Mengenlehre

Eine Menge ist eine Sammlung von Dingen, die du als Ganzes betrachtest: die Schüler einer Klasse, die Primzahlen unter 20, die Punkte eines Kreises. Die Dinge in der Sammlung heißen Elemente. Die Mengenlehre untersucht, was man mit solchen Sammlungen machen kann: sie vergleichen, verbinden, zählen und sogar das Unendliche damit messen.

Die Idee wirkt harmlos, ist aber der Grundstein der modernen Mathematik. Fast jeder Begriff, von der Zahl bis zur Funktion, lässt sich auf Mengen zurückführen. Auf dieser Seite beginnst du mit einfachen Schreibweisen und kommst Schritt für Schritt bis zu Georg Cantors Entdeckung, dass unendlich nicht gleich unendlich ist.

Menge und Element: Schreibweisen

Der Begründer der Mengenlehre, Georg Cantor, erklärte 1895 den Begriff so:

„Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von M genannt werden) zu einem Ganzen.“

Wichtig sind zwei Wörter: „bestimmt“ und „wohlunterschieden“. Es muss klar sein, ob etwas dazugehört, und jedes Element zählt nur einmal. Auf die Reihenfolge kommt es nicht an. Du kannst eine Menge auf zwei Arten angeben: durch Aufzählen oder durch eine beschreibende Eigenschaft.

Teilmengen und Potenzmenge

Liegt jedes Element von $A$ auch in $B$, nennst du $A$ eine Teilmenge von $B$ und schreibst $A\subseteq B$. Sind $A$ und $B$ nicht gleich, heißt $A$ echte Teilmenge, geschrieben $A⊊B$. Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge, und jede Menge ist Teilmenge von sich selbst. Alle Teilmengen von $A$ zusammen bilden die Potenzmenge $P\left(A\right)$.

Vereinigung, Schnitt, Differenz und Komplement

Mit Mengen kannst du rechnen. Dazu legst du eine Grundmenge $G$ fest, in der alles stattfindet. Die Verknüpfungen zeichnest du am besten als Venn-Diagramm: Jede Menge ist ein Kreis, die Grundmenge das Rechteck darum.

Zwischen Komplement, Vereinigung und Schnitt gelten die Regeln von De Morgan, benannt nach dem Mathematiker Augustus De Morgan: Das Komplement einer Vereinigung ist der Schnitt der Komplemente, $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$, und umgekehrt. Im Beispiel ist $\overline{A\cup B}=\{7;8\}$, und tatsächlich ist $\overline{A}\cap \overline{B}=\{5;6;7;8\}\cap \{1;2;7;8\}=\{7;8\}$.

Mächtigkeit: wie viele Elemente?

Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge heißt ihre Mächtigkeit und wird $\left|A\right|$ geschrieben. So ist $\left|\right\{a;b;c\left\}\right|=3$ und $\left|\varnothing \right|=0$. Für zwei Mengen gilt eine Zählregel, die du im Beispiel mit den Sportarten benutzt hast. Wer in $A$ und $B$ liegt, würde sonst doppelt gezählt.

Bei unendlichen Mengen reicht das Zählen nicht mehr. Hier vergleichst du Mengen, indem du ihre Elemente paarweise einander zuordnest. Gelingt das lückenlos, haben die Mengen dieselbe Mächtigkeit. Dazu mehr im Abschnitt über abzählbare Mengen.

Zahlbereiche: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Die bekannten Zahlen bilden Mengen, die ineinanderliegen. Jede neue Menge entstand, weil die alte für manche Rechnungen nicht reichte.

Die Rationalen sind alle Zahlen, die sich als Bruch ganzer Zahlen schreiben lassen. Zahlen wie $\sqrt{2}$ oder π sind irrational: Ihre Dezimalbrüche brechen nie ab und wiederholen sich nie. Die Menge ℝ enthält beide Sorten. Ob die 0 zu ℕ gehört, ist Geschmackssache. Die internationale Norm ISO 80000-2 zählt sie dazu, in vielen Schulbüchern beginnt ℕ aber bei 1, und ℕ₀ enthält die 0.

Das kartesische Produkt

Aus zwei Mengen kannst du eine neue bauen, deren Elemente geordnete Paare sind. Bei einem Paar $\left(a\right|b)$ kommt es auf die Reihenfolge an: $\left(1\right|2)$ ist etwas anderes als $\left(2\right|1)$. Das kartesische Produkt $A\times B$ besteht aus allen Paaren, deren erste Zahl aus $A$ und deren zweite aus $B$ stammt. Den Namen verdankt es René Descartes, dessen Koordinatensystem genau so funktioniert.

Abzählbar und überabzählbar: Cantors Entdeckung

Gibt es mehr gerade Zahlen oder mehr natürliche Zahlen? Beide Mengen sind unendlich, und doch lassen sich die natürlichen Zahlen den geraden Zahlen lückenlos zuordnen: $0\to 0$, $1\to 2$, $2\to 4$ und allgemein $n\to 2n$. Keine Zahl bleibt übrig. Nach Cantor haben zwei Mengen dieselbe Mächtigkeit, wenn eine solche Zuordnung (eine Bijektion) existiert. Eine Menge, die sich mit den natürlichen Zahlen paaren lässt, heißt abzählbar unendlich.

Auch die ganzen Zahlen sind abzählbar, weil man sie in der Reihenfolge $0,1,-1,2,-2,3,-3,\dots$ aufschreiben kann. Überraschender ist, dass sogar die Brüche abzählbar sind. Cantor ordnete alle Brüche in einer Tabelle an und lief sie im Zickzack ab, wobei gleiche Brüche wie ½ und 2/4 nur einmal zählen. Die rationalen Zahlen haben also nicht mehr Elemente als die natürlichen, obwohl zwischen zwei Brüchen immer noch unendlich viele weitere liegen.

Die reellen Zahlen sind überabzählbar

Der Höhepunkt kam 1874 und 1891: Cantor zeigte, dass die reellen Zahlen nicht abzählbar sind. Sein zweites Argument, das Diagonalverfahren, kannst du Schritt für Schritt nachvollziehen. Angenommen, jemand hätte alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 in einer Liste aufgeschrieben. Cantor baut eine Zahl, die in dieser Liste nicht vorkommt: Die erste Ziffer wählt er anders als die erste Ziffer der ersten Zahl, die zweite anders als die zweite Ziffer der zweiten Zahl, und so weiter.

Die Regel lautet: Steht auf der Diagonale (fett) eine 5, nimm eine 4, sonst nimm eine 5. Die neue Zahl 0,55545… unterscheidet sich von der Zahl Nr. n an der n-ten Stelle. Sie steht also nirgends in der Liste, obwohl die Liste angeblich vollständig war. Das ist ein Widerspruch, also lässt sich ℝ nicht abzählen. Dass nur die Ziffern 4 und 5 vorkommen, vermeidet Probleme mit Zahlen wie 0,5 und 0,4999…, die dieselbe Zahl darstellen.

Geschichte: von Cantor bis ZFC

Georg Cantor (1845–1918) kam über die Analysis zur Mengenlehre. Bei Untersuchungen zu Fourier-Reihen stieß er auf unendliche Punktmengen und fragte sich, wie man sie vergleichen kann. 1874 erschien seine erste Arbeit über die Abzählbarkeit, und in den folgenden Jahrzehnten baute er die Theorie des Unendlichen auf. Seine Ideen stießen auf heftigen Widerstand, besonders von Leopold Kronecker. Cantor litt seit 1884 immer wieder unter Depressionen und starb in einer Nervenklinik in Halle. Richard Dedekind, mit dem er jahrelang Briefe wechselte, definierte 1888 eine Menge als unendlich, wenn sie sich eins zu eins auf eine echte Teilmenge abbilden lässt, und konstruierte die reellen Zahlen aus „Schnitten“ in ℚ.

Dann kam die Krise. Der Philosoph und Mathematiker Bertrand Russell fragte 1901: Ist die Menge $R$ aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten, ein Element von sich selbst? Beide Antworten führen zum Widerspruch. Anschaulich ist das der Barbier eines Dorfs, der genau die Männer rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Rasiert er sich selbst? Wenn ja, dann nicht, und wenn nein, dann ja. Russell schrieb 1902 an Gottlob Frege, der gerade den zweiten Band seiner Grundgesetze der Arithmetik abschloss, und erschütterte dessen Gedankengebäude.

Die Mathematik reagierte mit klaren Spielregeln. 1908 stellte Ernst Zermelo Axiome auf, die das Bilden von Mengen einschränken, später ergänzt durch Abraham Fraenkel und Thoralf Skolem. Mit dem Auswahlaxiom heißt das System ZFC und ist bis heute die Grundlage fast der gesamten Mathematik. Gleichzeitig suchten Russell und Alfred North Whitehead in ihrer Principia Mathematica (1910–1913) einen anderen Ausweg.

„Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.“

Eine Frage blieb offen: Gibt es eine Menge, die größer als ℕ und kleiner als ℝ ist? Cantor vermutete: nein (Kontinuumshypothese). Kurt Gödel zeigte 1940, dass sich die Hypothese nicht widerlegen lässt, und Paul Cohen bewies 1963, dass sie sich auch nicht beweisen lässt. Beides gilt unter der Annahme, dass ZFC selbst widerspruchsfrei ist. Die Kontinuumshypothese ist also unabhängig von ZFC: Du kannst sie annehmen oder verneinen, ohne einen Widerspruch zu erzeugen. Für seine Methode erhielt Cohen 1966 die Fields-Medaille.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Element und Teilmenge?

Ein Element ist ein einzelnes Ding in der Menge ($2\in \{1;2\}$). Eine Teilmenge ist selbst eine Menge, die in der größeren liegt, auch wenn sie nur ein einziges Element hat ($\left\{2\right\}\subseteq \{1;2\}$).

Warum ist die leere Menge in jeder Menge enthalten?

Weil man kein Element finden kann, das in der leeren Menge liegt und nicht in der anderen Menge. Die Bedingung „jedes Element von A liegt in B“ ist für A = ∅ trivial erfüllt.

Quellen und weiterführende Literatur

• Georg Cantor: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Mathematische Annalen 46 (1895), S. 481–512.
• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre, Springer, Berlin und Heidelberg.
• Joseph W. Dauben: Georg Cantor. His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Harvard University Press, Cambridge (Massachusetts) 1979.
• MacTutor History of Mathematics: Georg Cantor (englisch)
• Wikipedia: Mengenlehre