Geometrische Konstruktionen

Eine geometrische Konstruktion ist eine Zeichnung, die du nur mit Zirkel und Lineal herstellst. Mit dem Zirkel zeichnest du Kreise und Kreisbögen, mit dem Lineal ziehst du Geraden. Das Besondere: Die Konstruktion ist exakt. Du schätzt und rechnest nichts, die Figur ergibt sich aus Schnittpunkten von Kreisen und Geraden.

Hier lernst du die Grundkonstruktionen (Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Lot, Parallele), Dreiecke aus gegebenen Stücken, Umkreis und Inkreis und die Konstruktionsbeschreibung. Am Ende steht die Geschichte von Euklid bis Gauß. Du solltest Winkel und Begriffe am Kreis kennen.

Werkzeuge und Regeln

Der Zirkel zeichnet einen Kreis oder einen Kreisbogen und überträgt Längen: Alle Punkte des Bogens um A haben genau den Abstand r von A. Das Lineal zieht nur Geraden durch zwei Punkte, die Skala brauchst du bei den Grundkonstruktionen nicht. Bei Aufgaben mit Maßen darfst du in der Schule Längen mit dem Lineal abtragen und Winkel mit dem Geodreieck antragen.

• Zeichne mit einem spitzen Bleistift und lass Hilfslinien dünn stehen. Sie gehören zur Konstruktion.
• Verstelle den Zirkel nicht, solange du denselben Radius brauchst.
• Die Strecke von A nach B schreibt man [AB], ihre Länge |AB|, einen Kreis um M mit Radius r schreibt man k(M; r).

Strecke halbieren: die Mittelsenkrechte

Die Mittelsenkrechte einer Strecke [AB] steht senkrecht auf ihr und geht durch ihren Mittelpunkt. So konstruierst du sie:

1. Zeichne um A einen Kreisbogen mit einem Radius, der größer als die halbe Strecke ist.
2. Zeichne um B einen Kreisbogen mit demselben Radius. Die Bögen schneiden sich in zwei Punkten P und Q.
3. Ziehe die Gerade durch P und Q. Sie ist die Mittelsenkrechte. Sie schneidet [AB] im Mittelpunkt M.

Warum klappt das? P und Q haben von A und von B jeweils den Abstand r, sind also von beiden gleich weit entfernt und liegen auf der Mittelsenkrechten. Zwei Punkte legen eine Gerade fest. Bei |AB| = 6 cm brauchst du einen Radius über 3 cm, zum Beispiel 4 cm. Die Mittelsenkrechte ist übrigens die Symmetrieachse der Strecke.

Mit dem Mittelpunkt M nutzt du auch den Satz des Thales: Zeichne den Kreis um M durch A und B. Jeder Punkt C auf diesem Halbkreis bildet mit A und B ein rechtwinkliges Dreieck (Satz des Thales, benannt nach Thales von Milet).

Winkel halbieren: die Winkelhalbierende

Die Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Teile.

1. Zeichne um den Scheitel S einen Kreisbogen, der beide Schenkel schneidet, in A und B.
2. Zeichne um A und um B Kreisbögen mit demselben Radius, der groß genug ist, damit sie sich schneiden. Der Schnittpunkt heißt W.
3. Ziehe die Gerade durch S und W. Sie ist die Winkelhalbierende.

Lot fällen, Lot errichten und Parallele

Ein Lot ist eine Gerade, die senkrecht auf einer anderen steht. Du brauchst es für Abstände und für Rechtecke.

Lot fällen

Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt P, der nicht auf g liegt.

1. Zeichne um P einen Kreisbogen, der g in zwei Punkten A und B schneidet.
2. Zeichne um A und um B Kreisbögen mit demselben Radius. Sie schneiden sich in Q (auf der anderen Seite von g).
3. Die Gerade PQ ist das Lot von P auf g. Ihr Schnittpunkt F mit g heißt Lotfußpunkt.

Das ist die Mittelsenkrechte von [AB]: P hat von A und B denselben Abstand. Die Länge |PF| ist der Abstand von P zu g.

Lot errichten

Liegt P auf g, zeichnest du um P einen Kreisbogen, der g in A und B schneidet (P ist die Mitte von [AB]). Die Mittelsenkrechte von [AB] steht in P senkrecht auf g.

Parallele durch einen Punkt

Für die Parallele zu g durch P fällst du zuerst das Lot h von P auf g. Dann errichtest du in P das Lot auf h. Diese Gerade steht ebenfalls senkrecht auf h und ist deshalb parallel zu g.

Besondere Winkel ohne Geodreieck

Dreiecke konstruieren und die Kongruenzsätze

Ein Dreieck hat sechs Stücke: drei Seiten und drei Winkel. Drei passende Stücke legen es bis auf Lage und Spiegelung fest. Dreiecke, die gleich groß und gleich geformt sind, heißen kongruent (deckungsgleich, mehr unter Kongruenz und Ähnlichkeit).

Bei SSS muss die Dreiecksungleichung gelten: Jede Seite ist kürzer als die Summe der beiden anderen. Aus 3 cm, 4 cm und 8 cm entsteht kein Dreieck, denn 3 + 4 = 7 < 8.

Planfigur und Konstruktionsbeschreibung

Zuerst machst du eine Planfigur, eine grobe Skizze mit den gegebenen Stücken. Danach konstruierst du und schreibst eine Konstruktionsbeschreibung in nummerierten Schritten. Nutze die Befehlsform und benenne jeden Punkt.

SWS und WSW

SsW und die Mehrdeutigkeit

Gegeben sind zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen ihnen liegt. Eindeutig ist das nur, wenn der Winkel der längeren Seite gegenüberliegt. Liegt er der kürzeren gegenüber, kann es zwei Lösungen geben.

Im Bild sind b = 5 cm, α = 35° und a = 3,5 cm gegeben. Du zeichnest den Winkel bei A, trägst auf einem Schenkel |AC| = 5 cm ab und schlägst um C einen Kreisbogen mit Radius a = 3,5 cm. Er trifft den anderen Schenkel in zwei Punkten B₁ und B₂. Beide Dreiecke erfüllen die Angaben.

Wie viele Lösungen es gibt, hängt vom Abstand d des Punktes C vom freien Schenkel ab, also von der Länge des Lots von C auf diesen Schenkel. Hier ist $d=5·\sin 35°\approx \mathrm{2,87}$ cm (Sinus im rechtwinkligen Dreieck).

Umkreis und Inkreis

Zu jedem Dreieck gehören zwei besondere Kreise. Der Umkreis geht durch alle drei Ecken. Der Inkreis liegt im Inneren und berührt alle drei Seiten.

Der Umkreis funktioniert, weil U auf der Mittelsenkrechten von [AB] liegt (|UA| = |UB|) und auf der von [BC] (|UB| = |UC|). Also haben alle drei Ecken denselben Abstand von U. Genauso hat I von allen drei Seiten denselben Abstand, weil er auf den Winkelhalbierenden liegt.

Im spitzwinkligen Dreieck liegt U innen. Im rechtwinkligen Dreieck liegt U in der Mitte der Hypotenuse (Thales), im stumpfwinkligen Dreieck außerhalb. Der Inkreismittelpunkt liegt immer innen. Für das Dreieck mit den Seiten 6 cm, 5 cm und 4,5 cm gilt R ≈ 3,07 cm und ρ ≈ 1,42 cm.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: von Euklid bis Gauß

Die Regeln stammen von Euklid (um 300 v. Chr.). Seine ersten drei Postulate erlauben, was Zirkel und Lineal können: eine Gerade durch zwei Punkte ziehen, eine Strecke verlängern und einen Kreis mit gegebenem Mittelpunkt und Radius zeichnen. Im ersten Buch der Elemente konstruiert er damit ein gleichseitiges Dreieck über einer Strecke (Satz I.1), halbiert Winkel und Strecken (I.9, I.10), errichtet und fällt Lote (I.11, I.12) und baut Dreiecke aus drei Strecken (I.22).

Drei Aufgaben der Antike blieben unlösbar: die Verdopplung des Würfels, die Dreiteilung eines beliebigen Winkels und die Quadratur des Kreises. Dass sie mit Zirkel und Lineal nicht gehen, bewiesen Pierre Wantzel (1837, Würfelverdopplung und Winkeldreiteilung) und Ferdinand von Lindemann (1882, Quadratur des Kreises, weil π transzendent ist). Mehr dazu bei der Verdopplung des Würfels und der Kreiszahl π.

Einen Durchbruch nach rund 2.000 Jahren brachte der erst 18-jährige Carl Friedrich Gauß am 30. März 1796: Er erkannte, dass sich das regelmäßige Siebzehneck konstruieren lässt. Seine allgemeine Regel: Ein regelmäßiges n-Eck ist konstruierbar, wenn n das Produkt einer Zweierpotenz mit verschiedenen Fermatschen Primzahlen (3, 5, 17, 257, 65.537) ist. Wantzel bewies, dass das auch notwendig ist.

Erstaunlich: Alles, was mit Zirkel und Lineal geht, geht schon mit dem Zirkel allein. Das zeigte der Däne Georg Mohr 1672 in seinem Buch Euclides Danicus, das erst 1928 wiederentdeckt wurde. Der Italiener Lorenzo Mascheroni fand das Ergebnis 1797 erneut. Man spricht vom Satz von Mohr und Mascheroni.

Häufige Fragen

Darf ich beim Konstruieren messen?

Bei den Grundkonstruktionen nicht, dort gewinnst du die Figur allein aus Schnittpunkten. Bei Aufgaben mit Maßen wie „c = 6 cm“ trägst du Längen mit dem Lineal und Winkel mit dem Geodreieck ab.

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Konstruktion mit Zirkel und Lineal
• David E. Joyce: Euclid’s Elements, Book I (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Georg Mohr (englisch)
• Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History, Springer, Berlin und Heidelberg 2012.