besonders handliches Kriterium: Eine solche nicht zerlegbare Gleichung ist genau dann durch Radikale lösbar, wenn sich alle ihre Lösungen aus zwei beliebigen von ihnen rational berechnen lassen. Diesen Satz hob Liouville 1843 hervor, als er der Akademie Galois’ Nachlass vorstellte.

Der Gruppenbegriff

Mathematiker vor Galois, besonders Lagrange und Cauchy, hatten mit Permutationen gerechnet. Galois sprach als Erster von einer „groupe“ in einem Sinn, der dem heutigen nahekommt: einer Menge von Vertauschungen, die beim Hintereinanderausführen nicht verlassen wird. Die abstrakte Definition, die nicht mehr von Vertauschungen spricht, folgte erst später, etwa bei Arthur Cayley (1854). In der modernen Form verbindet der Hauptsatz der Galoistheorie die Untergruppen der Galoisgruppe eins zu eins mit den Zwischenstufen zwischen den rationalen Zahlen und dem Zahlbereich, der alle Lösungen enthält. Diese klare Fassung geht im Wesentlichen auf Richard Dedekind und Emil Artin zurück.

Endliche Körper (Galoisfelder)

Rechnet man nur mit den Resten bei Division durch eine Primzahl p, etwa mit 0, 1, …, 6 für p = 7, so kann man addieren, subtrahieren, multiplizieren und durch jede Zahl außer 0 teilen: 3 · 5 = 15 lässt den Rest 1, also ist 5 der Kehrwert von 3. Galois zeigte 1830, dass es solche Rechenbereiche nicht nur mit p, sondern mit jeder Primzahlpotenz pⁿ an Elementen gibt. Ihm zu Ehren schreibt man sie GF(pⁿ), von englisch Galois field.

Was eine Gruppe ist und wo Gruppen heute überall vorkommen, erklärt die Lernseite Gruppentheorie.

Galois und Abel: zwei kurze Leben

Der Norweger Niels Henrik Abel (1802–1829) und Galois werden oft in einem Atemzug genannt. Beide arbeiteten unabhängig am selben Problem, beide fanden zu Lebzeiten kaum Anerkennung, beide starben jung: Abel mit 26 Jahren an Tuberkulose, Galois mit 20 nach dem Duell. Abel bewies die Unlösbarkeit der allgemeinen Gleichung fünften Grades; Galois lieferte das allgemeine Kriterium für jede einzelne Gleichung. 1830 las Galois eine nachgelassene Arbeit Abels, die sich mit einem Teil seiner eigenen Ergebnisse überschnitt. Abels eigene Lebensgeschichte und seine Arbeiten zu elliptischen Funktionen und kommutativen („abelschen“) Gruppen stellt die Seite über Niels Henrik Abel vor.

Späte Anerkennung

Chevalier und Alfred Galois schrieben die Manuskripte ab und verschickten sie, unter anderem an Gauß und Jacobi; eine Reaktion der beiden ist nicht bekannt. Erst Joseph Liouville nahm sich der Papiere ernsthaft an. Im September 1843 kündigte er der Akademie an, er habe darin eine „ebenso richtige wie tiefe“ Lösung gefunden; 1846 veröffentlichte er die Arbeiten in seiner Zeitschrift. Danach dauerte es noch Jahrzehnte, bis die Theorie verstanden war. Richard Dedekind hielt 1856–1858 in Göttingen eine der ersten Vorlesungen darüber, Camille Jordan machte sie 1870 mit seinem Traité des substitutions allgemein zugänglich.

Ein verbreiteter Irrtum betrifft die drei klassischen Probleme der griechischen Mathematik. Dass Würfelverdopplung und Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal unmöglich sind, bewies Pierre Wantzel 1837 mit algebraischen Mitteln, aber ohne Galoistheorie, die damals noch gar nicht veröffentlicht war. Die Unmöglichkeit der Kreisquadratur folgt aus Ferdinand von Lindemanns Beweis von 1882, dass π transzendent ist; auch das hat mit Galois nichts zu tun. Heute lassen sich die ersten beiden Probleme allerdings elegant mit Galoistheorie behandeln.

Zeitleiste: Évariste Galois’ Leben

1. 1811 Geburt am 25. Oktober in Bourg-la-Reine
2. 1823 Eintritt in das Lycée Louis-le-Grand in Paris
3. 1828 Erster gescheiterter Versuch an der École polytechnique
4. 1829 Erste Veröffentlichung; Selbstmord des Vaters; zweiter Misserfolg an der École polytechnique
5. 1830 Arbeit für den Großen Preis geht nach Fouriers Tod verloren; Aufsatz über endliche Körper
6. 1831 Poisson lehnt die dritte Fassung ab; Verhaftung und Haft in Sainte-Pélagie
7. 1832 Brief an Chevalier am 29. Mai, Duell am 30. Mai, Tod am 31. Mai
8. 1846 Liouville veröffentlicht Galois’ Arbeiten
9. 1870 Camille Jordans Lehrbuch macht die Galoistheorie bekannt

Bedeutung heute

Die Galoistheorie gehört heute zum Kern jedes Mathematikstudiums. Sie zeigte erstmals, dass man ein Problem lösen kann, indem man seine Symmetrien untersucht. Diese Denkweise prägte später die gesamte Algebra und reicht über die Gruppentheorie bis in die Physik, wo Symmetriegruppen Elementarteilchen ordnen.

• Datensicherheit: Der Verschlüsselungsstandard AES rechnet im endlichen Körper mit 2⁸ = 256 Elementen.
• Fehlerkorrektur: Reed-Solomon-Codes auf Galoisfeldern sorgen dafür, dass QR-Codes mit Kratzern oder Flecken lesbar bleiben und Daten von CDs, DVDs und Raumsonden fehlerfrei ankommen.
• Zahlentheorie: Galoisgruppen und ihre Darstellungen waren ein zentrales Werkzeug im Beweis des Großen Fermatschen Satzes durch Andrew Wiles (1994/95).

Galois’ Name lebt in Galoisgruppe, Galoiskörper und Galoiskohomologie fort; auch ein Mondkrater und ein Asteroid sind nach ihm benannt. Mehr über das Umfeld, in dem Algebra und Analysis neu begründet wurden, erzählt der Artikel über die Mathematik des 19. Jahrhunderts.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Peter M. Neumann: The Mathematical Writings of Évariste Galois. European Mathematical Society, Zürich 2011.
• Laura Toti Rigatelli: Evariste Galois 1811–1832. Birkhäuser, Basel 1996.
• Tony Rothman: Genius and Biographers: The Fictionalization of Evariste Galois. In: The American Mathematical Monthly 89 (1982), S. 84–106.
• Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger. Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie. Springer Spektrum, Wiesbaden.
• MacTutor History of Mathematics: Évariste Galois (englisch)