John Napier

John Napier (1550–1617) war ein schottischer Landadliger, Theologe und Mathematiker. Er wurde als Gutsherr von Merchiston bei Edinburgh geboren und starb dort auch. Sein Name ist mit zwei Rechenhilfen verbunden: den Logarithmen, die er 1614 veröffentlichte, und den Rechenstäbchen, die auch „Napiers Knochen“ heißen. Beide sollten das mühsame Multiplizieren und Dividieren großer Zahlen erleichtern.

Das gelang so gut, dass die Logarithmen innerhalb weniger Jahre in ganz Europa benutzt wurden. Astronomen, Seefahrer und Landvermesser rechneten damit, und die Idee blieb bis zur Erfindung des Taschenrechners in den 1970er-Jahren im Gebrauch, in Form von Tafeln und dem Rechenschieber. Napier gehört damit zu den wichtigsten Rechenkünstlern der Mathematik des 17. Jahrhunderts.

Gutsherr von Merchiston

Napier war der älteste Sohn von Archibald Napier, der 1582 Münzmeister von Schottland wurde. Mit 13 Jahren schrieb er sich am St Salvator’s College in St Andrews ein, machte aber keinen Abschluss. Vermutlich setzte er seine Studien im Ausland fort, wahrscheinlich in Paris. 1571 war er wieder in Schottland und übernahm 1572 viele Besitzungen seines Vaters. Er heiratete zweimal und hatte viele Kinder.

Als überzeugter Protestant beschäftigte er sich vor allem mit der Offenbarung des Johannes. 1593 erschien sein Kommentar A Plaine Discovery of the Whole Revelation of Saint John, in dem er mit mathematischen Methoden das Weltende zwischen 1688 und 1700 berechnete. Das Buch wurde in mehrere Sprachen übersetzt, auch ins Deutsche. Berühmt wurde er allerdings nicht dafür, sondern für seine Rechenhilfen.

Die Idee: Multiplizieren durch Addieren

Wer große Zahlen von Hand multipliziert, braucht Zeit und macht Fehler. Napiers Gedanke: Man ersetzt jede Zahl durch einen Exponenten und addiert die Exponenten. Das funktioniert, weil Potenzen mit gleicher Basis sich so verhalten: 2⁴ · 2⁶ = 2⁴⁺⁶ = 2¹⁰.

Für diese Zweierpotenzen ist die Tafel sehr lückenhaft. Zwischen 512 und 1024 fehlt jede Zahl. Napier brauchte eine Tafel ohne Lücken. Seine Lösung: Er multiplizierte 10.000.000 immer wieder mit 0,9999999. So entsteht eine Folge, in der jede Zahl nur ein Zehnmillionstel kleiner ist als die vorige, und die Tafel hat praktisch keine Lücken mehr. Das Wort Logarithmus bildete er aus den griechischen Wörtern logos („Verhältnis“) und arithmos („Zahl“). Mehr zum Rechnen damit steht auf der Lernseite Logarithmen.

Napiers Logarithmen von 1614

Napier arbeitete vermutlich zwanzig Jahre an seiner Methode. 1614 erschien in Edinburgh die Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio („Beschreibung der wunderbaren Logarithmentafel“). Sie enthält vor allem Tabellen für Sinuswerte, denn Astronomen brauchten Rechenhilfen für trigonometrische Aufgaben. Die Tafel nennt die Logarithmen der Sinuswerte für jede Winkelminute von 0° bis 90°. Als Basislänge nutzte Napier 10.000.000, weil die besten Sinustafeln seiner Zeit siebenstellig waren.

Seine Logarithmen unterscheiden sich von den heutigen. Napier definierte sie mit zwei Punkten, die sich auf einer Strecke bewegen, und der Logarithmus von 10.000.000 war null. Je größer die Zahl, desto kleiner der Logarithmus. Wie er die Tafel berechnete, erklärte er erst in der Constructio, die 1619 nach seinem Tod sein Sohn Robert herausgab. Unabhängig von Napier entwickelte der Schweizer Uhrmacher Jost Bürgi ähnliche Tafeln, die 1620 in Prag erschienen.

Briggs und die Zehnerlogarithmen

Der Londoner Professor Henry Briggs las Napiers Buch begeistert und reiste im Sommer 1615 nach Edinburgh, 1616 ein zweites Mal. Beide einigten sich, die Logarithmen zur Basis 10 zu berechnen, sodass log 1 = 0 und log 10 = 1 gilt. 1624 veröffentlichte Briggs in der Arithmetica logarithmica die Logarithmen von 1 bis 20.000 und von 90.000 bis 100.000 mit 14 Stellen. Johannes Kepler benutzte solche Tafeln für seine Rudolfinischen Tafeln.

Napiers Rechenstäbchen

Die Rabdologiae von 1617 beschreiben ein Hilfsmittel für alle, die keine Tafeln hatten: Stäbchen aus Holz oder Knochen, auf denen das kleine Einmaleins steht. Jedes Stäbchen gehört zu einer Ziffer. Die Vielfachen von 1 bis 9 stehen in Feldern, die durch eine Diagonale geteilt sind: links oben die Zehnerziffer, rechts unten die Einerziffer. Man legt die Stäbchen der Ziffern der Zahl nebeneinander und addiert in der Zeile des Multiplikators die Zahlen entlang der schrägen Streifen. Das Verfahren entspricht der Gittermethode, die schon in arabischen und italienischen Büchern stand.

Die Stäbchen waren handlich und wurden bis ins 19. Jahrhundert benutzt. Im selben Buch verwendete Napier einen Punkt als Trennzeichen zwischen ganzen Zahlen und Dezimalstellen und machte so das Rechnen mit Dezimalzahlen einfacher.

Zeitleiste: John Napier

1. 1550 Geburt auf Merchiston Castle bei Edinburgh
2. 1563 Eintritt in das St Salvator’s College in St Andrews
3. 1572 Übernahme von Familienbesitz, Heirat
4. 1593 Kommentar zur Offenbarung des Johannes
5. 1614 Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio
6. 1615/16 Besuche von Henry Briggs, Einigung auf die Basis 10
7. 1617 Rabdologiae mit den Rechenstäbchen; Tod am 4. April
8. 1619 Constructio erscheint nach seinem Tod
9. 1624 Briggs veröffentlicht die Zehnerlogarithmen

Bedeutung und Nachwirkung

Logarithmen verkürzten Rechnungen von Wochen auf Stunden. Sie machten die Himmelsmechanik von Kepler und später Newton berechenbar und beschleunigten die Navigation auf See. Den Rechenschieber, der auf ihnen beruht, erfand um 1622 William Oughtred. Heute rechnet kein Mensch mehr mit Tafeln, doch Logarithmen stecken überall: in der Lautstärkeskala Dezibel, im Säurewert pH, in der Richterskala für Erdbeben und in den Rechenzeiten von Computerprogrammen. Die logarithmische Funktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion, die mit der Eulerschen Zahl e zusammenhängt. Die Pegeleinheit Neper (Np) in der Nachrichtentechnik trägt seinen Namen.

Quellen und weiterführende Literatur

• Julian Havil: John Napier. Life, Logarithms, and Legacy, Princeton University Press, Princeton 2014.
• William Rae Macdonald (Übers.): The Construction of the Wonderful Canon of Logarithms, Blackwood, Edinburgh und London 1889.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: John Napier (englisch)
• Wikipedia: John Napier