Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung misst, wie groß die Chance ist, dass ein zufälliges Ereignis eintritt. Sie gibt dem Bauchgefühl „Das klappt wohl eher selten“ eine Zahl zwischen 0 und 1. Wie wahrscheinlich ist eine Sechs beim Würfeln? Wie groß ist die Chance auf einen Lottogewinn, auf Regen am Wochenende oder auf ein falsches Testergebnis in der Arztpraxis?

Erstaunlich ist, wie jung dieses Gebiet ist: Die ersten Rechnungen stammen aus dem 16. und 17. Jahrhundert und entstanden ausgerechnet beim Würfelspiel. Hier lernst du Baumdiagramme, Kombinatorik, bedingte Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Binomialverteilung kennen, dazu die Denkfallen des Zufalls und die Geschichte von Cardano bis Laplace.

Zufallsexperiment, Ergebnis und Ereignis

Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen Ausgang du vorher nicht sicher kennst, den du aber unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholen könntest. Beispiele sind Münzwurf, Würfelwurf, das Ziehen einer Karte oder ein Glücksrad. Jeder mögliche Ausgang heißt Ergebnis. Alle Ergebnisse zusammen bilden die Ergebnismenge, die man mit dem großen griechischen Buchstaben Ω (Omega) bezeichnet.

Oft interessiert dich nicht ein einzelnes Ergebnis, sondern eine ganze Gruppe, etwa „Die Augenzahl ist gerade“. Eine solche Auswahl heißt Ereignis. Mathematisch ist ein Ereignis eine Teilmenge der Ergebnismenge, du kannst also mit der Mengenlehre arbeiten. Das Ereignis, das immer eintritt, heißt sicheres Ereignis (es ist ganz Ω). Das Ereignis, das nie eintritt, heißt unmögliches Ereignis (die leere Menge).

Wahrscheinlichkeit nach Laplace: Würfel und Münze

Bei einer fairen Münze hat Kopf dieselbe Chance wie Zahl, bei einem fairen Würfel hat jede Augenzahl dieselbe Chance. Ein Experiment, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, heißt Laplace-Experiment, benannt nach Pierre-Simon Laplace. Dann gilt eine einfache Regel: Du zählst die günstigen Ergebnisse und teilst durch die Anzahl aller möglichen.

Das Gegenereignis: einfach das Gegenteil rechnen

Zu jedem Ereignis A gehört das Gegenereignis $\overline{A}$ („nicht A“). Es besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu A gehören. Weil immer genau eines von beiden eintritt, ergeben die beiden Wahrscheinlichkeiten zusammen 1. Das spart oft viel Arbeit, besonders bei Fragen mit „mindestens einmal“. Dann rechnest du einfacher das Gegenteil „keinmal“ aus.

Baumdiagramm und Pfadregeln

Viele Zufallsexperimente laufen in mehreren Stufen ab, etwa zweimal Ziehen aus einer Lostrommel. Ein Baumdiagramm macht solche Abläufe übersichtlich. Jede Verzweigung zeigt die möglichen Ausgänge einer Stufe, an den Ästen steht die zugehörige Wahrscheinlichkeit. Ein Weg vom Start bis zum Ende heißt Pfad. Als Beispiel dient eine Trommel mit 3 Gewinnen (G) und 2 Nieten (N). Du ziehst zwei Lose nacheinander und legst sie nicht zurück.

Nach dem ersten Zug hat sich die Trommel verändert: Zog man einen Gewinn, liegen nur noch 4 Lose darin, davon 2 Gewinne. Deshalb stehen an der zweiten Stufe andere Zahlen.

Kombinatorik: zählen, ohne alles aufzuschreiben

Die Laplace-Regel verlangt, alle Ergebnisse zu zählen. Das wird schnell mühsam, etwa beim Lotto. Die Kombinatorik rechnet solche Anzahlen aus, ohne sie aufzulisten.

Zählprinzip und Fakultät

Das Grundprinzip ist das Multiplizieren. Eine Speisekarte mit 3 Vorspeisen, 4 Hauptgerichten und 2 Nachspeisen ergibt $3·4·2=24$ verschiedene Menüs. Auf wie viele Arten können 5 Kinder in einer Reihe stehen? Für den ersten Platz hast du 5 Kinder zur Wahl, dann 4, 3, 2 und 1. Das sind $5·4·3·2·1=120$ Möglichkeiten. Diese Rechnung heißt Fakultät und wird $5!$ geschrieben („fünf Fakultät“).

Auswahl ohne Reihenfolge: der Binomialkoeffizient

Oft kommt es nicht auf die Reihenfolge an. Beim Lotto zählt nur, welche Zahlen du ankreuzt. Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus $n$ Dingen $k$ auszuwählen? Zählst du zuerst mit Reihenfolge, ergibt sich $n·(n-1)·\dots ·(n-k+1)$. Dabei wird aber jede Auswahl so oft gezählt, wie man die $k$ gewählten Dinge anordnen kann, nämlich $k!$-mal. Du teilst also durch $k!$.

Die Binomialkoeffizienten stehen im pascalschen Dreieck, in dem jede Zahl die Summe der beiden darüberstehenden Zahlen ist. Seinen Namen trägt es nach Blaise Pascal, der es 1654 ausführlich untersuchte. Bekannt war es aber schon früher: Im China des 13. Jahrhunderts kannte es Yang Hui.

Lotto 6 aus 49

Beim Lotto werden 6 von 49 Kugeln gezogen, und die Reihenfolge spielt keine Rolle. Die Zahl der möglichen Tipps ist der Binomialkoeffizient von 49 über 6.

Im deutschen Lotto kommt eine Superzahl von 0 bis 9 hinzu. Für den Höchstgewinn mit sechs Richtigen und der richtigen Superzahl sinkt die Chance auf 1 zu 139.838.160.

Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel

Manchmal weißt du schon etwas über das Ergebnis. Dann ändert sich die Chance. Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P\left(A\right|B)$ ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B bereits eingetreten ist. Zwei Merkmale mit je zwei Ausprägungen übersichtlich zu ordnen gelingt mit einer Vierfeldertafel. Sie arbeitet am besten mit absoluten Zahlen, etwa mit einer Gruppe von 10.000 Personen.

Ein Beispiel aus der Medizin: 1 % der Menschen haben eine bestimmte Krankheit. Ein Test erkennt 90 % der Kranken, schlägt aber auch bei 5 % der Gesunden fälschlich an. Du wurdest positiv getestet. Wie wahrscheinlich bist du krank?

So füllst du die Tafel aus: 1 % von 10.000 sind 100 Kranke, also 9.900 Gesunde. Von den Kranken werden 90 % erkannt (90), von den Gesunden 5 % fälschlich (495). Insgesamt sind 585 Personen positiv, aber nur 90 von ihnen wirklich krank. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt $P\left(\text{krank}\right|\text{positiv})=\frac{90}{585}\approx \mathrm{0,154}$. Das sind nur etwa 15 Prozent. Der Grund: Die vielen Gesunden erzeugen mehr falsche Alarme, als es Kranke gibt. Studien von Gerd Gigerenzer zeigen, dass auch Fachleute das oft falsch einschätzen.

Erwartungswert: Was bringt ein Spiel auf lange Sicht?

Der Erwartungswert ist der Wert, den du im Durchschnitt erwarten kannst, wenn du ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholst. Du multiplizierst jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addierst alles. Der Erwartungswert muss kein möglicher Ausgang sein: Beim Würfeln beträgt er $\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\mathrm{3,5}$, obwohl du nie eine 3,5 würfelst.

Binomialverteilung: Treffer zählen

Viele Experimente haben nur zwei Ausgänge: Treffer oder Niete, Kopf oder Zahl, defekt oder in Ordnung. Ein solches Experiment heißt Bernoulli-Experiment. Die Treffer-Wahrscheinlichkeit nennst du $p$, die der Niete ist dann $1-p$. Wiederholst du es $n$-mal und die Versuche beeinflussen sich nicht, entsteht eine Bernoulli-Kette. Die Zufallsgröße $X$ zählt die Treffer, und ihre Wahrscheinlichkeiten heißen Binomialverteilung.

Die Formel folgt aus dem Baumdiagramm. Ein bestimmter Pfad mit $k$ Treffern und $n-k$ Nieten hat nach der Produktregel die Wahrscheinlichkeit $p^k·(1-p{)}^{n-k}$. Wie viele solche Pfade gibt es? Du musst nur festlegen, bei welchen $k$ von $n$ Versuchen der Treffer fällt. Dafür gibt es $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ Möglichkeiten, die du nach der Summenregel addierst.

Die Säulen sind symmetrisch, weil $p=\frac{1}{2}$ ist. Die höchste Säule steht beim Erwartungswert $E\left(X\right)=10·\frac{1}{2}=5$. Bei anderem $p$ wird die Form schief. Mit wachsendem $n$ nähert sie sich jedoch immer einer glatten Glockenkurve, der Normalverteilung.

Das Gesetz der großen Zahlen

Wirfst du eine Münze zehnmal, kann siebenmal Kopf durchaus vorkommen. Die relative Häufigkeit (Treffer geteilt durch Versuche) beträgt dann 70 %. Das Gesetz der großen Zahlen sagt: Je öfter du das Experiment wiederholst, desto näher liegt die relative Häufigkeit an der Wahrscheinlichkeit. Bei 100 Würfen liegt der Anteil von Kopf meist (in etwa 95 von 100 Fällen) zwischen 40 % und 60 %, bei 10.000 Würfen zwischen 49 % und 51 %.

Der südafrikanische Mathematiker John Kerrich warf während des Zweiten Weltkriegs, interniert in Dänemark, eine Münze 10.000-mal und zählte 5.067-mal Kopf. Das sind 50,67 %, die absolute Abweichung betrug aber 67 Würfe. Kopf und Zahl gleichen sich also nicht aus, nur ihr Anteil nähert sich der Wahrscheinlichkeit.

Typische Denkfallen: wo uns der Zufall austrickst

Der Spielerfehlschluss

Eine Münze zeigte fünfmal hintereinander Kopf. Ist jetzt Zahl „überfällig“? Nein. Die Münze hat kein Gedächtnis, der sechste Wurf hat wieder die Chance $\frac{1}{2}$. Der Irrtum, vergangene Ergebnisse müssten sich ausgleichen, heißt Spielerfehlschluss. Im Spielcasino von Monte Carlo fiel am 18. August 1913 die Kugel 26-mal hintereinander auf Schwarz. Viele Spieler setzten immer wieder auf Rot und verloren Millionen Francs.

Das Ziegenproblem

Bei einer Spielshow stehen drei Türen. Hinter einer wartet ein Auto, hinter den anderen beiden je eine Ziege. Du wählst Tür 1. Der Moderator weiß, wo das Auto steht, und öffnet eine andere Tür mit einer Ziege, zum Beispiel Tür 3. Er fragt: „Möchtest du zu Tür 2 wechseln?“ Die richtige Antwort lautet: Ja, denn Wechseln gewinnt mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{3}$.

Die Tabelle zeigt alle Fälle. Das Auto steht mit je $\frac{1}{3}$ hinter einer der drei Türen. Bleibst du bei deiner Wahl, gewinnst du nur im ersten Fall. Wechselst du, gewinnst du in den beiden anderen Fällen, weil der Moderator die einzige übrige Ziegentür öffnen muss.

Noch deutlicher wird es mit 100 Türen: Du wählst eine, der Moderator öffnet 98 Ziegentüren. Würdest du jetzt nicht wechseln? Das Rätsel wurde 1990 durch eine Zeitschriftenkolumne von Marilyn vos Savant berühmt, und viele Leser widersprachen ihr, darunter Mathematiker. Selbst Paul Erdős soll sich erst nach einer Computersimulation überzeugt haben.

Geschichte: vom Würfelspiel zur Wissenschaft

Cardano: das erste Buch über den Zufall

Gerolamo Cardano (1501–1576), Arzt, Mathematiker und leidenschaftlicher Spieler, schrieb um 1564 das Liber de ludo aleae, ein „Buch über das Würfelspiel“. Er erkannte, dass man die günstigen Fälle ins Verhältnis zu allen möglichen setzen muss. Gedruckt wurde es erst 1663.

Fermat und Pascal: der Briefwechsel von 1654

Den Anstoß zur Wissenschaft gab 1654 der Chevalier de Méré, ein Spieler mit Interesse an Mathematik. Er stellte Blaise Pascal zwei Fragen: das Würfelrätsel von oben und das Problem der Punkteteilung. Zwei Spieler spielen faire Runden bis zu einer vereinbarten Punktzahl, doch das Spiel wird abgebrochen, bevor einer gewonnen hat. Wie teilt man den Einsatz gerecht?

Pascal und Pierre de Fermat klärten das in Briefen. Entscheidend sind die Chancen, die jeder noch hat. Ein Beispiel: Gespielt wird bis 3 Punkte, der Stand ist 2 zu 1. Spieler B müsste die nächsten beiden Runden gewinnen, was mit $\frac{1}{2}·\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ geschieht. Spieler A gewinnt also mit $\frac{3}{4}$, und der Einsatz wird im Verhältnis 3 zu 1 geteilt. Der Niederländer Christiaan Huygens hörte davon und schrieb 1657 das erste gedruckte Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Bernoulli und de Moivre: vom Zufall zum Gesetz

Jakob Bernoulli (1655–1705) arbeitete nach eigener Aussage rund zwanzig Jahre an seinem Hauptwerk Ars conjectandi („Kunst des Vermutens“). Es erschien 1713, acht Jahre nach seinem Tod, und enthält das Gesetz der großen Zahlen. Damit ließ sich erstmals begründen, warum man aus vielen Beobachtungen auf Wahrscheinlichkeiten schließen darf.

Der in London lebende Hugenotte Abraham de Moivre (1667–1754) veröffentlichte 1718 das Lehrbuch The Doctrine of Chances. 1733 zeigte er, dass sich die Binomialverteilung bei vielen Versuchen durch die Glockenkurve annähern lässt.

Laplace und Kolmogorow: Ordnung und Fundament

Pierre-Simon Laplace fasste das Wissen seiner Zeit 1812 in der Théorie analytique des probabilités zusammen und erklärte es 1814 in einem Essay für ein breites Publikum.

„Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist im Grunde nichts anderes als der in Rechnung gefasste gesunde Menschenverstand.“

Ein sicheres Fundament erhielt das Gebiet erst 1933, als der sowjetische Mathematiker Andrei Kolmogorow die Wahrscheinlichkeit aus wenigen Axiomen aufbaute.

Quellen und weiterführende Literatur

• Jakob Bernoulli: Ars conjectandi, Basel 1713.
• Pierre-Simon Laplace: Essai philosophique sur les probabilités, Paris 1814.
• Ian Hacking: The Emergence of Probability, Cambridge University Press, Cambridge 1975.
• Gerd Gigerenzer: Das Einmaleins der Skepsis. Über den richtigen Umgang mit Zahlen und Risiken, Berlin Verlag, Berlin 2002.
• MacTutor History of Mathematics: Blaise Pascal (englisch)
• Wikipedia: Wahrscheinlichkeitstheorie