Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel (1802–1829) war ein norwegischer Mathematiker, der in nur wenigen Jahren mehrere Gebiete der Mathematik veränderte. Mit Anfang zwanzig bewies er, dass es für die allgemeine Gleichung fünften Grades keine Lösungsformel aus Grundrechenarten und Wurzeln gibt. Dieses Ergebnis heißt heute Satz von Abel-Ruffini. Außerdem entwickelte er die Theorie der elliptischen Funktionen und schuf Werkzeuge für den Umgang mit unendlichen Reihen.

Abel kam aus einer armen Pfarrersfamilie in einem Land, das kaum Mathematiker hatte. Er starb am 6. April 1829 mit 26 Jahren an Tuberkulose, kurz bevor ihn ein Angebot aus Berlin erreichte. Sein Name lebt in vielen Begriffen weiter, etwa in den abelschen Gruppen, und seit 2003 in einem der höchsten Preise der Mathematik, dem Abelpreis.

Herkunft und Schulzeit in Norwegen

Niels Henrik Abel wurde am 5. August 1802 auf der Insel Finnøy in Südwestnorwegen geboren. Sein Vater Søren Georg Abel war Pfarrer und später Abgeordneter, seine Mutter hieß Anne Marie Simonsen; Niels Henrik war das zweite von sieben Kindern. Norwegen gehörte damals zu Dänemark, seit 1814 zu Schweden, und war ein armes Land mit einer erst 1811 gegründeten Universität in Christiania, dem heutigen Oslo.

Als Schüler der Domschule fiel Abel zunächst nicht auf. Das änderte sich, als 1817 Bernt Michael Holmboe sein Mathematiklehrer wurde. Holmboe erkannte die Begabung seines Schülers, förderte ihn mit anspruchsvoller Lektüre und unterstützte ihn später. 1820 starb der Vater, die Familie stand ohne Geld da. Mit Holmboes Hilfe und einem Stipendium konnte Abel 1821 trotzdem ein Studium beginnen.

Der Beweis zur Gleichung fünften Grades

Worum es geht

Eine Gleichung wie 2x + 3 = 0 löst man in einem Schritt. Für quadratische Gleichungen gibt es die bekannte Lösungsformel mit einer Wurzel. Im 16. Jahrhundert fanden italienische Mathematiker, darunter Cardano und Ferrari, ähnliche Formeln für Gleichungen dritten und vierten Grades (mehr dazu bei Tartaglia, Cardano und Ferrari). Danach versuchten fast 300 Jahre lang viele Fachleute, eine Formel für den fünften Grad zu finden, also für Gleichungen mit x⁵ als höchster Potenz.

Abels Beweis

Abel zeigte 1824: Es gibt keine solche Formel für alle Gleichungen fünften Grades. Er druckte den Beweis auf eigene Kosten in Christiania, auf Französisch, damit ihn Fachleute in ganz Europa lesen konnten. Weil das Geld knapp war, fasste er sich so kurz, dass die Schrift nur wenige Seiten umfasste und schwer zu verstehen war. Eine ausführlichere deutsche Fassung erschien 1826 im ersten Band von Crelles Journal. Der Italiener Paolo Ruffini hatte schon 1799 einen ähnlichen Beweis versucht, der aber Lücken hatte. Deshalb spricht man vom Satz von Abel-Ruffini.

Welche einzelnen Gleichungen sich durch Wurzeln lösen lassen und welche nicht, klärte wenige Jahre später Évariste Galois mit seiner Theorie der Gruppen. Die Gleichung x⁵ − 4x + 2 = 0 aus der Tabelle gehört zu den Gleichungen, die sich mit Galois’ Methode als nicht auflösbar erkennen lassen.

Reise nach Berlin und Paris: Crelle und die verlorene Abhandlung

1825 erhielt Abel ein Staatsstipendium für eine Studienreise. Sie führte ihn über Kopenhagen nach Berlin, wo er den Ingenieur und Mathematiker August Leopold Crelle traf. Die beiden wurden enge Freunde. Crelle gründete 1826 das Journal für die reine und angewandte Mathematik, eine der ältesten noch heute erscheinenden Mathematikzeitschriften, und druckte darin viele von Abels Arbeiten. Abel schrieb in dieser Zeit an seinen Lehrer Holmboe:

„Die divergenten Reihen sind überhaupt etwas Fatales, und es ist eine Schande, dass man darauf irgendeinen Beweis zu gründen wagt.“

Damit meinte er unendliche Summen, die keinem festen Wert zustreben. Viele Mathematiker rechneten damals sorglos mit ihnen, Abel verlangte strenge Beweise.

Im Sommer 1826 reiste er nach Paris, dem damaligen Zentrum der Mathematik. Im Oktober reichte er dort bei der Akademie eine große Abhandlung über besondere Integrale ein, die später abelsche Integrale hießen. Als Gutachter waren Augustin-Louis Cauchy und Adrien-Marie Legendre bestimmt. Die Arbeit blieb jedoch liegen und ging verloren. Abel blieb unbeachtet, hatte kaum Geld und erkrankte an Tuberkulose.

Elliptische Funktionen: das Umkehren als Trick

Abels zweites großes Thema waren elliptische Integrale. Sie treten auf, wenn man den Umfang einer Ellipse oder die Schwingungsdauer eines Pendels berechnet. Abel hatte eine einfache Idee: Aus dem Integral für den Arkussinus, das den Winkel zu einem Sinuswert liefert, gewinnt man durch Umkehren den Sinus selbst. Ähnlich kehrte er die elliptischen Integrale um und erhielt neue Funktionen. Anders als der Sinus haben sie nicht eine, sondern zwei unabhängige Perioden.

Dieselbe Idee hatte etwa gleichzeitig Carl Gustav Jacob Jacobi. Legendre, der sich 40 Jahre mit diesen Integralen beschäftigt hatte, verglich die beiden mit gleich starken jungen Athleten. Abel selbst arbeitete 1827 und 1828 in Crelles Journal die Theorie aus.

Weitere Ergebnisse: Reihen und abelsche Gruppen

Abelscher Grenzwertsatz: Konvergiert eine Potenzreihe am Rand ihres Konvergenzbereichs, dann liefert sie dort genau den Wert, dem sich die Reihe von innen nähert. Ein Beispiel: Die Reihe x − ^x²/₂ + ^x³/₃ − … ergibt für |x| < 1 den Wert ln(1 + x). Nach Abels Satz gilt das auch bei x = 1, und man erhält ln 2 = 1 − ¹/₂ + ¹/₃ − ¹/₄ + …

Abelsche Gruppen: Eine Gruppe, in der die Reihenfolge der Verknüpfung keine Rolle spielt, heißt abelsch. Die ganzen Zahlen mit der Addition sind ein Beispiel (3 + 5 = 5 + 3), Drehungen im Raum dagegen nicht.

Armut, Krankheit und Tod mit 26

Ende 1826 ging Abel zurück nach Berlin, im Mai 1827 nach Norwegen. Dort fand er keine feste Stelle, lebte von Nachhilfe und Darlehen von Freunden und war mit der Gouvernante Christine Kemp verlobt. Zu Weihnachten 1828 reiste er mit dem Schlitten zu ihr nach Froland und wurde schwer krank. Am 6. April 1829 starb er an Tuberkulose. Zwei Tage später, am 8. April, schrieb Crelle, dass in Berlin eine Stelle für Abel bereitstehe. Der Brief kam zu spät.

Zeitleiste: Niels Henrik Abels Leben

1. 1802 Geburt am 5. August auf Finnøy
2. 1817 Bernt Michael Holmboe wird sein Mathematiklehrer
3. 1821 Studienbeginn in Christiania
4. 1824 Druck des Beweises, dass die allgemeine Gleichung fünften Grades nicht durch Wurzeln lösbar ist
5. 1825 Stipendium und Studienreise; Freundschaft mit Crelle in Berlin
6. 1826 Erster Band von Crelles Journal; Abhandlung in Paris eingereicht
7. 1827 Rückkehr nach Norwegen
8. 1829 Tod am 6. April in Froland
9. 1830 Großer Preis der Pariser Akademie für Abel und Jacobi
10. 2003 Erste Verleihung des Abelpreises

Bedeutung heute: vom Abelpreis bis zur Gruppentheorie

Die norwegische Regierung beschloss zum 200. Geburtstag Abels einen eigenen Mathematikpreis. Der Abelpreis wird seit 2003 jedes Jahr von der Norwegischen Akademie der Wissenschaften vergeben, derzeit mit 7,5 Millionen norwegischen Kronen. Erster Preisträger war Jean-Pierre Serre. Zu den Ausgezeichneten zählen John Nash (2015) und Andrew Wiles (2016). Der Gruppenbegriff, den Abel und Galois vorbereiteten, ist heute ein Werkzeug in Kryptografie, Physik und Chemie, und auch Matrizen bilden Gruppen. Mehr zur Zeit findest du im Artikel zur Mathematik des 19. Jahrhunderts.

Häufige Fragen

Wann lebte Niels Henrik Abel?

Niels Henrik Abel wurde am 5. August 1802 auf Finnøy in Norwegen geboren und starb am 6. April 1829 in Froland im Alter von 26 Jahren.

Was ist der Satz von Abel-Ruffini?

Der Satz besagt, dass es für allgemeine Gleichungen vom Grad fünf und höher keine Lösungsformel gibt, die nur Grundrechenarten und Wurzeln verwendet. Abel bewies ihn 1824 vollständig, Ruffini hatte ihn zuvor mit Lücken versucht.

Wofür wird der Abelpreis vergeben?

Der Abelpreis zeichnet herausragende Leistungen in der Mathematik aus. Er wird seit 2003 jährlich von der Norwegischen Akademie der Wissenschaften verliehen und gilt als eine Art Nobelpreis der Mathematik.

Quellen und weiterführende Literatur

• Arild Stubhaug: Niels Henrik Abel and His Times. Called Too Soon by Flames Afar, Springer, Berlin und Heidelberg 2000.
• Øystein Ore: Niels Henrik Abel. Mathematician Extraordinary, University of Minnesota Press, Minneapolis 1957.
• MacTutor History of Mathematics: Niels Henrik Abel (englisch)
• Wikipedia: Niels Henrik Abel (deutsch)