Bernhard Riemann

Bernhard Riemann (1826–1866) war ein deutscher Mathematiker, der in kaum fünfzehn Schaffensjahren Analysis, Geometrie und Zahlentheorie grundlegend veränderte. Er promovierte in Göttingen bei Carl Friedrich Gauß und übernahm 1859 dessen ehemaligen Lehrstuhl. Nach ihm benannt sind das Riemann-Integral, die Riemannschen Flächen, die Riemannsche Geometrie und die Riemannsche Vermutung über die Nullstellen der Zetafunktion, eines der bekanntesten ungelösten Probleme der Mathematik.

Riemanns Werk ist schmal: Zu Lebzeiten erschienen nur wenige Abhandlungen, einige der wichtigsten wurden erst nach seinem frühen Tod gedruckt. Fast jede davon eröffnete jedoch ein neues Forschungsfeld. Seine Idee, dass ein Raum eine eigene, von Ort zu Ort veränderliche Krümmung besitzen kann, lieferte sechzig Jahre später die mathematische Sprache für Albert Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie. Seine einzige zahlentheoretische Arbeit von 1859 verknüpfte die Verteilung der Primzahlen mit einer Funktion komplexer Zahlen und begründete damit die analytische Zahlentheorie.

Herkunft und Schulzeit: ein Pfarrerssohn aus dem Wendland

Georg Friedrich Bernhard Riemann kam am 17. September 1826 in Breselenz bei Dannenberg zur Welt, einem Dorf im damaligen Königreich Hannover. Sein Vater Friedrich Bernhard Riemann war lutherischer Pfarrer und hatte als junger Mann in den Befreiungskriegen gegen Napoleon gekämpft. Die Familie war kinderreich und lebte in engen finanziellen Verhältnissen; die Mutter Charlotte, geborene Ebell, starb 1846. Den ersten Unterricht erhielt Bernhard vom Vater. Er war ein stilles, schüchternes Kind, dem öffentliches Auftreten zeitlebens schwerfiel.

1840 wechselte er an das Gymnasium in Hannover, wo er bei seiner Großmutter wohnte. Nach deren Tod ging er 1842 an das Johanneum in Lüneburg. Dort lernte er neben Latein und Griechisch auch Hebräisch, denn er sollte wie der Vater Theologe werden. Der Schulleiter Schmalfuss erkannte jedoch seine mathematische Begabung und ließ ihn Bücher aus seiner Privatbibliothek lesen. Als er ihm die über 800 Seiten starke Théorie des nombres von Adrien-Marie Legendre lieh, brachte Riemann sie nach etwa einer Woche zurück. In der Abiturprüfung zeigte er später, dass er den Inhalt gründlich beherrschte.

Studium in Göttingen und Berlin

Im Frühjahr 1846 schrieb sich Riemann an der Universität Göttingen für Theologie und Philologie ein. Er besuchte aber bald mathematische Vorlesungen, unter anderem bei Moritz Stern und bei Gauß, und erhielt schließlich die Erlaubnis des Vaters, ganz zur Mathematik zu wechseln. Göttingen war damals trotz Gauß kein lebendiges Zentrum der Mathematik: Der berühmte Professor las vor allem über Astronomie und praktische Themen wie die Methode der kleinsten Quadrate.

Deshalb ging Riemann 1847 für zwei Jahre nach Berlin. Dort hörte er Carl Gustav Jacob Jacobi und Gotthold Eisenstein über elliptische Funktionen und Jakob Steiner über Geometrie. Den größten Einfluss hatte Peter Gustav Lejeune Dirichlet mit seinen Vorlesungen über partielle Differentialgleichungen. Dirichlet verband anschauliche Vorstellungen mit scharfer logischer Analyse verband und vermied lange Rechnungen nach Möglichkeit. Riemann übernahm diese Arbeitsweise. 1849 kehrte er nach Göttingen zurück und arbeitete rund anderthalb Jahre als Assistent des Physikers Wilhelm Weber. Über Weber und Johann Benedict Listing, einen Pionier der Topologie, gewann er ein tiefes Verständnis für Physik und für Fragen der Lage und des Zusammenhangs von Räumen.

Dissertation und Habilitation (1851–1854)

Im November 1851 reichte Riemann seine Dissertation Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Größe ein. Gauß, der mit Lob sonst sparsam umging, schrieb ein ungewöhnlich anerkennendes Gutachten:

„Die von Herrn Riemann eingereichte Schrift legt ein bündiges Zeugniß ab […] von einem strebsamen ächt mathematischen Forschungsgeiste, und von einer rühmlichen productiven Selbstthätigkeit.“

Für die Lehrbefugnis an der Universität musste Riemann eine Habilitationsschrift vorlegen und einen Probevortrag halten. Die Schrift behandelte die Darstellung von Funktionen durch trigonometrische Reihen und enthielt nebenbei seine Definition des Integrals. Für den Vortrag schlug er drei Themen vor; Gauß wählte entgegen dem üblichen Brauch das dritte, über die Grundlagen der Geometrie. Am 10. Juni 1854 sprach der 27-Jährige „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“. Nach dem Bericht von Richard Dedekind war Gauß tief beeindruckt; er starb wenige Monate später, im Februar 1855.

Professor in Göttingen

Als Privatdozent lebte Riemann von den Hörergeldern seiner wenigen Studenten. Seine Vorlesung über abelsche Funktionen im Winter 1855/56 besuchten ganze drei Zuhörer, darunter Richard Dedekind, der sein engster Freund und später sein Herausgeber wurde. 1857 erhielt Riemann eine außerordentliche Professur und veröffentlichte die Theorie der Abel’schen Functionen. Die Arbeit beeindruckte Karl Weierstraß so sehr, dass er ein eigenes, bereits eingereichtes Manuskript zum gleichen Thema zurückzog. Im selben Jahr erlitt Riemann durch Überarbeitung einen Zusammenbruch und erholte sich bei Dedekind im Harz.

Nach dem Tod Dirichlets, der 1855 Gauß’ Nachfolger geworden war, berief die Universität Riemann am 30. Juli 1859 auf den Lehrstuhl. Wenige Tage später wählte ihn die Berliner Akademie der Wissenschaften auf Vorschlag von Kummer, Borchardt und Weierstraß zum korrespondierenden Mitglied. Als Dank reichte er im November 1859 seine Abhandlung Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse ein. 1858 hatten ihn die italienischen Mathematiker Enrico Betti, Francesco Brioschi und Felice Casorati besucht; mit Betti verband ihn fortan eine Freundschaft, über die Riemanns topologische Ideen nach Italien gelangten. 1862 heiratete er Elise Koch, eine Freundin seiner Schwestern.

Krankheit und früher Tod in Italien

Noch im Herbst 1862 erkrankte Riemann an einer Rippenfellentzündung, aus der sich eine Tuberkulose entwickelte. Auf ärztlichen Rat verbrachte er die folgenden Winter in Italien, wo er Betti in Pisa und weitere Kollegen traf. In Pisa kam 1863 seine Tochter Ida zur Welt. Zwischen den Reisen kehrte er mehrfach nach Göttingen zurück, doch seine Kräfte schwanden. Im Juni 1866 brach er zu seiner dritten Italienreise auf und starb am 20. Juli 1866 in Selasca am Lago Maggiore, nicht einmal 40 Jahre alt. Dedekind berichtet, dass er noch am Tag vor seinem Tod unter einem Feigenbaum an einer Arbeit schrieb. Begraben wurde er im nahen Biganzolo, wo sein Grabstein bis heute erhalten ist.

Ein Teil seiner unveröffentlichten Aufzeichnungen soll kurz nach seinem Tod von der Haushälterin verbrannt worden sein. Der größere Teil des Nachlasses blieb jedoch erhalten: Dedekind und Heinrich Weber gaben 1876 Riemanns gesammelte Werke heraus, und die Papiere liegen heute in der Staats- und Universitätsbibliothek Göttingen. Wie viel darin steckt, zeigte Carl Ludwig Siegel 1932, als er aus Riemanns Notizen ein raffiniertes Verfahren zur Berechnung der Zetafunktion rekonstruierte, die heutige Riemann-Siegel-Formel.

Riemannsche Flächen: Funktionentheorie geometrisch gedacht

Riemanns Dissertation behandelte Funktionen einer komplexen Variablen, also Zuordnungen $z\mapsto w=f\left(z\right)$, bei denen z und w komplexe Zahlen sind. Während Augustin-Louis Cauchy und später Weierstraß solche Funktionen vor allem über Potenzreihen und Formeln untersuchten, dachte Riemann geometrisch. Er ging von der Bedingung aus, dass Real- und Imaginärteil u und v der Funktion die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllen:

Geometrisch bedeutet das: Überall dort, wo die Ableitung nicht null ist, ist die Abbildung im Kleinen winkeltreu (konform). Ein Problem bereiteten mehrdeutige Funktionen wie die Quadratwurzel, die jeder Zahl außer 0 zwei Werte zuordnet, oder der komplexe Logarithmus mit unendlich vielen Werten. Riemanns Lösung: Er legte mehrere Exemplare („Blätter“) der Zahlenebene übereinander und verheftete sie entlang bestimmter Schnitte. Auf dieser neuen Fläche (heute Riemannsche Fläche genannt) wird die Funktion eindeutig. Für die Wurzel genügen zwei Blätter, für den Logarithmus braucht man unendlich viele.

Damit verschob sich der Blick von der Formel auf die Gestalt der Fläche. Riemann erkannte, dass deren topologische Eigenschaften, etwa die Zahl der „Löcher“ (das Geschlecht), die Theorie der zugehörigen Funktionen bestimmen. Diese Einsicht führte zum Satz von Riemann-Roch, den sein Schüler Gustav Roch 1865 vervollständigte. Aus der Dissertation stammt auch der Riemannsche Abbildungssatz: Jedes einfach zusammenhängende Gebiet der Ebene, das nicht die ganze Ebene ist, lässt sich winkeltreu auf die Kreisscheibe abbilden.

Für seine Existenzbeweise stützte sich Riemann auf ein Minimumprinzip, das er nach seinem Lehrer „Dirichletsches Prinzip“ nannte. Weierstraß zeigte 1870, dass die Existenz des benötigten Minimums nicht selbstverständlich ist. Riemann hielt seine Ergebnisse dennoch für richtig, und zwar zu Recht: David Hilbert gab dem Prinzip um 1900 eine strenge Form und rettete damit Riemanns Ansatz.

Das Riemann-Integral und die trigonometrischen Reihen

Joseph Fourier hatte behauptet, dass sich „jede“ Funktion als Summe von Sinus- und Kosinusschwingungen darstellen lasse. Dirichlet bewies dies für eine große Klasse von Funktionen. Riemann wollte in seiner Habilitationsschrift klären, wie weit diese Darstellung reicht. Dafür brauchte er zunächst eine genaue Vorstellung davon, was ein Integral überhaupt ist. Seine Definition ist bis heute die Grundlage der Analysis in Schule und Studium:

Man zerlegt das Intervall [a; b] in Teilstücke, wählt in jedem Teilstück eine Stelle ξ_i und addiert die Rechteckflächen f(ξ_i) · (Breite des Teilstücks). Streben diese Riemann-Summen bei immer feinerer Zerlegung (δ ist die Breite des größten Teilstücks) gegen denselben Grenzwert, gleichgültig wie man zerlegt und die Stellen wählt, heißt die Funktion integrierbar. Riemann zeigte mit einem Beispiel, dass sogar Funktionen mit unendlich vielen Sprungstellen in jedem noch so kleinen Intervall integrierbar sein können. In derselben Arbeit steht auch der Riemannsche Umordnungssatz: Eine konvergente Reihe, die nicht absolut konvergiert, lässt sich durch Umordnen ihrer Glieder auf jeden beliebigen Grenzwert bringen.

Riemannsche Geometrie: Räume mit eigener Krümmung

Der Habilitationsvortrag von 1854

Seit Euklid galt die Geometrie der Ebene und des Raumes als feststehend. Im frühen 19. Jahrhundert hatten Gauß, János Bolyai und Nikolai Lobatschewski jedoch erkannt, dass eine widerspruchsfreie Geometrie ohne Euklids Parallelenpostulat möglich ist. Außerdem hatte Gauß 1827 gezeigt, dass die Krümmung einer Fläche eine „innere“ Eigenschaft ist: Ein Wesen, das die Fläche nie verlässt, kann sie allein durch Messungen auf der Fläche bestimmen.

Riemann verallgemeinerte diese Idee radikal. Er sprach von „n-fach ausgedehnten Größen“, heute Mannigfaltigkeiten genannt: Räume beliebiger Dimension, die im Kleinen wie ein gewöhnlicher Raum aussehen, im Großen aber ganz anders gebaut sein können. Wie man auf ihnen Längen misst, legt eine Metrik fest, die von Punkt zu Punkt variieren darf. Für den Abstand zweier benachbarter Punkte gilt

Im euklidischen Raum reduziert sich das auf den Satz des Pythagoras, ds² = dx₁² + dx₂² + … + dx_n². Riemann betonte, dass die Frage, welche Geometrie im physikalischen Raum gilt, nicht durch reines Denken, sondern nur durch Erfahrung zu beantworten sei. Am Schluss des Vortrags deutete er sogar an, dass die Maßverhältnisse des Raumes von physikalischen Kräften abhängen könnten. Diesen Gedanken löste erst Einstein ein. Der Vortrag wurde 1868 aus dem Nachlass veröffentlicht.

Drei Geometrien konstanter Krümmung

Als Sonderfälle enthält Riemanns Theorie die Räume mit überall gleicher Krümmung. Neu war vor allem der Fall positiver Krümmung, dessen ebenes Vorbild die Kugeloberfläche ist. Riemann unterschied dabei klar zwischen „unbegrenzt“ und „unendlich“: Ein solcher Raum hat keinen Rand, ist aber trotzdem endlich groß. Die Bezeichnung „elliptische Geometrie“ prägte erst Felix Klein 1871.

Metrik und Krümmung in Zahlen

Wie viele Angaben braucht man, um die Geometrie an einem Punkt zu beschreiben? Die Metrik g_ij ist symmetrisch und besteht deshalb aus n(n + 1)/2 Funktionen: drei auf einer Fläche (die Größen E, F, G bei Gauß), sechs im dreidimensionalen Raum und zehn in einer vierdimensionalen Raumzeit. Die Krümmung selbst erfasst der später so genannte Riemannsche Krümmungstensor. Er hat n²(n² − 1)/12 unabhängige Komponenten: eine einzige Zahl auf Flächen (die Gaußsche Krümmung), sechs in drei und zwanzig in vier Dimensionen.

Ausgearbeitete Formeln für diese Krümmungsgrößen finden sich in einer Preisschrift, die Riemann 1861 bei der Pariser Akademie zu einer Frage der Wärmeleitung einreichte; sie erschien erst 1876. Das Wort „Tensor“ und der zugehörige Kalkül stammen aus späterer Zeit: Elwin Bruno Christoffel, Gregorio Ricci-Curbastro und Tullio Levi-Civita bauten Riemanns Ansätze zwischen 1869 und 1900 zum Tensorkalkül aus. Diesen lernte Einstein ab 1912 mit Hilfe seines Freundes Marcel Grossmann kennen und machte ihn 1915 zur Grundlage der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Die Zetafunktion und die Verteilung der Primzahlen

Von Euler zu Riemann

Primzahlen wie 2, 3, 5, 7, 11, 13 … werden mit wachsender Größe seltener, aber unregelmäßig. Gauß hatte als Jugendlicher um 1792/93 anhand von Primzahltabellen vermutet, dass die Anzahl π(x) der Primzahlen bis x ungefähr x/ln x beträgt; noch genauer passt der Integrallogarithmus Li(x). Einen Beweis hatte niemand. Den Schlüssel lieferte eine Reihe, die Leonhard Euler schon im 18. Jahrhundert untersucht hatte:

Euler hatte 1737 entdeckt, dass sich die Summe über alle natürlichen Zahlen als Produkt über alle Primzahlen schreiben lässt. Diese Gleichung ist eine analytische Form der eindeutigen Primfaktorzerlegung. Euler kannte auch Werte wie ζ(2) = π²/6, betrachtete s aber nur als reelle Zahl.

Riemanns Schritt ins Komplexe

Riemann setzte für s komplexe Zahlen ein. Die Reihe konvergiert nur für Realteil größer als 1, doch Riemann zeigte, dass sich ζ(s) zu einer Funktion auf der ganzen komplexen Ebene fortsetzen lässt, mit einer einzigen Ausnahmestelle: einem Pol bei s = 1. Er bewies eine Funktionalgleichung, die die Werte bei s und bei 1 − s verbindet. Daraus folgt: Die Zetafunktion hat „triviale“ Nullstellen bei −2, −4, −6, …; alle übrigen, die nichttrivialen Nullstellen, liegen im sogenannten kritischen Streifen zwischen den Realteilen 0 und 1.

Riemann fand eine „explizite Formel“, die π(x) exakt durch Li(x) und eine Summe über alle nichttrivialen Nullstellen ausdrückt. Jede Nullstelle trägt dabei eine Art Schwingung bei, die die glatte Näherung Li(x) korrigiert. Wo die Nullstellen liegen, entscheidet also darüber, wie stark die Primzahlen von ihrer durchschnittlichen Verteilung abweichen können. Aus dem Nachlass wissen wir, dass Riemann einige der ersten Nullstellen numerisch berechnet hatte; die erste liegt bei ½ + 14,1347… i.

Die Riemannsche Vermutung

In seiner kaum zehn Seiten langen Abhandlung formulierte Riemann beiläufig eine Vermutung. Er verwendete eine Hilfsfunktion, deren Nullstellen genau dann reell sind, wenn die nichttrivialen Nullstellen von ζ den Realteil ½ haben, und schrieb:

„… es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.“

Riemanns Programm trug Früchte, auch ohne dass die Vermutung bewiesen wurde. 1896 bewiesen Jacques Hadamard und Charles de la Vallée Poussin unabhängig voneinander mit seinen Methoden den Primzahlsatz: π(x) verhält sich für große x wie x/ln x. Gauß’ Vermutung war damit bestätigt. Gälte die Riemannsche Vermutung, wüsste man zudem, dass die Abweichung zwischen π(x) und Li(x) nicht wesentlich größer als √x wird. Das wäre die bestmögliche Fehlerabschätzung.

Hilbert nahm die Vermutung 1900 als achtes Problem in seine berühmte Liste auf, das Clay Mathematics Institute im Jahr 2000 in die sieben Millennium-Probleme, deren Lösung mit je einer Million US-Dollar belohnt wird. G. H. Hardy zeigte 1914, dass unendlich viele Nullstellen auf der kritischen Geraden liegen; Jørgen Pedersen Gram berechnete 1903 die ersten 15, und heute sind durch Computerrechnungen mehr als zehn Billionen Nullstellen überprüft. Alle liegen auf der Geraden. Ein Beweis für alle unendlich vielen Nullstellen steht nach über 165 Jahren weiterhin aus.

Zeitleiste: Bernhard Riemanns Leben

1. 1826 Geburt am 17. September in Breselenz im Königreich Hannover
2. 1842 Wechsel an das Johanneum in Lüneburg; Selbststudium von Legendres Zahlentheorie
3. 1846 Studienbeginn in Göttingen, zunächst Theologie, dann Mathematik
4. 1847–1849 Studium in Berlin bei Dirichlet, Jacobi, Steiner und Eisenstein
5. 1851 Promotion bei Gauß über die Theorie komplexer Funktionen (Riemannsche Flächen)
6. 1854 Habilitation; Vortrag „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“ am 10. Juni
7. 1857 Außerordentlicher Professor; Theorie der Abel’schen Functionen
8. 1859 Ordentlicher Professor in Göttingen; Primzahlarbeit mit der Riemannschen Vermutung
9. 1862 Heirat mit Elise Koch; Beginn der Tuberkulose-Erkrankung
10. 1866 Tod am 20. Juli in Selasca am Lago Maggiore

Bedeutung heute: Wo Riemanns Ideen weiterleben

• Physik und Navigation: Die Allgemeine Relativitätstheorie beschreibt die Gravitation als Krümmung einer vierdimensionalen Raumzeit im Sinne Riemanns. Satellitennavigationssysteme wie GPS müssen deren Effekte berücksichtigen, sonst würden die Uhren an Bord gegenüber den Uhren auf der Erde täglich um rund 38 Mikrosekunden abweichen. Das ergäbe Positionsfehler von mehreren Kilometern.
• Analysis: Riemann-Summen und das Riemann-Integral sind Standardstoff in Oberstufe und Studium; numerische Integrationsverfahren in Computerprogrammen beruhen auf derselben Idee.
• Geometrie und Topologie: Mannigfaltigkeiten und Riemannsche Metriken sind die Grundbegriffe der modernen Differentialgeometrie. Riemanns topologische Überlegungen wirkten über Betti auf Henri Poincaré, den Begründer der algebraischen Topologie.
• Funktionentheorie: Riemannsche Flächen sind bis heute ein zentrales Thema der Mathematik, etwa in den Arbeiten, für die Maryam Mirzakhani 2014 die Fields-Medaille erhielt, und in der Stringtheorie.
• Zahlentheorie: Hunderte von Sätzen sind unter der Annahme bewiesen, dass die Riemannsche Vermutung gilt. Ihr Beweis würde all diese Ergebnisse auf einen Schlag absichern.
• Strömungsmechanik: Riemanns Arbeit von 1860 über Luftwellen mit großer Amplitude enthält das heute nach ihm benannte Riemann-Problem, das in Simulationsverfahren für Stoßwellen eine zentrale Rolle spielt.

Riemann gehört zu den Gestalten, die den Übergang zur modernen Mathematik des 19. Jahrhunderts prägten: weg vom Rechnen mit Formeln, hin zum Denken in Strukturen und Begriffen.

Häufige Fragen

Wann und wo lebte Bernhard Riemann?

Bernhard Riemann wurde am 17. September 1826 in Breselenz bei Dannenberg (Königreich Hannover) geboren und starb am 20. Juli 1866 in Selasca am Lago Maggiore in Italien. Den größten Teil seines Berufslebens verbrachte er an der Universität Göttingen.

Was besagt die Riemannsche Vermutung?

Sie besagt, dass alle nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion den Realteil ½ haben. Ist sie wahr, folgt daraus eine sehr genaue Aussage darüber, wie gleichmäßig die Primzahlen verteilt sind. Die Vermutung ist seit 1859 unbewiesen und eines der sieben Millennium-Probleme.

Was ist das Riemann-Integral?

Das Riemann-Integral definiert die Fläche unter einem Funktionsgraphen als Grenzwert von Summen schmaler Rechtecke (Riemann-Summen). Riemann formulierte diese Definition 1854 in seiner Habilitationsschrift; sie ist bis heute der übliche Einstieg in die Integralrechnung.

Woran starb Bernhard Riemann?

Riemann starb mit 39 Jahren an Tuberkulose. Die Krankheit begann 1862 mit einer Rippenfellentzündung; mehrere Kuraufenthalte in Italien konnten sie nicht aufhalten.

Quellen und weiterführende Literatur

• Detlef Laugwitz: Bernhard Riemann 1826–1866. Wendepunkte in der Auffassung der Mathematik, Birkhäuser, Basel 1996.
• Richard Dedekind: Bernhard Riemann’s Lebenslauf, in: Heinrich Weber (Hrsg.): Bernhard Riemann’s gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass, Teubner, Leipzig 1876.
• Marcus du Sautoy: Die Musik der Primzahlen. Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik, C. H. Beck, München 2004.
• John Derbyshire: Prime Obsession. Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Joseph Henry Press, Washington 2003.
• Clay Mathematics Institute: Riemann Hypothesis (englisch, mit Faksimile von Riemanns Manuskript)
• MacTutor History of Mathematics: Bernhard Riemann (englisch)