Integralrechnung

Die Integralrechnung beantwortet zwei verwandte Fragen: Wie groß ist die Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der $x$-Achse? Und wie viel kommt insgesamt zusammen, wenn sich eine Größe mit wechselnder Rate ändert? Ihr Werkzeug ist das Integral. Es ist die Umkehrung der Ableitung.

Diese Seite geht tiefer als der Überblick in der Analysis. Du siehst, wie aus Rechtecken das Integral entsteht, rechnest mit Stammfunktionen und löst typische Aufgaben mit Flächen. Zum Kontrollieren hilft der Integralrechner, zum Üben das Arbeitsblatt Integrale.

Das Flächenproblem

Die Fläche eines Rechtecks oder Dreiecks kennst du. Bei einem krummen Rand gibt es keine fertige Formel. Schon Archimedes löste das Problem für die Parabel, indem er die Fläche mit immer mehr Dreiecken füllte. Das Integral verallgemeinert diese Idee mit Rechtecken.

Die Fläche unter einer Kurve hat oft eine Bedeutung: Trägst du die Geschwindigkeit eines Autos über der Zeit auf, ist die Fläche der zurückgelegte Weg. Trägst du die Durchflussrate eines Wasserhahns über der Zeit auf, ist die Fläche die Wassermenge.

Ober- und Untersummen

Um die Fläche unter $f(x)=x^2$ von 0 bis 1 zu bestimmen, teilst du das Intervall in $n$ gleich breite Streifen der Breite $\frac{1}{n}$. Über jedem Streifen zeichnest du zwei Rechtecke: ein niedriges, das ganz unter der Kurve liegt, und ein hohes, das sie überragt.

Für $n=5$ ist die Breite $\mathrm{0,2}$. Die niedrigen Rechtecke haben die Höhen $f(0),f(\mathrm{0,2}),\dots ,f(\mathrm{0,8})$ und ergeben die Untersumme

Die hohen Rechtecke haben die Höhen $f(\mathrm{0,2}),\dots ,f(1)$ und ergeben die Obersumme $O_5=\mathrm{0,2}·(\mathrm{0,04}+\mathrm{0,16}+\mathrm{0,36}+\mathrm{0,64}+1)=\mathrm{0,44}$. Die gesuchte Fläche liegt zwischen 0,24 und 0,44.

Für beliebiges $n$ kannst du die Summen exakt angeben. Mit der Formel $1^2+2^2+\dots +m^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ gilt

Für $n\to \infty$ gehen beide Summen gegen $\frac{2n^2}{6n^2}=\frac{1}{3}$. Die Fläche beträgt also genau $\frac{1}{3}$.

Rechenregeln für das Integral

Aus der Definition folgen einfache Regeln:

• Faktor: ${\int }_a^{b}c·f(x)dx=c·{\int }_a^{b}f(x)dx$.
• Summe: ${\int }_a^b(f(x)+g(x))dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$.
• Zerlegung: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$ für $a<c<b$.
• Grenzen: ${\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$ und ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$.

Wichtig ist das Vorzeichen: Liegt der Graph unter der $x$-Achse, sind die Funktionswerte negativ, und das Integral ist negativ. Es ist daher eine Flächenbilanz und nicht immer die Fläche selbst.

Stammfunktion und Grundregeln

Summen mit Tausenden Rechtecken sind unpraktisch. Der Ausweg ist die Stammfunktion. Eine Stammfunktion von $f$ ist eine Funktion $F$ mit $F\prime (x)=f(x)$, also eine Funktion, die beim Ableiten wieder $f$ ergibt. Zu $f(x)=x^2$ gehört $F(x)=\frac{x^3}{3}$, denn $\left(\frac{x^3}{3}\right)\prime =x^2$. Jede Funktion $F(x)+C$ mit einer Konstanten $C$ ist ebenfalls eine Stammfunktion, denn Konstanten fallen beim Ableiten weg. Die Gesamtheit schreibt man als unbestimmtes Integral $\int f(x)dx=F(x)+C$.

Bei nicht linearen Verkettungen und bei Produkten helfen die Integrationsmethoden Substitution und partielle Integration.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Warum das stimmt, kannst du dir am Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm vorstellen. Die Fläche unter der Kurve von 0 bis $t$ ist der Weg $s(t)$. Wird $t$ um eine winzige Zeitspanne $h$ größer, kommt ein schmaler Streifen hinzu. Seine Fläche ist ungefähr Höhe mal Breite, also $v(t)·h$. Die Fläche wächst also mit der Rate $v(t)$. Das heißt: Die Ableitung der Flächenfunktion ist die Geschwindigkeit. Deshalb ist die Flächenfunktion eine Stammfunktion.

Flächen unter der x-Achse

Das Integral ist negativ, wo der Graph unter der Achse liegt. Willst du den Flächeninhalt, musst du dort das Vorzeichen umdrehen. Gehe so vor:

1. Bestimme die Nullstellen von $f$ im Intervall.
2. Zerlege das Intervall an den Nullstellen.
3. Berechne jedes Teilintegral und nimm den Betrag.
4. Addiere die Beträge.

Die Fläche zwischen zwei Kurven

Zwischen den Graphen von $f$ und $g$ liegt die Fläche $A={\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$, wenn $f$ im Intervall oben liegt. Die Grenzen $a$ und $b$ sind meist die Schnittstellen der Graphen. Dann gehst du so vor:

1. Setze $f(x)=g(x)$ und bestimme die Schnittstellen.
2. Prüfe, welche Funktion oben liegt (mit einem Testwert dazwischen).
3. Integriere die Differenz „oben minus unten“.

Schneiden sich die Graphen im Intervall noch einmal, zerlegst du an der Schnittstelle, weil sich dort die obere und die untere Kurve vertauschen.

Die Integralfunktion

Lässt du die obere Grenze wandern, entsteht die Integralfunktion

Sie gibt die Flächenbilanz von der festen Stelle $a$ bis zur wandernden Stelle $x$ an. Der Hauptsatz sagt: $I_a\prime (x)=f(x)$. Für $f(t)=2t$ und $a=1$ ist $I_1(x)=[t^2{]}_1^x=x^2-1$. Ihre Ableitung ist $2x$, also wieder $f(x)$, und es gilt $I_1(1)=0$.

Anwendungen

• Weg aus der Geschwindigkeit: Ein Fahrzeug beschleunigt mit der Geschwindigkeit $v(t)=\mathrm{0,5}{t}^2$ (in m/s) in den ersten 6 Sekunden. Der Weg ist ${\int }_0^6\mathrm{0,5}{t}^{2}dt={\left[\frac{t^3}{6}\right]}_0^6=36$ Meter.
• Mittelwert einer Funktion: Der Mittelwert von $f$ auf $[a;b]$ ist $\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$. Für die Geschwindigkeit oben ist er $\frac{36}{6}=6$ m/s. Für $f(x)=x^2$ auf $[0;3]$ gilt $\frac{1}{3}·9=3$.
• Gesamtmenge aus einer Rate: Fließt Wasser mit der Rate $r(t)$ Liter pro Minute, ist ${\int }_0^{T}r(t)dt$ die Wassermenge in $T$ Minuten.
• Volumen: Dreht man eine Fläche um die $x$-Achse, entsteht ein Rotationskörper. Sein Volumen steht bei den Rotationskörpern.

Näherungsweise integrieren

Hat eine Funktion keine einfache Stammfunktion, wie $f(x)=e^{-x^2}$, rechnet man das Integral näherungsweise. Die Trapezregel ersetzt die Rechtecke durch Trapeze: Du teilst $[a;b]$ in $n$ Streifen der Breite $h$ und rechnest

Für ${\int }_0^1{e}^{-x^2}dx$ mit $n=4$ und $h=\mathrm{0,25}$ sind die Funktionswerte $1$; $\mathrm{0,9394}$; $\mathrm{0,7788}$; $\mathrm{0,5698}$; $\mathrm{0,3679}$. Das ergibt $\mathrm{0,25}·(\mathrm{0,5}+\mathrm{0,9394}+\mathrm{0,7788}+\mathrm{0,5698}+\mathrm{0,184})\approx \mathrm{0,743}$. Der genaue Wert ist $\mathrm{0,7468}$, mit $n=10$ erhältst du $\mathrm{0,7462}$. Genau so arbeiten Integralrechner und Computer, wenn keine Stammfunktion bekannt ist.

Uneigentliche Integrale

Ein Integral heißt uneigentlich, wenn eine Grenze unendlich ist. Du rechnest mit einer Grenze $b$ und lässt dann $b$ wachsen:

• ${\int }_1^b\frac{1}{x^2}dx={\left[-\frac{1}{x}\right]}_1^b=1-\frac{1}{b}\to 1$. Das Integral ${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^2}dx$ hat also den Wert 1, obwohl die Fläche unendlich weit reicht.
• ${\int }_1^b\frac{1}{x}dx=\ln b\to \infty$. Das Integral ${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x}dx$ divergiert, die Fläche ist unendlich groß.
• ${\int }_0^b{e}^{-x}dx=1-e^{-b}\to 1$.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: von Archimedes bis Riemann

Archimedes berechnete im 3. Jahrhundert v. Chr. mit der Ausschöpfungsmethode Flächen und Volumina, darunter das Parabelsegment. Im 17. Jahrhundert betrachtete Bonaventura Cavalieri Flächen als Stapel unendlich dünner Linien. Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz erkannten unabhängig voneinander, dass Integrieren die Umkehrung des Ableitens ist. Das ist der Hauptsatz. Leibniz schuf die Schreibweise, die wir noch heute benutzen.

Im 19. Jahrhundert wurde der Begriff streng gefasst: Augustin-Louis Cauchy definierte das Integral 1823 als Grenzwert von Summen, und Bernhard Riemann gab die Definition mit Zerlegungen und Zwischenstellen, die bis heute in Schule und Studium gilt.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Integralrechnung
• Wikipedia: Stammfunktion
• Wikipedia: Fundamentalsatz der Analysis
• Wikipedia: Riemannsches Integral
• Wikipedia: Uneigentliches Integral
• Wikipedia: Integral (englisch, Abschnitt History)