Formelsammlung Mathematik: Alle Formeln zum Ausdrucken

Die Formelsammlung Mathematik fasst die wichtigsten Formeln der Schulmathematik von Klasse 5 bis zum Abitur zusammen: Terme, Gleichungen, Prozente und Zinsen, Geometrie, Trigonometrie, Funktionen, Potenzen und Logarithmen, Analysis, Vektoren und Stochastik. Sie ist zum Nachschlagen gedacht und zum Ausdrucken.

Jede Tabelle hat drei Spalten: den Begriff, die Formel und einen kurzen Hinweis. Der Hinweis sagt, wofür die Buchstaben stehen und wann die Formel gilt. Ausführliche Erklärungen mit Beispielen und Übungen findest du auf den verlinkten Lernseiten. Eine Formelsammlung ersetzt das Verstehen nicht: Sie hilft dir, dich an eine Formel zu erinnern, die du schon einmal hergeleitet hast.

Zahlen und Terme: Rechengesetze, Brüche, binomische Formeln

Die Grundlagen des Rechnens: Rechengesetze, Bruchrechnung und die binomischen Formeln. Erklärungen und Übungen findest du auf der Seite Terme vereinfachen.

Rechengesetze und Bruchrechnung
Begriff	Formel	Hinweis
Kommutativgesetz	$a + b = b + a$ , $a \cdot b = b \cdot a$	Bei Plus und Mal darf man die Reihenfolge tauschen.
Assoziativgesetz	$(a + b) + c = a + (b + c)$ , $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$	Bei Plus und Mal darf man Klammern verschieben.
Distributivgesetz	$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$	Ausmultiplizieren von links nach rechts, Ausklammern von rechts nach links.
Minusklammer	$a - (b + c) = a - b - c$	Steht vor der Klammer ein Minus, drehen sich alle Vorzeichen um.
Erweitern und Kürzen	$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}$	Mit $b \neq 0$ und $k \neq 0$ . Der Wert des Bruchs ändert sich nicht.
Brüche addieren	$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}$	Gleichnamig machen, dann die Zähler addieren. Mit $b, d \neq 0$ .
Brüche multiplizieren	$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$	Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
Brüche dividieren	$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a d}{b c}$	Mit dem Kehrwert multiplizieren. Mit $c \neq 0$ .

Binomische Formeln und Summenformeln
Begriff	Formel	Hinweis
1. binomische Formel	$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$	Beispiel: 103² = 100² + 2 · 100 · 3 + 3² = 10.609.
2. binomische Formel	$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$	Beispiel: 98² = 100² − 2 · 100 · 2 + 2² = 9.604.
3. binomische Formel	$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$	Beispiel: 51 · 49 = 50² − 1² = 2.499.
Kubischer Binomialsatz	$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$	Die Faktoren 1, 3, 3, 1 stehen im pascalschen Dreieck.
Differenz von Kuben	$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$	Hilft beim Kürzen und beim Faktorisieren.
Summe von Kuben	$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$	Der zweite Faktor hat ein Minus in der Mitte.
Gaußsche Summenformel	$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$	Summe der ersten $n$ Zahlen. Beispiel: 1 + 2 + … + 100 = 5.050.
Geometrische Summe	$1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$	Für $q \neq 1$ . Beispiel: 1 + 2 + 4 + 8 = 15.

Gleichungen: linear, quadratisch, Gleichungssysteme

Lineare Gleichungen, Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten und quadratische Gleichungen. Die Lösungswege stehen auf der Seite Gleichungen lösen.

Lineare Gleichungen, Systeme und Ungleichungen
Begriff	Formel	Hinweis
Lineare Gleichung	$a x + b = c \Rightarrow x = \frac{c - b}{a}$	Mit $a \neq 0$ . Durch Einsetzen prüfen.
Gleichungssystem, Lösung für x	$x = \frac{c_{1} b_{2} - c_{2} b_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}$	Für zwei Gleichungen der Form $a x + b y = c$ mit den Nummern 1 und 2 (Cramersche Regel). Der Nenner darf nicht 0 sein.
Gleichungssystem, Lösung für y	$y = \frac{a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}$	Gleicher Nenner wie bei $x$ .
Betragsgleichung	$\| x \| = c \Rightarrow x = c oder x = - c$	Mit $c \geq 0$ .
Ungleichung	$- a x < b \Rightarrow x > - \frac{b}{a}$	Mit $a > 0$ . Teilt man durch eine negative Zahl, dreht sich das Zeichen um.

Quadratische Gleichungen
Begriff	Formel	Hinweis
Reinquadratische Gleichung	$x^{2} = c \Rightarrow x = \pm \sqrt{c}$	Mit $c \geq 0$ . Für $c < 0$ gibt es keine reelle Lösung.
Ausklammern	$x (x + p) = 0$	Dann gilt $x = 0$ oder $x = - p$ . Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist.
pq-Formel	$x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^{2} - q}$	Für $x^{2} + p x + q = 0$ . Vorher durch den Faktor vor $x^{2}$ teilen.
abc-Formel	$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$	Für $a x^{2} + b x + c = 0$ mit $a \neq 0$ . Auch Mitternachtsformel genannt.
Diskriminante	$D = b^{2} - 4 a c$	$D > 0$ : zwei Lösungen, $D = 0$ : eine Lösung, $D < 0$ : keine reelle Lösung.
Satz von Vieta	$x_{1} + x_{2} = - p$ , $x_{1} \cdot x_{2} = q$	Für $x^{2} + p x + q = 0$ mit den Lösungen $x_{1}$ und $x_{2}$ .
Linearfaktoren	$x^{2} + p x + q = (x - x_{1}) (x - x_{2})$	$x_{1}$ und $x_{2}$ sind die Nullstellen.
Quadratische Ergänzung	$x^{2} + p x = (x + \frac{p}{2})^{2} - (\frac{p}{2})^{2}$	Aus dieser Umformung entsteht die pq-Formel.

Prozent und Zinsen: Prozentrechnung, Zinseszins, Dreisatz

Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz, dazu Zinsen, Zinseszins und Dreisatz. Alles mit Beispielen auf der Seite Prozentrechnung.

Prozentrechnung und Dreisatz
Begriff	Formel	Hinweis
Prozentwert	$W = G \cdot \frac{p}{100}$	$G$ Grundwert, $p$ Prozentsatz in Prozent. Beispiel: 20 % von 150 sind 30.
Grundwert	$G = W \cdot \frac{100}{p}$	Beispiel: 30 sind 20 % von 150.
Prozentsatz	$p = \frac{W}{G} \cdot 100$	Ergebnis in Prozent. Beispiel: 30 von 150 sind 20 %.
Erhöhung um p %	$G_{neu} = G \cdot (1 + \frac{p}{100})$	Beispiel: 80 € plus 25 % sind 100 €.
Verminderung um p %	$G_{neu} = G \cdot (1 - \frac{p}{100})$	Beispiel: 80 € minus 25 % sind 60 €.
Prozentuale Änderung	$p = \frac{G_{neu} - G_{alt}}{G_{alt}} \cdot 100$	Positiv: Zunahme, negativ: Abnahme. Von 80 auf 60 sind es −25 %.
Mehrwertsteuer	$Brutto = Netto \cdot 1,19$	Bei 19 %. Netto = Brutto : 1,19. Bei 7 % rechnest du mit 1,07.
Dreisatz, proportional	$\frac{y_{1}}{x_{1}} = \frac{y_{2}}{x_{2}}$	Doppelt so viel $x$ heißt doppelt so viel $y$ .
Dreisatz, antiproportional	$x_{1} \cdot y_{1} = x_{2} \cdot y_{2}$	Doppelt so viel $x$ heißt halb so viel $y$ .

Zinsrechnung
Begriff	Formel	Hinweis
Jahreszinsen	$Z = K \cdot \frac{p}{100}$	$K$ Kapital, $p$ Zinssatz in Prozent pro Jahr.
Zinsen für t Jahre	$Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot t$	Ohne Zinseszins. Beispiel: 1.000 € bei 3 % für 2 Jahre: 60 €.
Zinsen für m Monate	$Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{m}{12}$	Beispiel: 1.200 € bei 2,5 % für 6 Monate: 15 €.
Zinsen für d Tage	$Z = K \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{d}{360}$	Im Bankwesen zählt das Jahr 360 Tage. Beispiel: 1.000 € bei 3 % für 90 Tage: 7,50 €.
Zinseszins	$K_{n} = K_{0} \cdot (1 + \frac{p}{100})^{n}$	$K_{0}$ Anfangskapital, $n$ Jahre. Beispiel: 1.000 € bei 3 % nach 10 Jahren: 1.343,92 €.
Zinssatz bestimmen	$p = 100 \cdot (\sqrt[n]{\frac{K_{n}}{K_{0}}} - 1)$	Aus Anfangs- und Endkapital nach $n$ Jahren.
Laufzeit bestimmen	$n = \frac{\ln (\frac{K_{n}}{K_{0}})}{\ln (1 + \frac{p}{100})}$	Mit dem Logarithmus nach $n$ auflösen.
Sparplan, Endwert	$K_{n} = r \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$ , $q = 1 + \frac{p}{100}$	Jährliche Rate $r$ jeweils am Jahresende, $n$ Jahre.

Geometrie: Flächen, Umfang, Dreiecke und Pythagoras

Flächeninhalt und Umfang ebener Figuren sowie die wichtigsten Sätze am Dreieck. Mehr dazu auf der Seite Geometrie.

Flächeninhalt und Umfang
Begriff	Formel	Hinweis
Quadrat	$A = a^{2}$ , $U = 4 a$	$a$ Seitenlänge. Diagonale $d = a \sqrt{2}$ .
Rechteck	$A = a \cdot b$ , $U = 2 (a + b)$	$a$ und $b$ sind die Seitenlängen.
Parallelogramm	$A = g \cdot h$	$g$ Grundseite, $h$ zugehörige Höhe (senkrecht gemessen).
Dreieck	$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$	Halb so groß wie das Parallelogramm mit gleicher Grundseite und Höhe.
Trapez	$A = \frac{a + c}{2} \cdot h$	$a$ und $c$ sind die parallelen Seiten, $h$ ihr Abstand.
Raute und Drachen	$A = \frac{e \cdot f}{2}$	$e$ und $f$ sind die Diagonalen, sie stehen senkrecht aufeinander.
Kreis	$A = π r^{2}$ , $U = 2 π r$	$r$ Radius. Der Durchmesser ist $d = 2 r$ , also $U = π d$ .
Kreisring	$A = π (R^{2} - r^{2})$	$R$ äußerer Radius, $r$ innerer Radius.
Kreisausschnitt	$A = \frac{α}{360 °} \cdot π r^{2}$	Der Winkel $α$ steht im Mittelpunkt. Bei $α = 90 °$ ist es ein Viertelkreis.
Kreisbogen	$b = \frac{α}{360 °} \cdot 2 π r$	Länge des Bogens zum Mittelpunktswinkel $α$ .
Regelmäßiges n-Eck	$A = \frac{n}{2} \cdot r^{2} \cdot \sin \frac{360 °}{n}$	$r$ ist der Umkreisradius. Beispiel Sechseck mit $r = 1$ : $A \approx 2,598$ .

Dreiecke, Pythagoras und Koordinaten
Begriff	Formel	Hinweis
Winkelsumme im Dreieck	$α + β + γ = 180 °$	Gilt in jedem Dreieck.
Winkelsumme im n-Eck	$S = (n - 2) \cdot 180 °$	Viereck: $360 °$ . Fünfeck: $540 °$ .
Satz des Pythagoras	$a^{2} + b^{2} = c^{2}$	Nur im rechtwinkligen Dreieck. $c$ ist die Hypotenuse.
Kathetensatz	$a^{2} = c \cdot p$ , $b^{2} = c \cdot q$	$p$ und $q$ sind die Hypotenusenabschnitte neben den Katheten $a$ und $b$ .
Höhensatz	$h^{2} = p \cdot q$	$h$ ist die Höhe auf die Hypotenuse.
Satz des Heron	$A = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}$	Mit $s = \frac{a + b + c}{2}$ . Man braucht nur die drei Seiten.
Gleichseitiges Dreieck	$h = \frac{a}{2} \sqrt{3}$ , $A = \frac{a^{2}}{4} \sqrt{3}$	$a$ Seitenlänge, $h$ Höhe.
Strahlensatz	$\frac{Z A_{2}}{Z A_{1}} = \frac{Z B_{2}}{Z B_{1}} = \frac{A_{2} B_{2}}{A_{1} B_{1}}$	$Z$ ist das Strahlenzentrum, $A_{1} B_{1}$ und $A_{2} B_{2}$ sind parallel.
Ähnliche Figuren	$\frac{A_{2}}{A_{1}} = k^{2}$ , $\frac{V_{2}}{V_{1}} = k^{3}$	$k$ ist der Streckfaktor der Längen.
Abstand zweier Punkte	$d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$	Folgt aus dem Satz des Pythagoras.
Mittelpunkt einer Strecke	$M (\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \| \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$	Der Mittelwert der Koordinaten.

Geometrie: Volumen und Oberfläche von Körpern

Volumen und Oberfläche der wichtigsten Körper. Zum Üben passt das Arbeitsblatt Volumen und Oberfläche.

Körper
Begriff	Formel	Hinweis
Würfel	$V = a^{3}$ , $O = 6 a^{2}$	Raumdiagonale $d = a \sqrt{3}$ .
Quader	$V = a \cdot b \cdot c$ , $O = 2 (a b + a c + b c)$	Drei verschiedene Seitenlängen $a$ , $b$ , $c$ .
Raumdiagonale des Quaders	$d = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$	Zweimal Pythagoras: erst die Bodendiagonale, dann die Raumdiagonale.
Prisma	$V = G \cdot h$ , $O = 2 G + M$	$G$ Grundfläche, $h$ Höhe, $M$ Mantelfläche.
Zylinder	$V = π r^{2} h$ , $O = 2 π r (r + h)$	Mantelfläche $M = 2 π r h$ .
Pyramide	$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$	Ein Drittel des Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe.
Kegel	$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ , $O = π r (r + s)$	Mantellinie $s = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ , Mantelfläche $M = π r s$ .
Kegelstumpf	$V = \frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2})$	$R$ und $r$ sind die Radien von Boden und Deckel.
Kugel	$V = \frac{4}{3} π r^{3}$ , $O = 4 π r^{2}$	Beispiel: $r = 1$ ergibt $V \approx 4,189$ .
Einheiten	$1 l = 1 {dm}^{3}$ , $1 ml = 1 {cm}^{3}$	Außerdem gilt: 1 m³ = 1000 l.

Trigonometrie: Sinus, Kosinus, Tangens und Sinusfunktion

Winkelfunktionen im Dreieck, Sinus- und Kosinussatz, besondere Werte und wichtige Umformungen. Die Herleitungen stehen auf der Seite Trigonometrie.

Sinus, Kosinus und Tangens im Dreieck
Begriff	Formel	Hinweis
Sinus	$\sin α = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$	Im rechtwinkligen Dreieck, $α$ ist ein spitzer Winkel.
Kosinus	$\cos α = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$	Die Ankathete liegt am Winkel $α$ an.
Tangens	$\tan α = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$	Der Tangens ist die Steigung.
Zusammenhang	$\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$	Gilt, wenn $\cos α \neq 0$ .
Sinussatz	$\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}$	In jedem Dreieck. Die Seite liegt dem Winkel gegenüber.
Kosinussatz	$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ$	Für $γ = 90 °$ wird daraus der Satz des Pythagoras.
Flächeninhalt eines Dreiecks	$A = \frac{1}{2} a b \sin γ$	$γ$ ist der von $a$ und $b$ eingeschlossene Winkel.
Besondere Werte, Sinus	$\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ , $\sin 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$	Kosinus: die Werte in umgekehrter Reihenfolge.
Besondere Werte, Kosinus	$\cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\cos 60 ° = \frac{1}{2}$	Es gilt: cos α = sin(90° − α).
Besondere Werte, Tangens	$\tan 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , $\tan 45 ° = 1$ , $\tan 60 ° = \sqrt{3}$	Der Tangens von $90 °$ ist nicht definiert.

Winkelfunktionen allgemein
Begriff	Formel	Hinweis
Trigonometrischer Pythagoras	$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$	Gilt für jeden Winkel.
Komplementwinkel	$\sin (90 ° - α) = \cos α$	Sinus und Kosinus tauschen die Rollen.
Symmetrie	$\sin (- x) = - \sin x$ , $\cos (- x) = \cos x$	Spiegelt man an der y-Achse, wechselt der Sinus das Vorzeichen, der Kosinus nicht.
Bogenmaß	$x = α \cdot \frac{π}{180 °}$	$180 °$ entsprechen $π$ , $360 °$ entsprechen $2 π$ .
Additionstheorem Sinus	$\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β$	Für beliebige Winkel.
Additionstheorem Kosinus	$\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$	Beim Kosinus steht in der Mitte ein Minus.
Doppelter Winkel	$\sin 2 α = 2 \sin α \cos α$ , $\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α$	Folgt aus den Formeln oben mit $β = α$ .
Allgemeine Sinusfunktion	$f (x) = a \cdot \sin (b (x - c)) + d$	Amplitude $\| a \|$ , Periode $\frac{2 π}{b}$ , $c$ verschiebt nach rechts, $d$ nach oben. Winkel im Bogenmaß.

Funktionen: Gerade, Parabel, Exponentialfunktion

Lineare und quadratische Funktionen, Verschiebungen und Wachstum. Ausführlich erklärt auf der Seite Lineare Funktionen.

Lineare und quadratische Funktionen
Begriff	Formel	Hinweis
Lineare Funktion	$f (x) = m x + n$	$m$ Steigung, $n$ y-Achsenabschnitt.
Steigung aus zwei Punkten	$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$	Mit $x_{1} \neq x_{2}$ . Beispiel: $(1 \| 2)$ und $(3 \| 8)$ ergeben $m = 3$ .
Punkt-Steigungs-Form	$y = m (x - x_{1}) + y_{1}$	Die Gerade geht durch den Punkt $(x_{1} \| y_{1})$ .
Nullstelle	$x_{0} = - \frac{n}{m}$	Mit $m \neq 0$ . Dort schneidet die Gerade die x-Achse.
Parallel und senkrecht	$m_{1} = m_{2}$ , $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$	Parallele Geraden haben dieselbe Steigung. Bei senkrechten Geraden ist das Produkt $- 1$ .
Steigungswinkel	$\tan α = m$	Der Winkel zwischen Gerade und x-Achse.
Quadratische Funktion	$f (x) = a x^{2} + b x + c$	Mit $a \neq 0$ . Für $a > 0$ ist die Parabel nach oben offen.
Scheitelpunktform	$f (x) = a (x - d)^{2} + e$	Der Scheitelpunkt ist $S (d \| e)$ .
Scheitelpunkt aus a, b, c	$d = - \frac{b}{2 a}$ , $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$	Umrechnung von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform.

Weitere Funktionen und Wachstum
Begriff	Formel	Hinweis
Verschieben und Strecken	$g (x) = a \cdot f (x - d) + e$	$d$ verschiebt nach rechts, $e$ nach oben, $a$ streckt in y-Richtung. Negatives $a$ spiegelt an der x-Achse.
Potenzfunktion	$f (x) = a \cdot x^{n}$	Der Graph hängt vom Exponenten $n$ ab. Gerade $n$ : achsensymmetrisch, ungerade $n$ : punktsymmetrisch.
Exponentialfunktion	$f (x) = a \cdot b^{x}$	Mit $b > 0$ und $b \neq 1$ . Wachstum für $b > 1$ , Abnahme für $0 < b < 1$ .
Exponentielles Wachstum	$N (t) = N_{0} \cdot e^{k t}$	$k > 0$ Wachstum, $k < 0$ Zerfall, $N_{0}$ Anfangsbestand.
Umrechnung auf e	$b^{x} = e^{x \cdot \ln b}$	Jede Exponentialfunktion lässt sich mit der Basis $e$ schreiben.
Verdopplungszeit	$T = \frac{\ln 2}{k}$	Für $k > 0$ . Nach der Zeit $T$ hat sich der Bestand verdoppelt.
Halbwertszeit	$T = - \frac{\ln 2}{k}$	Für $k < 0$ . Nach der Zeit $T$ ist die Hälfte übrig.

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

Potenzgesetze, Wurzelgesetze und Logarithmengesetze. Beispiele stehen auf den Seiten Potenzen und Logarithmen.

Potenzen und Wurzeln
Begriff	Formel	Hinweis
Gleiche Basis multiplizieren	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	Die Exponenten werden addiert.
Gleiche Basis dividieren	$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$	Die Exponenten werden subtrahiert. Mit $a \neq 0$ .
Potenz potenzieren	$(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$	Die Exponenten werden multipliziert.
Gleicher Exponent	$a^{n} \cdot b^{n} = (a b)^{n}$ , $\frac{a^{n}}{b^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}$	Bei $b \neq 0$ im zweiten Fall.
Negativer Exponent	$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$	Mit $a \neq 0$ . Beispiel: 2⁻³ = 1/8.
Exponent null	$a^{0} = 1$	Mit $a \neq 0$ .
Bruch als Exponent	$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$	Mit $a > 0$ . Beispiel: $8^{\frac{2}{3}} = 4$ .
Wurzel als Potenz	$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$	Mit $a \geq 0$ .
Wurzel eines Produkts	$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$	Mit $a, b \geq 0$ . Für Summen gilt das nicht.
Wurzel eines Quotienten	$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$	Mit $a \geq 0$ und $b > 0$ .
Wissenschaftliche Schreibweise	$z = m \cdot 10^{n}$	Mit $1 \leq m < 10$ und ganzem $n$ . Beispiel: 0,00042 = 4,2 · 10⁻⁴.

Logarithmen
Begriff	Formel	Hinweis
Definition	$\log_{a} x = y \Leftrightarrow a^{y} = x$	Mit $a > 0$ , $a \neq 1$ und $x > 0$ . Beispiel: $\log_{2} 8 = 3$ .
Produkt	$\log_{a} (x \cdot y) = \log_{a} x + \log_{a} y$	Aus Mal wird Plus.
Quotient	$\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y$	Aus Geteilt wird Minus.
Potenz	$\log_{a} (x^{r}) = r \cdot \log_{a} x$	Der Exponent wird zum Faktor.
Basiswechsel	$\log_{a} x = \frac{\ln x}{\ln a}$	So rechnet der Taschenrechner jeden Logarithmus aus.
Sonderfälle	$\log_{a} 1 = 0$ , $\log_{a} a = 1$	Wegen $a^{0} = 1$ und $a^{1} = a$ .
Umkehrung	$a^{\log_{a} x} = x$	Potenz und Logarithmus heben sich auf.
Exponentialgleichung	$a^{x} = b \Rightarrow x = \frac{\ln b}{\ln a}$	Mit $a > 0$ , $a \neq 1$ und $b > 0$ .

Analysis: Ableitung und Integral

Ableitungsregeln, Kurvendiskussion und Integrale. Ausführlich erklärt auf den Seiten Ableitung und Integralrechnung.

Ableiten und Kurvendiskussion
Begriff	Formel	Hinweis
Ableitung, Definition	$f' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$	Die Ableitung ist die Steigung der Tangente.
Potenzregel	$(x^{n})' = n \cdot x^{n - 1}$	Beispiel: $(x^{5})' = 5 x^{4}$ .
Faktorregel	$(c \cdot f)' = c \cdot f'$	Konstante Faktoren bleiben stehen.
Summenregel	$(f + g)' = f' + g'$	Summen werden gliedweise abgeleitet.
Produktregel	$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$	Jeden Faktor einmal ableiten.
Quotientenregel	$(\frac{u}{v})' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^{2}}$	Mit $v \neq 0$ .
Kettenregel	$(f (g (x)))' = f' (g (x)) \cdot g' (x)$	Äußere Ableitung mal innere Ableitung.
e-Funktion und Logarithmus	$(e^{x})' = e^{x}$ , $(\ln x)' = \frac{1}{x}$	Beim Logarithmus mit $x > 0$ .
Sinus und Kosinus	$(\sin x)' = \cos x$ , $(\cos x)' = - \sin x$	Gilt nur, wenn $x$ im Bogenmaß steht.
Tangente	$y = f' (x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f (x_{0})$	Die Tangente berührt den Graphen im Punkt $(x_{0} \| f (x_{0}))$ .
Normale	$y = - \frac{1}{f' (x_{0})} \cdot (x - x_{0}) + f (x_{0})$	Mit $f' (x_{0}) \neq 0$ . Die Normale steht senkrecht auf der Tangente.
Hochpunkt	$f' (x_{0}) = 0 und f'' (x_{0}) < 0$	Hinreichende Bedingung für ein lokales Maximum.
Tiefpunkt	$f' (x_{0}) = 0 und f'' (x_{0}) > 0$	Hinreichend für ein lokales Minimum.
Wendestelle	$f'' (x_{0}) = 0 und f''' (x_{0}) \neq 0$	Dort wechselt die Krümmung.

Integrieren
Begriff	Formel	Hinweis
Potenzregel	$\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$	Mit $n \neq - 1$ .
Kehrwert	$\int \frac{1}{x} d x = \ln \| x \| + C$	Für $x \neq 0$ .
e-Funktion	$\int e^{x} d x = e^{x} + C$	Die e-Funktion ist ihre eigene Stammfunktion.
Sinus und Kosinus	$\int \sin x d x = - \cos x + C$ , $\int \cos x d x = \sin x + C$	Im Bogenmaß.
Linearität	$\int (a f + b g) d x = a \int f d x + b \int g d x$	Faktoren und Summen dürfen herausgezogen werden.
Hauptsatz	$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$	$F$ ist eine Stammfunktion von $f$ . Beispiel: das Integral von x² von 0 bis 3 ist 9.
Fläche zwischen Graphen	$A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$	Mit $f (x) \geq g (x)$ auf $[a; b]$ . Beispiel: $f (x) = x$ , $g (x) = x^{2}$ auf $[0; 1]$ ergibt $\frac{1}{6}$ .
Rotationsvolumen	$V = π \int_{a}^{b} f (x)^{2} d x$	Rotation um die x-Achse. Beispiel: Kugel mit $r = 1$ ergibt $\frac{4}{3} π$ .
Mittelwert einer Funktion	$\bar{f} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$	Beispiel: $f (x) = x^{2}$ auf $[0; 3]$ ergibt $3$ .
Partielle Integration	$\int u' \cdot v d x = u \cdot v - \int u \cdot v' d x$	Bei bestimmten Integralen gilt dasselbe mit Grenzen.
Substitution	$\int f (g (x)) \cdot g' (x) d x = F (g (x)) + C$	$F$ ist eine Stammfunktion von $f$ .

Vektoren: Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Geraden und Ebenen

Rechnen mit Vektoren im Raum, dazu Geraden, Ebenen und Abstände. Erklärt auf der Seite Vektoren.

Rechnen mit Vektoren
Begriff	Formel	Hinweis
Verbindungsvektor	$\vec{A B} = \vec{b} - \vec{a}$	$\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind die Ortsvektoren von $A$ und $B$ .
Betrag eines Vektors	$\| \vec{a} \| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}$	Länge des Vektors.
Einheitsvektor	${\vec{a}}_{0} = \frac{1}{\| \vec{a} \|} \cdot \vec{a}$	Hat die Länge 1 und zeigt in dieselbe Richtung.
Skalarprodukt	$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$	Das Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor. Es gilt auch: Länge von a mal Länge von b mal Kosinus des Zwischenwinkels.
Winkel zwischen Vektoren	$\cos φ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\| \vec{a} \| \cdot \| \vec{b} \|}$	Mit $\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0}$ .
Orthogonale Vektoren	$\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$	Senkrechte Vektoren haben das Skalarprodukt 0.
Kreuzprodukt	$\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix})$	Das Ergebnis ist ein Vektor, der auf $\vec{a}$ und $\vec{b}$ senkrecht steht.
Flächeninhalt Parallelogramm	$A = \| \vec{a} \times \vec{b} \|$	Für das von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannte Parallelogramm.
Flächeninhalt Dreieck	$A = \frac{1}{2} \cdot \| \vec{a} \times \vec{b} \|$	Halb so groß wie das Parallelogramm.
Volumen des Spats	$V = \| (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \|$	Das Spatprodukt gibt das Volumen des Spats. Das Tetraeder hat ein Sechstel davon.
Mittelpunkt und Schwerpunkt	$\vec{m} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b})$ , $\vec{s} = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$	Mittelpunkt einer Strecke und Schwerpunkt eines Dreiecks.

Geraden, Ebenen und Abstände
Begriff	Formel	Hinweis
Geradengleichung	$\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$	$\vec{p}$ Stützvektor, $\vec{u}$ Richtungsvektor, $t$ beliebige Zahl.
Ebene, Parameterform	$\vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$	$\vec{u}$ und $\vec{v}$ sind nicht parallel.
Normalenvektor	$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$	Steht senkrecht auf der Ebene.
Normalenform	$\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{p}) = 0$	Alle Punkte $\vec{x}$ der Ebene erfüllen die Gleichung.
Koordinatenform	$a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} = d$	Mit $\vec{n} = (a, b, c)$ und $d = \vec{n} \cdot \vec{p}$ .
Abstand Punkt und Ebene	$d = \frac{\| \vec{n} \cdot (\vec{q} - \vec{p}) \|}{\| \vec{n} \|}$	$\vec{q}$ ist der Ortsvektor des Punkts, $\vec{p}$ liegt in der Ebene.
Abstand Punkt und Gerade	$d = \frac{\| (\vec{q} - \vec{p}) \times \vec{u} \|}{\| \vec{u} \|}$	Gerade mit Stützvektor $\vec{p}$ und Richtungsvektor $\vec{u}$ , Punkt mit Ortsvektor $\vec{q}$ .
Winkel Gerade und Ebene	$\sin φ = \frac{\| \vec{u} \cdot \vec{n} \|}{\| \vec{u} \| \cdot \| \vec{n} \|}$	$\vec{u}$ Richtung der Geraden, $\vec{n}$ Normalenvektor der Ebene.

Stochastik: Wahrscheinlichkeit, Kombinatorik, Verteilungen, Statistik

Wahrscheinlichkeitsregeln, Zählformeln, Zufallsgrößen und beschreibende Statistik. Mehr dazu auf den Seiten Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik.

Wahrscheinlichkeit
Begriff	Formel	Hinweis
Laplace-Wahrscheinlichkeit	$P (A) = \frac{\| A \|}{\| Ω \|}$	Günstige Ergebnisse durch alle möglichen Ergebnisse, wenn alle gleich häufig sind. Beispiel: Augensumme 7 bei zwei Würfeln: 6/36.
Gegenereignis	$P (\bar{A}) = 1 - P (A)$	Hilft bei „mindestens einmal“. Beispiel: mindestens eine 6 bei zwei Würfen: 1 − (5/6)² = 11/36.
Additionssatz	$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$	Bei unvereinbaren Ereignissen ist $P (A \cap B) = 0$ .
Bedingte Wahrscheinlichkeit	$P (A \| B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$	Mit $P (B) > 0$ . Chance für $A$ , wenn $B$ schon eingetreten ist.
Multiplikationssatz	$P (A \cap B) = P (B) \cdot P (A \| B)$	Entspricht der ersten Pfadregel.
Unabhängigkeit	$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$	Gilt genau dann, wenn $A$ und $B$ unabhängig sind.
Satz von Bayes	$P (A \| B) = \frac{P (B \| A) \cdot P (A)}{P (B)}$	Dreht die Bedingung um.
Totale Wahrscheinlichkeit	$P (B) = P (B \| A) P (A) + P (B \| \bar{A}) P (\bar{A})$	Summe über alle Pfade, die zu $B$ führen.

Kombinatorik
Begriff	Formel	Hinweis
Fakultät	$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n$	So viele Anordnungen gibt es für $n$ Dinge. Es gilt $0! = 1$ . Beispiel: $5! = 120$ .
Binomialkoeffizient	$(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$	Gelesen: „n über k“. Beispiel: Lotto 6 aus 49 hat 13.983.816 Möglichkeiten.
Mit Reihenfolge, mit Zurücklegen	$n^{k}$	$k$ mal aus $n$ ziehen, jedes Mal alle $n$ zur Auswahl.
Mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen	$\frac{n!}{(n - k)!}$	Beispiel: 3 Plätze auf dem Podest bei 8 Läufern: $336$ .
Ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen	$(\binom{n}{k})$	Zum Beispiel beim Lotto.
Ohne Reihenfolge, mit Zurücklegen	$(\binom{n + k - 1}{k})$	Beispiel: 3 Kugeln Eis aus 5 Sorten: $35$ Möglichkeiten.

Zufallsgrößen und Verteilungen
Begriff	Formel	Hinweis
Erwartungswert	$E (X) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P (X = x_{i})$	Mittelwert auf lange Sicht. Beispiel Würfel: $E (X) = 3,5$ .
Varianz	$σ^{2} = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - μ)^{2} \cdot P (X = x_{i})$	$μ = E (X)$ . Beispiel Würfel: σ² = 35/12 ≈ 2,92.
Standardabweichung	$σ = \sqrt{σ^{2}}$	Streuung in der Einheit der Zufallsgröße.
Verschiebungssatz	$σ^{2} = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$	Oft bequemer als die Definition.
Binomialverteilung	$P (X = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}$	$n$ Versuche, $p$ ist die Trefferchance, $k$ Treffer.
Kenngrößen der Binomialverteilung	$μ = n \cdot p$ , $σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$	Beispiel: $n = 100$ , $p = 0,5$ ergibt $μ = 50$ und $σ = 5$ .
Standardisieren	$z = \frac{x - μ}{σ}$	Danach hat die Verteilung den Mittelwert 0 und die Streuung 1.
Sigma-Regeln	$P (\| X - μ \| \leq σ) \approx 0,683$ , $P (\| X - μ \| \leq 2 σ) \approx 0,954$ , $P (\| X - μ \| \leq 3 σ) \approx 0,997$	Für normalverteilte Zufallsgrößen.

Beschreibende Statistik
Begriff	Formel	Hinweis
Arithmetisches Mittel	$\bar{x} = \frac{1}{n} (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n})$	Beispiel: Die Werte 2, 3, 7 haben das Mittel 4.
Median, ungerade Anzahl	$x_{med} = x_{\frac{n + 1}{2}}$	Werte der Größe nach sortieren, dann den mittleren nehmen.
Median, gerade Anzahl	$x_{med} = \frac{1}{2} (x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1})$	Der Mittelwert der beiden mittleren Werte.
Spannweite	$R = x_{\max} - x_{\min}$	Größter Wert minus kleinster Wert.
Stichprobenvarianz	$s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}$	Bei einer vollständigen Erhebung teilt man durch $n$ .
Standardabweichung	$s = \sqrt{s^{2}}$	Wurzel aus der Varianz.
Regressionsgerade	$y = a x + b$ , $a = \frac{\sum (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}$ , $b = \bar{y} - a \bar{x}$	Die Gerade liegt möglichst nah an den Punkten (Methode der kleinsten Quadrate).

Häufige Fragen

Darf ich die Formelsammlung in Klassenarbeiten benutzen?

Das hängt von deiner Lehrkraft und vom Bundesland ab. Dieses Blatt ist keine amtliche Formelsammlung. In Klassenarbeiten, Prüfungen und im Abitur gelten nur die Hilfsmittel, die ausdrücklich zugelassen sind. Frage vorher nach, welche Formelsammlung erlaubt ist.

Wie drucke ich die Formelsammlung am besten aus?

Öffne die Druckansicht mit Strg + P (am Mac mit Cmd + P) und wähle Hochformat und A4. Lass die Skalierung auf 100 Prozent. Die Tabellen sind so aufgebaut, dass sie beim Drucken möglichst nicht mitten durch eine Tabelle getrennt werden. Wenn du nur einen Teil brauchst, wähle im Druckdialog die passenden Seiten aus.

Warum steht bei manchen Formeln eine Bedingung wie a ≠ 0?

Durch null darf man nicht teilen. Wo eine Formel einen Bruch mit $a$ im Nenner enthält, muss $a \neq 0$ gelten. Bei Wurzeln und Logarithmen gibt es ähnliche Bedingungen: Unter einer Quadratwurzel darf keine negative Zahl stehen, und der Logarithmus ist nur für positive Zahlen erklärt.

Quellen und weiterführende Literatur

Wikipedia: Formelsammlung
Wikibooks: Formelsammlung Mathematik
I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, G. Musiol, H. Mühlig: Taschenbuch der Mathematik, 11. Auflage, Verlag Europa-Lehrmittel, Haan-Gruiten 2020.
Milton Abramowitz, Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, Washington 1964.
Robert Recorde: The Whetstone of Witte, London 1557.

Zahlen und Terme: Rechengesetze, Brüche, binomische Formeln

Gleichungen: linear, quadratisch, Gleichungssysteme

Prozent und Zinsen: Prozentrechnung, Zinseszins, Dreisatz

Geometrie: Flächen, Umfang, Dreiecke und Pythagoras

Geometrie: Volumen und Oberfläche von Körpern

Trigonometrie: Sinus, Kosinus, Tangens und Sinusfunktion

Funktionen: Gerade, Parabel, Exponentialfunktion

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

Analysis: Ableitung und Integral

Vektoren: Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Geraden und Ebenen

Stochastik: Wahrscheinlichkeit, Kombinatorik, Verteilungen, Statistik

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