Vektoren

Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung: wie weit und in welche Richtung du dich bewegst. Eine Temperatur ist mit einer Zahl vollständig angegeben (20 °C). Bei einem Wind genügt das nicht, du musst auch wissen, aus welcher Richtung er weht. Größen mit Richtung heißen Vektoren, Größen ohne Richtung Skalare. Das Wort kommt vom lateinischen vehere, „fahren“ oder „tragen“.

Vektoren brauchst du überall, wo Geometrie und Rechnen zusammentreffen: in der Physik für Kräfte und Geschwindigkeiten, in der Computergrafik für jedes Bild eines Spiels und in der Navigation. Auf dieser Seite lernst du die Rechenregeln Schritt für Schritt kennen. Du solltest den Satz des Pythagoras und das Koordinatensystem kennen.

Was ist ein Vektor? Pfeile als Verschiebungen

Zeichnest du einen Pfeil von einem Punkt A zu einem Punkt B, beschreibt er die Verschiebung von A nach B. Zwei Dinge sind wichtig: seine Länge und seine Richtung. Wo der Pfeil im Gitter steht, spielt dagegen keine Rolle. Alle Pfeile, die gleich lang, parallel und gleich gerichtet sind, beschreiben dieselbe Verschiebung. Mathematiker fassen sie zu einer Pfeilklasse zusammen, und diese Klasse ist der Vektor.

Skalare und Vektoren begegnen dir ständig. Masse, Zeit und Temperatur sind Skalare. Kraft, Geschwindigkeit und Verschiebung sind Vektoren. Aus einem Vektor wird ein Skalar, wenn du nur seine Länge betrachtest: Die Geschwindigkeit „50 km/h nach Norden“ ist ein Vektor, das Tempo 50 km/h dessen Länge.

Koordinatendarstellung

Zum Rechnen schreibst du einen Vektor als Spalte. Die Zahlen sagen, wie weit du in x-, y- und z-Richtung gehst. Der Vektor aus dem Bild geht 3 nach rechts und 2 nach oben, du schreibst ihn als $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$. Im Raum kommt eine dritte Zeile dazu. Den Vektor zwischen zwei Punkten findest du durch „Spitze minus Fuß“.

Addition, Subtraktion und Vielfache

Zwei Verschiebungen hintereinander ergeben eine neue Verschiebung. Genau so addierst du Vektoren: Du hängst den Pfeil von $\overrightarrow{b}$ an die Spitze von $\overrightarrow{a}$. Der Pfeil vom Anfang von $\overrightarrow{a}$ zur Spitze von $\overrightarrow{b}$ ist die Summe. In Koordinaten rechnest du Zeile für Zeile.

Multiplizierst du einen Vektor mit einer Zahl k, streckst du ihn auf das k-Fache. Ist k negativ, kehrt sich die Richtung um. Zwei Vektoren heißen kollinear, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist. Sie liegen dann parallel.

Betrag, Abstand und Einheitsvektor

Die Länge eines Vektors heißt sein Betrag. In der Ebene folgt sie direkt aus dem Satz des Pythagoras, im Raum wendest du ihn zweimal an: Zuerst berechnest du die Diagonale der Grundfläche, $\sqrt{a_1^2+a_2^2}$, dann die Raumdiagonale über die dritte Koordinate. Der Betrag von $\overrightarrow{AB}$ ist zugleich der Abstand der Punkte A und B.

Skalarprodukt und Winkel

Das Skalarprodukt verknüpft zwei Vektoren zu einer Zahl. Du multiplizierst die Zahlen derselben Zeile und addierst die Ergebnisse. Das Ergebnis verrät dir den Winkel zwischen den Vektoren.

Das Skalarprodukt hat auch eine anschauliche Bedeutung: $\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}$ ist die Länge von $\overrightarrow{b}$ mal die Länge des „Schattens“, den $\overrightarrow{a}$ auf die Gerade durch $\overrightarrow{b}$ wirft (die Projektion). Zeigen die Vektoren in dieselbe Richtung, ist das Produkt am größten. Stehen sie senkrecht, verschwindet der Schatten, und das Produkt ist null.

Wieso stimmt die Winkelformel? Sie ist der Kosinussatz in Koordinaten, den du aus der Trigonometrie kennst. Ein weiteres Beispiel aus der Physik: Die Arbeit einer Kraft $\overrightarrow{F}$ entlang eines Wegs $\overrightarrow{s}$ ist $W=\overrightarrow{F}·\overrightarrow{s}$. Eine Kraft, die senkrecht zum Weg wirkt, leistet keine Arbeit.

Das Kreuzprodukt

Im Raum gibt es eine zweite Verknüpfung, die aus zwei Vektoren einen dritten macht: das Kreuzprodukt (Vektorprodukt). Das Ergebnis steht senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren. Seine Richtung findest du mit der Rechte-Hand-Regel: Zeigt der Daumen in Richtung $\overrightarrow{a}$ und der Zeigefinger in Richtung $\overrightarrow{b}$, zeigt der Mittelfinger in Richtung $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$.

Geraden in Parameterform

Eine Gerade ist durch einen Punkt und eine Richtung festgelegt. Du startest bei einem festen Punkt, dem Stützvektor $\overrightarrow{p}$, und gehst beliebig weit in Richtung des Richtungsvektors $\overrightarrow{u}$. Wie weit, bestimmt der Parameter t, der jede reelle Zahl sein darf.

Die Darstellung ist nicht eindeutig. Jeder andere Punkt der Geraden darf Stützpunkt sein, und jedes Vielfache von $\overrightarrow{u}$ (außer $\overrightarrow{0}$) ist ebenfalls ein Richtungsvektor. In der Ebene funktioniert alles genauso mit zwei statt drei Zeilen.

Zwei Geraden im Raum können vier Lagen haben: Sie sind identisch, parallel (die Richtungsvektoren sind kollinear), sie schneiden sich in einem Punkt, oder sie sind windschief, also weder parallel noch schneidend. Windschief gibt es nur im Raum, etwa bei einer Straße und einer Brücke darüber, die nicht in dieselbe Richtung führen.

Anwendungen: Kräfte und Computergrafik

In der Physik sind Kräfte Vektoren. Wirken zwei Kräfte auf einen Körper, ersetzt ihre Summe beide. Das ist das Kräfteparallelogramm.

In der Computergrafik besteht jede Figur aus Dreiecken, deren Ecken Vektoren sind. Zum Verschieben addiert der Rechner einen Vektor, zum Vergrößern multipliziert er mit einer Zahl, zum Drehen nutzt er Matrizen. Für die Beleuchtung braucht er das Skalarprodukt: Eine Fläche ist umso heller, je genauer sie dem Licht zugewandt ist. Mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Fläche und der Richtung $\overrightarrow{l}$ zur Lichtquelle (beide mit Länge 1) ist die Helligkeit $\overrightarrow{n}·\overrightarrow{l}$.

Auch Bewegung ist Vektorrechnung: Position und Geschwindigkeit sind Vektoren, und die neue Position ist die alte plus Geschwindigkeit mal Zeit. Steht eine Spielfigur bei P(10|4) und läuft mit $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)$ pro Sekunde, ist sie nach 5 Sekunden bei $\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)+5·\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}25\\ -1\end{array}\right)$. Diese Rechnung läuft in jedem Bild eines Spiels viele tausendmal ab.

Geschichte: vom Kräfteparallelogramm zur Vektorrechnung

Die Idee, Kräfte wie Pfeile zu addieren, ist alt. Isaac Newton formulierte in seiner Principia von 1687 das Parallelogramm der Kräfte. Doch ein eigener Kalkül mit Vektoren entstand erst im 19. Jahrhundert, aus dem Bemühen, die Zahlen der Ebene und des Raums zu verstehen. Komplexe Zahlen ließen sich schon wie Pfeile in der Ebene addieren: Caspar Wessel beschrieb das 1799, und Carl Friedrich Gauß machte die Idee später bekannt (daher „Gaußsche Zahlenebene“). Gesucht war dasselbe für den Raum. Die Grundlage dafür hatte René Descartes 1637 gelegt: Mit Koordinaten lassen sich Punkte und Figuren durch Zahlen ausdrücken, und erst dadurch kann man mit Geometrie rechnen.

August Ferdinand Möbius (1790–1868) veröffentlichte 1827 den Barycentrischen Calcul, in dem er Punkte und Strecken mit Rechenzeichen verknüpfte. Es war einer der frühesten Ansätze, Geometrie algebraisch zu behandeln. Etwa 15 Jahre später fand der irische Mathematiker William Rowan Hamilton (1805–1865) einen anderen Weg: die Quaternionen, Zahlen mit einem Zahlenteil und drei Raumrichtungen. Hamilton prägte in den 1840er-Jahren auch die Wörter „Skalar“ und „Vektor“.

Unabhängig davon entwickelte der Stettiner Gymnasiallehrer Hermann Grassmann (1809–1877) in seiner Ausdehnungslehre von 1844 eine allgemeine Algebra der Richtungen, die weit mehr umfasste als Vektoren im Raum. Das Buch war so abstrakt, dass es kaum jemand las. Erst Jahrzehnte später erkannte man seine Bedeutung.

Die heutige Vektorrechnung stammt aus den 1880er-Jahren. Der Amerikaner Josiah Willard Gibbs (1839–1903) und der Engländer Oliver Heaviside (1850–1925) trennten aus den Quaternionen die beiden Produkte heraus, die Physiker wirklich brauchten: Skalarprodukt und Kreuzprodukt. Heaviside gelang damit, die langen Gleichungen des Elektromagnetismus von James Clerk Maxwell auf vier kurze Vektorgleichungen zu bringen. In den 1890er-Jahren stritten Anhänger der Quaternionen und der Vektorrechnung heftig, am Ende gewann die einfachere Vektorschreibweise. Die Quaternionen sind übrigens nicht vergessen: Computerspiele und Raumfahrt nutzen sie heute für Drehungen.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen einem Punkt und einem Vektor?

Ein Punkt ist ein Ort, ein Vektor eine Verschiebung. Mit dem Ursprung als Bezugspunkt gehört zu jedem Punkt P ein Ortsvektor, der vom Ursprung zu P führt. Punkte kannst du nicht addieren, Vektoren schon.

Wofür braucht man das Skalarprodukt?

Mit ihm berechnest du Winkel, prüfst Orthogonalität und bestimmst in der Physik die Arbeit einer Kraft. In der Computergrafik berechnet es die Helligkeit von Flächen.

Kann man durch einen Vektor teilen?

Nein, eine Division von Vektoren gibt es nicht. Die Frage, ob man Punkte im Raum wie Zahlen multiplizieren und dividieren kann, führte Hamilton zu den Quaternionen. Sie haben vier Komponenten statt drei und eine Division, aber ihre Multiplikation ist nicht kommutativ.

Quellen und weiterführende Literatur

• Michael J. Crowe: A History of Vector Analysis. The Evolution of the Idea of a Vectorial System, University of Notre Dame Press, Notre Dame 1967.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 2, Springer, Berlin 2009.
• MacTutor History of Mathematics: William Rowan Hamilton (englisch)
• Wikipedia: Vektor