Évariste Galois, ein ungestümer Republikaner und eine der schillerndsten Figuren in der französischen Mathematik, hinterließ einen unauslöschlichen Eindruck, obwohl sein Leben tragisch kurz war. Trotz seines jungen Alters von nur 20 Jahren, als er bei einem Duell sein Leben verlor, hat Galois in dieser kurzen Zeitspanne mathematische Werke verfasst, die von enormer Tragweite waren. Die Schriften, die er kurz vor seinem unglücklichen Ableben veröffentlichte, wurden nicht nur zum Gegenstand intensiver Diskussionen in mathematischen Zirkeln, sondern sie ebneten auch den Weg für bedeutende Fortschritte in der Mathematik, die in den nachfolgenden Jahrzehnten und Jahrhunderten realisiert wurden.
Galois’ bahnbrechende Arbeiten ermöglichten es späteren Mathematikern, Lösungen für Probleme zu finden, die zuvor über Jahrhunderte hinweg als unlösbar galten. Aber nicht nur das, sein beispielloses Verständnis und seine innovativen Techniken legten den Grundstein für viele spätere Entwicklungen in der Mathematik. Besonders bemerkenswert war sein Beitrag zu den Anfängen der abstrakten Algebra und der Gruppentheorie – zwei Fachgebiete, die heute als unverzichtbare Säulen der modernen Mathematik gelten. So lebt das Vermächtnis von Galois, einem jungen mathematischen Visionär mit einem leidenschaftlichen politischen und romantischen Temperament, in den Theorien und Anwendungen weiter, die von Generationen von Mathematikern nach ihm weiterentwickelt wurden.
Obwohl Évariste Galois in seiner Schulzeit nicht gerade als leuchtendes Vorbild galt und sogar zweimal die Aufnahmeprüfungen zur renommierten École Polytechnique nicht bestand, ließ er sich von solchen Rückschlägen nicht beirren. Stattdessen nutzte er seine Freizeit, um sich intensiv mit den Werken der Mathematiklegenden Legendre und Lagrange auseinanderzusetzen. Und das mit beeindruckendem Erfolg! Schon im zarten Alter von 17 Jahren gelang es ihm, bahnbrechende Entdeckungen in der Theorie der polynomialen Gleichungen zu machen. Diese Gleichungen, welche aus Variablen und Konstanten bestehen und nur die mathematischen Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation sowie nicht-negative ganzzahlige Exponenten verwenden (beispielsweise x2 – 4x + 7 = 0), wurden durch Galois’ Arbeit tiefgreifend beeinflusst.
Seine Analysen und Studien führten ihn zu einer effektiven Beweisführung, dass es keine allgemeine Formel für die Lösung von Gleichungen fünften Grades (quintische Gleichungen, also Polynome mit einem x5-Term) geben kann. Diese Erkenntnis erlangte er, ähnlich wie der junge Norweger Niels Henrik Abel wenige Jahre zuvor, allerdings durch eine andere Methode. Doch Galois’ Genialität hörte hier nicht auf. Er ging noch einen Schritt weiter und konnte die weitreichendere und mächtigere Idee beweisen, dass es keine allgemeine algebraische Methode zur Lösung polynomialer Gleichungen eines Grades größer als vier gibt. Dieses profundere Verständnis der polynominalen Gleichungstheorie setzte neue Maßstäbe und bezeugt eindrucksvoll das unermessliche Talent des jungen Galois.
Évariste Galois, stets darauf bedacht, die mathematischen Geheimnisse zu lüften, erzielte seinen allgemeinen Beweis durch eine akribische Untersuchung, ob die “Permutationsgruppe” seiner Wurzeln (heute als seine Galois-Gruppe bekannt) eine bestimmte Struktur aufwies. Dabei betrat er Neuland in der Mathematik, denn er war der Erste, der den Begriff “Gruppe” in seiner heutigen, modernen mathematischen Bedeutung als eine Gruppe von Permutationen verwendete. Dies war ein klares Vorzeichen für das, was später als modernes Feld der Gruppentheorie bekannt werden sollte.
Doch Galois’ Einfluss reichte weit über diese initialen Erkenntnisse hinaus. Sein innovativer Ansatz, heute als Galois-Theorie bezeichnet, diente späteren Mathematikern als Inspiration und Werkzeug, um ihn auf viele andere mathematische Bereiche jenseits der Theorie der Gleichungen anzuwenden. So ebnete er den Weg für zahlreiche Fortschritte und Durchbrüche, die die mathematische Landschaft für immer veränderten.
Évariste Galois’ bahnbrechende Arbeit war der Schlüssel, der das Tor zu den Antworten auf jahrhundertelange Rätsel öffnete. Diese Rätsel, besser bekannt als die “Drei Klassischen Probleme”, wurden erstmals von Platon und anderen Denkern im antiken Griechenland formuliert und haben die Köpfe der Mathematiker seitdem beschäftigt. Dank der Grundlagen, die Galois gelegt hatte, konnten endlich unwiderlegbare Beweise (bzw. Gegenbeweise) für diese Probleme vorgelegt werden.
Das erste dieser Probleme, die Verdopplung des Würfels und die Dreiteilung eines Winkels, hatte Mathematiker seit der Antike herausgefordert. Aber es war erst im Jahr 1837, nach vielen erfolglosen Versuchen und nach der Ausarbeitung der von Galois vorgestellten Prinzipien, dass sie als unlösbar bewiesen wurden. Und schließlich, das vielleicht berühmteste der Probleme, die Quadratur des Kreises, welches ebenfalls die Mathematiker jahrhundertelang fasziniert hatte, wurde ebenfalls als unlösbar deklariert, diesmal im Jahr 1882. So schloss sich der Kreis eines alten mathematischen Mysteriums, inspiriert durch das Genie von Galois.
Évariste Galois, der neben seiner beeindruckenden Mathematikbekanntheit auch als hitzköpfiger politischer Aktivist in Erinnerung bleibt, führte ein bemerkenswert turbulentes Leben im Schatten der Herrschaft von Louis-Philippe. Als glühender Republikaner ließ er keine Gelegenheit aus, um sich gegen das bestehende Regime zu stellen, was ihm wiederholt Verhaftungen und juristische Probleme einbrachte. Seine unerschütterliche Überzeugung und sein unermüdlicher Drang, sich gegen die Unterdrückung auszusprechen, führten häufig dazu, dass er von seinen herausragenden mathematischen Entdeckungen abgelenkt wurde.
Unter mysteriösen und bis heute nicht vollständig geklärten Umständen wurde Galois 1832 in einem Duell getötet. Doch das Bemerkenswerteste an dieser tragischen Nacht war nicht nur der Duell selbst, sondern auch seine letzten Stunden. Überzeugt von seiner bevorstehenden Verdammnis, verbrachte er die gesamte Nacht damit, seine mathematischen Gedanken in einem ausführlichen Brief an seinen engen Freund Auguste Chevalier niederzuschreiben. Ein letzter Akt des Mutes und der Entschlossenheit, seine Ideen der Nachwelt zu hinterlassen, bevor das Schicksal zuschlug.
Ironischerweise erlebte Niels Henrik Abel, ein Zeitgenosse von Galois, eine ähnlich kurze und tragische Laufbahn. Sein Leben, welches von so viel Potenzial und Brillanz zeugte, wurde rücksichtslos durch die kalte Hand der Tuberkulose beendet, als er gerade einmal 26 Jahre alt war. Trotz seines vorzeitigen Todes und der erschütternden Armut, in der er seine letzten Tage verbrachte, weigerte sich seine mathematische Brillanz, in der Dunkelheit zu verschwinden.
Sein Vermächtnis wurde in der Mathematikwelt unsterblich gemacht, und das nicht nur durch die Anerkennung seiner beeindruckenden Beiträge. Das Wort “abelian”, oft mit einem kleinen “a” geschrieben, hat sich in der mathematischen Terminologie tief verankert. Es ist ein Zeugnis für Abels unvergänglichen Einfluss, dass Konzepte wie die abelsche Gruppe, die abelsche Kategorie und die abelsche Varietät heute in Diskussionen und Schriften zum Alltag gehören.