David Hilbert

David Hilbert (1862–1943) war einer der einflussreichsten Mathematiker der Neuzeit. Der gebürtige Königsberger lehrte ab 1895 in Göttingen und machte die dortige Universität zum wichtigsten mathematischen Zentrum der Welt. Er arbeitete in auffallend vielen Gebieten: Invariantentheorie, Zahlentheorie, Geometrie, Integralgleichungen, mathematische Physik und Logik. In fast jedem davon hinterließ er Begriffe und Sätze, die bis heute seinen Namen tragen.

Weltbekannt wurde Hilbert durch seinen Vortrag auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris im August 1900. Dort stellte er ungelöste Fragen vor, die als die 23 Hilbertschen Probleme die Forschung des 20. Jahrhunderts stark beeinflussten. In den 1920er-Jahren wollte er mit dem Hilbertprogramm beweisen, dass die Mathematik frei von Widersprüchen ist. Dass dieses Ziel in seiner ursprünglichen Form unerreichbar ist, zeigte 1931 der junge Kurt Gödel.

Kindheit und Studium in Königsberg

David Hilbert wurde am 23. Januar 1862 in Königsberg in Ostpreußen geboren, der Stadt, in der einst Immanuel Kant gelehrt hatte. Er besuchte zunächst das Friedrichskollegium und wechselte später an das Wilhelms-Gymnasium, das mehr Wert auf Mathematik und Naturwissenschaften legte. 1880 begann er das Mathematikstudium an der Universität Königsberg; nur ein Semester verbrachte er in Heidelberg.

In Königsberg schloss Hilbert zwei Freundschaften, die sein Leben prägten: mit dem zwei Jahre jüngeren Hermann Minkowski und mit Adolf Hurwitz, der 1884 als außerordentlicher Professor in die Stadt kam. Auf regelmäßigen Spaziergängen diskutierten die drei über alle Gebiete der Mathematik. 1885 wurde Hilbert bei Ferdinand Lindemann, der drei Jahre zuvor die Transzendenz der Kreiszahl π bewiesen hatte, mit einer Arbeit über Invarianten promoviert. 1886 habilitierte er sich, 1892 wurde er außerordentlicher und 1893 ordentlicher Professor in Königsberg. 1892 heiratete er Käthe Jerosch, 1893 kam der einzige Sohn Franz zur Welt.

Invariantentheorie und der Hilbertsche Basissatz (1888)

Hilberts erstes großes Thema war die Invariantentheorie, damals ein zentrales Gebiet der Algebra. Sie untersucht Ausdrücke, die sich bei bestimmten Koordinatenwechseln nicht oder nur um einen festen Faktor ändern. Ein einfaches Beispiel ist die Diskriminante b² − 4ac einer quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0: Verschiebt man die Variable, bleibt sie gleich, und ihr Vorzeichen entscheidet darüber, wie viele reelle Lösungen es gibt. Paul Gordan, der „König der Invarianten“, hatte 1868 mit langen Rechnungen gezeigt, dass sich bei sogenannten binären Formen alle Invarianten aus endlich vielen Grundinvarianten aufbauen lassen. Für Formen mit mehr Variablen blieb die Frage offen.

1888 löste Hilbert dieses „Gordansche Problem“ allgemein, und zwar auf überraschende Weise. Statt die Grundinvarianten auszurechnen, bewies er, dass es endlich viele geben muss. Kern des Beweises ist der nach ihm benannte Basissatz (veröffentlicht 1890): Jedes Ideal im Ring der Polynome in endlich vielen Variablen über einem Körper wird von endlich vielen Polynomen erzeugt. Anschaulich heißt das: Jedes noch so große, sogar unendliche System von Polynomgleichungen in endlich vielen Unbekannten hat dieselben Lösungen wie ein geeignetes endliches Teilsystem.

Gordan reagierte als Gutachter der Mathematischen Annalen zunächst ablehnend, weil Hilbert kein Verfahren zur Berechnung angab. Ihm wird der Ausspruch zugeschrieben: „Das ist nicht Mathematik, das ist Theologie.“ Felix Klein, der Herausgeber der Zeitschrift, stellte sich jedoch hinter Hilbert und veröffentlichte die Arbeit. Solche Existenzbeweise, die zeigen, dass etwas existiert, ohne es zu konstruieren, wurden zu einem Kennzeichen der modernen Mathematik. Mit dem Nullstellensatz (1893) legte Hilbert zudem eine Grundlage der algebraischen Geometrie. Emmy Noether, eine Doktorandin Gordans, machte seine Ideen später zum Ausgangspunkt der abstrakten Algebra.

Der Zahlbericht und die algebraische Zahlentheorie

1893 beauftragte die Deutsche Mathematiker-Vereinigung Hilbert und Minkowski mit einem Bericht über den Stand der Zahlentheorie. Minkowski zog sich bald zurück, und Hilbert legte 1897 allein den Zahlbericht vor, die Abhandlung Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. Er ordnete darin die Ergebnisse von Ernst Eduard Kummer, Leopold Kronecker und Richard Dedekind neu und bewies viele Sätze auf einfachere Weise. Über Jahrzehnte war der Zahlbericht das Standardwerk des Gebiets. Hilberts Vermutungen über sogenannte Klassenkörper gaben den Anstoß zur Klassenkörpertheorie, einem Kernstück der Zahlentheorie des 20. Jahrhunderts.

1909 gelang Hilbert ein weiterer Durchbruch in der Zahlentheorie. Edward Waring hatte 1770 vermutet, dass sich jede natürliche Zahl als Summe einer beschränkten Anzahl von k-ten Potenzen schreiben lässt. Für Quadratzahlen war bekannt, dass vier Summanden immer genügen. Hilbert bewies, dass es für jeden Exponenten k eine solche feste Schranke gibt.

Göttingen: Hilbert als Mittelpunkt der Mathematik

1895 holte Felix Klein Hilbert nach Göttingen. Gemeinsam bauten sie die Universität zum führenden Zentrum der Mathematik aus, das Studierende und Gäste aus aller Welt anzog. 1902 nutzte Hilbert einen Ruf nach Berlin, den er ablehnte, um in Göttingen einen zusätzlichen Lehrstuhl für Minkowski durchzusetzen. Dessen früher Tod 1909 traf ihn schwer.

Hilbert betreute 69 Doktorarbeiten, darunter die von Otto Blumenthal, Hermann Weyl, Erich Hecke, Richard Courant, Hugo Steinhaus und Wilhelm Ackermann. Er galt als anregender, unkonventioneller Lehrer, der Probleme lieber von Grund auf neu durchdachte, als fertige Theorien vorzutragen. Politisch blieb er unabhängig: 1914 weigerte er sich, den „Aufruf an die Kulturwelt“ zu unterschreiben, mit dem 93 deutsche Gelehrte und Künstler das Vorgehen der deutschen Armee in Belgien rechtfertigten. Klein dagegen unterschrieb.

1915 holten Hilbert und Klein Emmy Noether nach Göttingen. Gegen ihre Habilitation wehrten sich Teile der Fakultät, denn Frauen waren dazu in Preußen damals nicht zugelassen. Hilbert soll entgegnet haben, er sehe nicht ein, warum das Geschlecht der Kandidatin ein Argument gegen ihre Zulassung sei; die Fakultät sei schließlich keine Badeanstalt. Bis zu ihrer Habilitation 1919 hielt Noether Vorlesungen, die unter Hilberts Namen angekündigt wurden.

Grundlagen der Geometrie (1899): Euklid neu axiomatisiert

Über 2.000 Jahre galten die Elemente von Euklid als Vorbild strenger Mathematik. Bei genauer Prüfung zeigten sich jedoch Lücken: Euklid benutzte stillschweigend Eigenschaften wie „zwischen“ oder die Tatsache, dass sich zwei Kreise unter bestimmten Bedingungen schneiden, ohne sie aus seinen Postulaten herzuleiten. Seit der Entdeckung der nichteuklidischen Geometrien war zudem klar, dass das Parallelenpostulat nicht aus den übrigen Annahmen folgt.

In seinem Buch Grundlagen der Geometrie, das 1899 zur Enthüllung des Gauß-Weber-Denkmals in Göttingen erschien, stellte Hilbert ein vollständiges Axiomensystem auf. Es umfasst rund 20 Axiome in fünf Gruppen: Verknüpfung, Anordnung, Kongruenz, Parallelen und Stetigkeit. Die Grundbegriffe Punkt, Gerade und Ebene definiert Hilbert nicht; sie sind allein durch die Axiome bestimmt. Überliefert ist sein Ausspruch, man müsse statt „Punkte, Geraden, Ebenen“ jederzeit auch „Tische, Stühle, Bierseidel“ sagen können. Gemeint ist: Für einen Beweis zählt nur, was die Axiome über die Begriffe aussagen, nicht die Anschauung.

Hilbert untersuchte auch sein Axiomensystem als Ganzes. Er zeigte, dass es widerspruchsfrei ist, sofern die Arithmetik der reellen Zahlen widerspruchsfrei ist, und dass viele Axiome voneinander unabhängig sind. Diese Art, über Axiomensysteme selbst nachzudenken, wurde zum Vorbild der modernen axiomatischen Methode.

Die Hilbert-Kurve (1891)

Schon 1891 hatte Hilbert eine anschauliche Konstruktion veröffentlicht: eine stetige Kurve, die ein ganzes Quadrat ausfüllt. Ein Jahr zuvor hatte Giuseppe Peano die erste solche „raumfüllende Kurve“ angegeben, allerdings rein rechnerisch und ohne Zeichnung. Hilbert erzeugte seine Kurve durch wiederholtes Verfeinern. Das Quadrat wird in vier Teilquadrate zerlegt, die ein hufeisenförmiger Weg nacheinander durchläuft; in jedem weiteren Schritt wird jedes Teilquadrat wieder geviertelt und der Weg entsprechend verfeinert. Der Grenzwert dieser Folge von Wegen trifft jeden Punkt des Quadrats. Heute nutzt die Informatik Hilbert-Kurven, um zweidimensionale Daten so in eine Reihenfolge zu bringen, dass benachbarte Punkte meist auch nahe beieinander gespeichert werden.

Paris 1900: die 23 Hilbertschen Probleme

Am 8. August 1900 sprach Hilbert in der Sorbonne auf dem zweiten Internationalen Mathematikerkongress über „Mathematische Probleme“. Statt eine Bilanz des zu Ende gehenden Jahrhunderts zu ziehen, blickte er nach vorn: Fortschritt entstehe durch gut gestellte Probleme. Aus Zeitgründen trug er nur zehn Probleme vor. Die vollständige Liste mit 23 Problemen erschien kurz darauf in den Nachrichten der Göttinger Gesellschaft der Wissenschaften. Bekannt wurde besonders sein Bekenntnis zur Lösbarkeit aller mathematischen Fragen:

„Da ist das Problem, suche die Lösung. Du kannst sie durch reines Denken finden; denn in der Mathematik gibt es kein Ignorabimus!“

Das lateinische „Ignorabimus“ („wir werden es nicht wissen“) spielte auf den Physiologen Emil du Bois-Reymond an, der 1872 erklärt hatte, manche Fragen der Naturerkenntnis blieben für immer unbeantwortbar.

Die Probleme sind sehr unterschiedlich gestellt. Manche sind präzise Fragen mit eindeutiger Antwort, andere eher Forschungsprogramme. Das sechste Problem etwa verlangt eine axiomatische Begründung der Physik und ist bis heute nur in Teilen bearbeitet. Wer eines der Probleme löste, gehörte nach einem Wort von Hermann Weyl zur „Ehrenklasse“ der Mathematik.

Integralgleichungen und der Hilbertraum

Zwischen 1904 und 1910 veröffentlichte Hilbert eine Folge von Arbeiten über lineare Integralgleichungen, bei denen eine unbekannte Funktion unter einem Integral steht. Solche Gleichungen treten in der Physik auf, etwa bei Schwingungen und in der Potentialtheorie. Hilberts Idee bestand darin, Funktionen durch unendliche Folgen von Zahlen zu ersetzen, etwa durch ihre Koeffizienten in einer Fourier-Reihe, und die Gleichungen dann wie lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Unbekannten zu behandeln.

So entstand die Vorstellung eines Raums mit unendlich vielen Dimensionen. Ein Punkt in diesem Raum ist eine Folge (x₁, x₂, x₃, …), deren Quadratsumme endlich bleibt. Ihr Abstand vom Ursprung wird wie im Satz des Pythagoras berechnet, nur mit unendlich vielen Koordinaten:

Einen abstrakten Raumbegriff formulierte Hilbert selbst noch nicht. Erhard Schmidt und Frigyes Riesz entwickelten die Geometrie solcher Räume weiter. John von Neumann, der 1926/27 bei Hilbert in Göttingen arbeitete, definierte schließlich um 1929 den abstrakten Hilbertraum und machte ihn zum mathematischen Fundament der Quantenmechanik: Die Zustände eines Quantensystems werden dort als Vektoren in einem Hilbertraum beschrieben. Die Funktionalanalysis, die aus diesen Arbeiten hervorging, gehört heute zu den Grundpfeilern der Mathematik.

Hilbert und die Physik: die Feldgleichungen von 1915

Ab etwa 1912 beschäftigte sich Hilbert intensiv mit Physik, ganz im Sinne seines sechsten Problems. Im Sommer 1915 hielt Albert Einstein in Göttingen Vorträge über seine noch unfertige Gravitationstheorie. In den folgenden Monaten arbeiteten beide parallel an den Feldgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie. Hilbert reichte seine Arbeit Die Grundlagen der Physik am 20. November 1915 ein, fünf Tage bevor Einstein in Berlin die endgültigen Gleichungen vorlegte. Die erhaltenen Druckfahnen von Hilberts Arbeit enthalten die Feldgleichungen jedoch nicht in expliziter Form; sie kamen erst in der überarbeiteten Druckfassung hinzu. Hilbert selbst schrieb die Theorie stets Einstein zu.

Bleibend ist Hilberts Herleitung der Gleichungen aus einem Variationsprinzip, der sogenannten Einstein-Hilbert-Wirkung. Bei der Klärung offener Fragen zur Energieerhaltung in dieser Theorie bewies Emmy Noether 1918 ihr berühmtes Theorem über den Zusammenhang von Symmetrien und Erhaltungsgrößen.

Das Hilbertprogramm und der Grundlagenstreit

Die Antinomien der Mengenlehre, die Bertrand Russell und andere um 1900 entdeckt hatten, erschütterten das Vertrauen in die Grundlagen der Mathematik. Der Niederländer L. E. J. Brouwer zog daraus radikale Konsequenzen. Sein Intuitionismus erkannte nur Objekte an, die sich konstruieren lassen, und verwarf in Beweisen über unendliche Gesamtheiten den Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Damit wären große Teile der klassischen Mathematik ungültig geworden, auch Hilberts eigene Existenzbeweise.

Hilbert hielt dagegen. In seinem Vortrag „Über das Unendliche“ erklärte er 1925: „Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.“ Gemeint war die Mengenlehre von Georg Cantor mit ihren unendlichen Größen. Um sie abzusichern, entwarf Hilbert in den 1920er-Jahren mit Paul Bernays und Wilhelm Ackermann das Hilbertprogramm:

1. Die gesamte Mathematik wird in formalen Axiomensystemen dargestellt, in denen Beweise rein mechanisch nach festen Regeln aus Zeichenketten gebildet werden.
2. Mit einfachen, „finiten“ Methoden, die auch Kritiker wie Brouwer anerkennen müssten, wird bewiesen, dass sich in diesen Systemen kein Widerspruch ableiten lässt.

Dazu kamen die Fragen, ob die Systeme vollständig sind und ob es ein Verfahren gibt, das für jede Aussage entscheidet, ob sie beweisbar ist. Dieses Entscheidungsproblem formulierten Hilbert und Ackermann 1928 in ihrem Lehrbuch Grundzüge der theoretischen Logik. Im selben Jahr eskalierte der Streit mit Brouwer: Hilbert setzte durch, dass Brouwer die Redaktion der Mathematischen Annalen verlassen musste.

Königsberg 1930: „Wir müssen wissen“

1930 wurde Hilbert emeritiert. Seine Heimatstadt Königsberg ernannte ihn zum Ehrenbürger. Am 8. September 1930 sprach er dort vor der Gesellschaft Deutscher Naturforscher und Ärzte über Naturerkennen und Logik; eine Kurzfassung der Rede wurde im Rundfunk gesendet. Er schloss mit den Worten: „Wir müssen wissen. Wir werden wissen.“

Einen Tag zuvor hatte auf einer Tagung in derselben Stadt der 24-jährige Kurt Gödel in einer Diskussion sein erstes Unvollständigkeitsresultat angekündigt. Wenige Wochen später folgte der zweite Unvollständigkeitssatz: Ein widerspruchsfreies System, das die Arithmetik umfasst, kann seine eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen. Damit war das Hilbertprogramm in seiner ursprünglichen Form nicht durchführbar. 1936 zeigten Alonzo Church und Alan Turing außerdem, dass das Entscheidungsproblem keine positive Lösung hat.

Vergeblich war das Programm trotzdem nicht. Die von Hilbert begründete Beweistheorie ist bis heute ein eigenes Gebiet der Logik: Gerhard Gentzen bewies 1936 die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik mit Methoden, die über das Finite hinausgehen. Und die Frage nach mechanischen Beweisverfahren führte über Turing direkt zur theoretischen Informatik.

Späte Jahre: Göttingen im Nationalsozialismus

Nach der Machtübernahme der Nationalsozialisten 1933 verlor Göttingen innerhalb kurzer Zeit seine Stellung. Jüdische und politisch unerwünschte Mathematiker wurden entlassen oder vertrieben, unter ihnen Richard Courant, Emmy Noether, Paul Bernays und Edmund Landau. Hermann Weyl, dessen Frau jüdischer Herkunft war, emigrierte in die USA. Hilberts erster Doktorand Otto Blumenthal starb 1944 im Ghetto Theresienstadt.

Hilbert war bereits über siebzig und emeritiert. Öffentlichen Widerstand leistete er nicht, doch überliefert ist eine bittere Antwort aus dem Jahr 1934. Als der Reichserziehungsminister Bernhard Rust ihn fragte, ob das Mathematische Institut unter dem Weggang der Juden gelitten habe, soll Hilbert erwidert haben, gelitten habe es nicht, es existiere schlicht nicht mehr.

Anfang 1942 stürzte Hilbert in Göttingen und brach sich den Arm. Von den Folgen erholte er sich nicht mehr; er starb am 14. Februar 1943. An der Trauerfeier nahmen nach dem Bericht seiner Biografin Constance Reid weniger als ein Dutzend Menschen teil. Sein Grab auf dem Göttinger Stadtfriedhof trägt die Inschrift „Wir müssen wissen. Wir werden wissen.“

Zeitleiste: David Hilbert

1. 1862 Geburt in Königsberg (23. Januar)
2. 1888 Lösung des Gordanschen Problems mit dem Basissatz
3. 1895 Wechsel an die Universität Göttingen
4. 1897 Der „Zahlbericht“ über algebraische Zahlkörper erscheint
5. 1899 Grundlagen der Geometrie
6. 1900 Vortrag über mathematische Probleme in Paris (8. August)
7. 1915 Arbeit über die Grundlagen der Physik; Emmy Noether kommt nach Göttingen
8. 1928 Formulierung des Entscheidungsproblems mit Wilhelm Ackermann
9. 1930 Emeritierung; Rede in Königsberg: „Wir müssen wissen. Wir werden wissen.“
10. 1943 Tod in Göttingen (14. Februar)

Bedeutung heute

Kaum ein Mathematiker ist im heutigen Fachvokabular so präsent wie Hilbert. Hilberträume bilden die Sprache der Quantenmechanik und der Signalverarbeitung. Der Basissatz und der Nullstellensatz gehören zum Fundament der algebraischen Geometrie; Computeralgebrasysteme lösen Polynomgleichungen mit sogenannten Gröbnerbasen, deren Existenz auf Hilberts Basissatz beruht. Hilbert-Kurven ordnen Daten in Datenbanken und Bildverarbeitung.

Auch Hilberts Arbeitsweise wirkt fort. Die axiomatische Methode, also das saubere Aufschreiben aller Voraussetzungen und das Untersuchen ihrer Widerspruchsfreiheit und Unabhängigkeit, ist heute Standard in der gesamten Mathematik. Die Idee, die Forschung durch eine Liste großer Probleme zu bündeln, griff das Clay Mathematics Institute im Jahr 2000 mit seinen sieben Millennium-Problemen auf; die Riemannsche Vermutung steht auf beiden Listen. Und die Beweistheorie, die Hilbert begründete, ist eine der Wurzeln der Informatik: Programme, die mathematische Beweise automatisch überprüfen, setzen seinen Gedanken der vollständigen Formalisierung praktisch um.

Häufige Fragen

Was sind die Hilbertschen Probleme?

Eine Liste von 23 ungelösten mathematischen Problemen, die David Hilbert 1900 auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris vorstellte. Sie reichen von der Kontinuumshypothese über die Riemannsche Vermutung bis zur Axiomatisierung der Physik und prägten die Forschung des 20. Jahrhunderts.

Sind alle Hilbertschen Probleme gelöst?

Nein. Viele sind vollständig gelöst, einige nur teilweise, und manche sind so allgemein formuliert, dass man sie kaum als „gelöst“ abhaken kann. Die Riemannsche Vermutung aus dem achten Problem ist weiterhin offen.

Was ist ein Hilbertraum?

Ein Hilbertraum verallgemeinert den gewohnten Raum mit Längen und Winkeln auf beliebig viele, auch unendlich viele Dimensionen. Er entstand aus Hilberts Arbeiten über Integralgleichungen und wurde von John von Neumann abstrakt definiert. In der Quantenmechanik beschreibt man Zustände als Vektoren in einem Hilbertraum.

Was bedeutet „Wir müssen wissen. Wir werden wissen.“?

Mit diesen Worten schloss Hilbert 1930 seine Rede in Königsberg. Sie richten sich gegen die Auffassung, manche Fragen seien grundsätzlich unbeantwortbar, und drücken seine Überzeugung aus, dass jedes mathematische Problem lösbar ist. Der Satz steht heute auf seinem Grabstein.

Quellen und weiterführende Literatur

• Constance Reid: Hilbert, Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1970.
• David Hilbert: Grundlagen der Geometrie, Teubner, Leipzig 1899.
• David Hilbert: Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900. In: Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 1900.
• Ben H. Yandell: The Honors Class. Hilbert’s Problems and Their Solvers, A K Peters, Natick 2002.
• MacTutor History of Mathematics: David Hilbert (englisch)
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Hilbert’s Program (englisch)