Wurzeln und reelle Zahlen

Quadratwurzeln begegnen dir schon in der Mittelstufe: als Seitenlänge eines Quadrats mit gegebener Fläche, in Pythagoras-Aufgaben und in der Physik. Die Grundlagen, also was die Wurzel ist und wie du sie verstehst und vereinfachst, stehen auf der Seite Zahlen. Hier geht es weiter: zu den Gesetzen, zu einem Rechenverfahren ohne Taschenrechner und zur Frage, in welchem Zahlbereich Wurzeln überhaupt leben.

Zum Rechnen und Üben gibt es den Wurzelrechner und das Arbeitsblatt Quadratzahlen und Wurzeln.

Die Wurzel als Umkehrung des Quadrierens

Quadrieren und Wurzelziehen machen sich gegenseitig rückgängig, aber nur auf der Seite der nicht negativen Zahlen. Deshalb ist die Wurzel nur für a ≥ 0 erklärt. Im Koordinatensystem sieht man das gut: Der Graph von y = √x ist der Parabelast von y = x² für x ≥ 0, gespiegelt an der Winkelhalbierenden. So entsteht auch jede Umkehrfunktion.

Die Wurzelgesetze

Mit Wurzeln rechnest du fast wie mit Potenzen. Die wichtigsten Gesetze stehen in der Tabelle. Alle gelten für nicht negative Zahlen a und b, beim Quotienten muss außerdem b > 0 sein.

Warum gilt das erste Gesetz? Beide Seiten sind nicht negativ, und beide ergeben beim Quadrieren a · b: (√a · √b)² = √a² · √b² = a · b. Zwei nicht negative Zahlen mit demselben Quadrat sind gleich.

Für Summen gibt es kein Wurzelgesetz. Es ist √(9 + 16) = 5, aber √9 + √16 = 7. Wie du Wurzeln zerlegst und aus ihnen Faktoren herausziehst, steht im Abschnitt „Wurzeln vereinfachen“ der Seite Zahlen.

Den Nenner rational machen

Ein Bruch wie 1/√2 hat eine Wurzel im Nenner. Früher, ohne Taschenrechner, war das unpraktisch: Durch 1,41421… zu teilen ist mühsam, durch 2 zu teilen leicht. Du erweiterst deshalb mit der Wurzel: 1/√2 = √2/2 ≈ 0,7071.

Steht im Nenner eine Summe mit Wurzeln, hilft die dritte binomische Formel (a + b)(a − b) = a² − b². Du erweiterst mit dem „Gegenstück“, bei dem das Vorzeichen wechselt. Dann verschwinden die Wurzeln im Nenner.

Wurzeln berechnen: das Heron-Verfahren

Wie berechnet man √2 auf viele Stellen, wenn man nur Plus, Minus, Mal und Geteilt kann? Die Idee: Ein Quadrat mit Fläche 2 hat die Seite √2. Beginne mit einem Rechteck der Fläche 2, zum Beispiel 1 × 2. Ersetze eine Seite durch den Mittelwert der beiden Seiten und passe die andere so an, dass die Fläche 2 bleibt. Das Rechteck wird dem Quadrat bei jedem Schritt ähnlicher.

Schon nach vier Schritten stimmen elf Nachkommastellen. Der Abstand wird bei jedem Schritt ungefähr quadriert, deshalb verdoppelt sich die Zahl der richtigen Stellen. Das Verfahren funktioniert für jede Wurzel und jeden positiven Startwert. Es ist ein Sonderfall des Newton-Verfahrens für die Gleichung x² − a = 0.

Das Verfahren heißt auch babylonisches Verfahren. Beschrieben hat es Heron von Alexandria in seiner Metrica um 100 n. Chr. Ob die Babylonier genau diese Rechnung benutzten, ist nicht sicher belegt.

Die Wurzel aus 2 ist irrational

Die Zahl √2 ist die Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge 1. Sie lässt sich nicht als Bruch p/q mit ganzen Zahlen schreiben. Der klassische Beweis ist ein Beweis durch Widerspruch.

1. Angenommen, √2 = p/q mit teilerfremden natürlichen Zahlen p und q (der Bruch ist also gekürzt).
2. Quadrieren gibt 2 = p²/q², also p² = 2q².
3. Damit ist p² gerade. Dann ist auch p gerade, denn das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade. Schreibe p = 2k.
4. Einsetzen: 4k² = 2q², also q² = 2k². Damit ist auch q² gerade und q gerade.
5. Dann sind p und q beide durch 2 teilbar. Das widerspricht der Annahme, dass der Bruch gekürzt ist. Also ist √2 nicht rational.

Dieselbe Idee zeigt: Die Wurzel aus einer natürlichen Zahl ist entweder ganz oder irrational. √16 = 4 ist rational, √3, √5, √6 und √10 sind irrational.

Weil sich √2 nicht als endliche Dezimalzahl schreiben lässt, schachtelt man sie ein. Die Quadrate zeigen, dass 1,414 < √2 < 1,415 gilt: 1,414² = 1,999396 und 1,415² = 2,002225. Jede weitere Stelle schränkt die Zahl enger ein, aber die Entwicklung 1,41421356… endet nie.

Zahlbereiche: von ℕ bis ℝ

Die Zahlen wurden schrittweise erweitert, jedes Mal, weil eine Gleichung keine Lösung hatte.

Zu den reellen Zahlen ℝ gehören alle Zahlen auf der Zahlengeraden. Sie hat keine Lücken, anders als die Zahlengerade der rationalen Zahlen. Jede Wurzel einer natürlichen Zahl findest du als Strecke: Die Wurzelschnecke legt rechtwinklige Dreiecke mit der Kathete 1 aneinander, und nach dem Satz des Pythagoras hat die Hypotenuse jedes neuen Dreiecks die Länge √(n + 1).

Die Gleichung x² = −1 hat in ℝ keine Lösung, denn jedes Quadrat ist nicht negativ. Man erweitert deshalb noch einmal zu den komplexen Zahlen.

n-te Wurzeln kurz

Die n-te Wurzel $\sqrt[n]{a}$ ist die Zahl, die n-mal mit sich selbst multipliziert a ergibt. Für gerades n verlangt man a ≥ 0 und nimmt den nicht negativen Wert. Für ungerades n darf a auch negativ sein.

Die Wurzelgesetze gelten sinngemäß auch hier. Zum Beispiel ist $\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8·3}=2\sqrt[3]{3}\approx \mathrm{2,884}$. Als Potenz geschrieben ist $\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$, mehr dazu steht bei Potenzen. Die vierte Wurzel aus −16 gibt es in ℝ nicht, denn jede vierte Potenz ist nicht negativ.

Wo Wurzeln vorkommen

• Die Diagonale eines Quadrats mit der Seite a ist d = a√2, die Raumdiagonale eines Würfels a√3. Bei a = 5 cm sind das etwa 7,07 cm und 8,66 cm.
• Eine Kugel fällt aus der Höhe h in der Zeit t = √(2h : g). Für h = 20 m und g = 9,81 m/s² sind das √4,08 ≈ 2,02 Sekunden.
• Gleichungen mit Wurzeln löst du durch Quadrieren. Danach ist eine Probe nötig, siehe Wurzelgleichungen.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: von Babylon bis Dedekind

Die berühmteste frühe Wurzel steht auf der babylonischen Tontafel YBC 7289 (um 1800 bis 1600 v. Chr.). Sie zeigt ein Quadrat mit der Seite 30 und den Wert 1;24,51,10 im Sechzigersystem. Das sind 1 + 24/60 + 51/3600 + 10/216000 ≈ 1,414213, weniger als ein Millionstel neben √2. In Indien nennt der Baudhayana-Śulbasūtra (wohl zwischen 800 und 500 v. Chr.) die Näherung 1 + 1/3 + 1/(3 · 4) − 1/(3 · 4 · 34) = 577/408 ≈ 1,4142157. Derselbe Bruch 577/408 ergibt sich im dritten Schritt des Heron-Verfahrens mit dem Startwert 1. Mehr zu den Śulbasūtras steht in der indischen Mathematik.

Die griechischen Mathematiker erkannten, dass sich die Diagonale des Quadrats nie mit der Seite messen lässt. Aristoteles nennt den Beweis als bekanntes Beispiel für einen Widerspruchsbeweis. Platon lässt in seinem Dialog Theaitetos den Mathematiker Theodor von Kyrene die Wurzeln aus 3, 5 und weiteren Zahlen bis 17 behandeln, daran erinnert die Wurzelschnecke. Das zehnte Buch der Elemente des Euklid ordnet die irrationalen Strecken systematisch.

Streng definiert wurden die reellen Zahlen erst im 19. Jahrhundert. 1872 gaben Richard Dedekind (mit Schnitten in den rationalen Zahlen) und Georg Cantor (mit Folgen rationaler Zahlen) unabhängig voneinander Konstruktionen an. Damit hatte die Zahlengerade eine saubere Grundlage.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Thomas L. Heath (Hrsg.): The Thirteen Books of Euclid’s Elements, 3 Bände, 2. Auflage, Cambridge University Press, Cambridge 1926.
• Richard Dedekind: Stetigkeit und irrationale Zahlen, Vieweg, Braunschweig 1872.
• Wikipedia: Quadratwurzel
• Wikipedia: Heron-Verfahren
• Wikipedia: Irrationale Zahl