Zufallsgrößen, Erwartungs­wert und Varianz

Eine Zufallsgröße (auch Zufallsvariable) $X$ ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs eine Zahl zu: bei zwei Würfeln die Augensumme, beim Münzwurf die Zahl der Köpfe, bei einem Spiel den Gewinn in Euro. Sie macht aus Ergebnissen Zahlen, mit denen sich rechnen lässt.

Wie wahrscheinlich die einzelnen Werte sind, beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung. Aus ihr gewinnt man zwei Kennzahlen: den Erwartungswert als Mittelwert auf lange Sicht und die Varianz als Maß für die Streuung. Diese Seite vertieft den Abschnitt zum Erwartungswert und baut auf der Varianz aus der Statistik auf. Zum Üben dient das Arbeitsblatt Zufallsgrößen.

Zufallsgröße und Verteilung

Zwei Würfel werden geworfen, $X$ ist die Augensumme. Die 36 Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. Die Summe 7 entsteht auf sechs Arten, (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1), die Summe 2 nur als (1, 1). Das ergibt die Verteilung:

Die Wahrscheinlichkeiten zusammen ergeben 1. Mit der Verteilung berechnest du jede Wahrscheinlichkeit zur Zufallsgröße: $P(X\le 4)=\frac{1+2+3}{36}=\frac{6}{36}$ und $P(X\ge 10)=\frac{3+2+1}{36}=\frac{6}{36}$. Die Summe $P(X\le k)$ heißt kumulierte Wahrscheinlichkeit. Mit ihr rechnest du „höchstens“ und „mindestens“: $P(X\ge 10)=1-P(X\le 9)=1-\frac{30}{36}=\frac{6}{36}$.

Der Erwartungswert

Der Erwartungswert ist der Wert, den du im Mittel erhältst, wenn du das Experiment sehr oft wiederholst. Du multiplizierst jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addierst:

Für die Augensumme zweier Würfel gilt

Das passt zur symmetrischen Verteilung. Bei einem einzelnen Würfel ist der Erwartungswert $\mathrm{3,5}$, die Summe zweier Würfel hat also den Erwartungswert $2·\mathrm{3,5}=7$.

Faire Spiele

Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns (Auszahlung minus Einsatz) null ist. Dann gewinnt niemand auf lange Sicht.

Ein weiteres Beispiel: Du zahlst 7 € Einsatz und bekommst die Augensumme zweier Würfel in Euro ausgezahlt. Wegen $E(X)=7$ ist das Spiel fair. Bei 6 € Einsatz gewinnst du im Mittel 1 € pro Spiel.

Varianz und Standardabweichung

Der Erwartungswert sagt nicht, wie stark die Werte schwanken. Zwei Spiele können denselben Erwartungswert haben und doch sehr verschieden sein: Spiel A zahlt bei einem Münzwurf $+1$ € oder $-1$ €, Spiel B zahlt $+100$ € oder $-100$ €. In beiden Fällen ist $E=0$. Die Varianz misst die Streuung. Sie ist der Erwartungswert der quadrierten Abweichung vom Erwartungswert.

Die Summe der Produkte aus beiden Zeilen ist $25+32+27+16+5+0+5+16+27+32+25=210$. Also ist $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=\frac{210}{36}=\frac{35}{6}\approx \mathrm{5,83}$ und $\sigma \approx \mathrm{2,42}$. Ein einzelner Würfel hat $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}=\frac{35}{12}\approx \mathrm{2,92}$ und $\sigma \approx \mathrm{1,71}$. Zur Probe mit dem Verschiebungssatz: $E(X^2)=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}$ und $\frac{91}{6}-{\mathrm{3,5}}^2=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{35}{12}$.

Für das Glücksrad ist $E(X^2)=0+4·\mathrm{0,3}+25·\mathrm{0,2}=\mathrm{6,2}$, also $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=\mathrm{6,2}-{\mathrm{1,6}}^2=\mathrm{3,64}$ und $\sigma \approx \mathrm{1,91}$ €. Die Standardabweichung gibt an, wie weit die Auszahlung typischerweise vom Erwartungswert entfernt ist. Bei der Augensumme liegen $24$ von $36$ Fällen, also $\mathrm{66,7}$ %, im Bereich $\mu \pm \sigma$ (zwischen 4,58 und 9,42), genau wie in der Grafik. Bei Spiel A oben ist $\sigma =1$ €, bei Spiel B ist $\sigma =100$ €.

Rechenregeln

Das Verschieben um $b$ ändert die Streuung nicht, nur die Lage. Das Strecken mit $a$ vergrößert die Standardabweichung um den Faktor $|a|$ und die Varianz um $a^2$.

Das Gesetz der großen Zahlen kurz

Mit Erwartungswert und Varianz lässt sich das Gesetz der großen Zahlen genauer fassen. Der Mittelwert von $n$ unabhängigen Versuchen mit demselben Erwartungswert $\mu$ und derselben Standardabweichung $\sigma$ hat den Erwartungswert $\mu$, aber nur die Standardabweichung $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$. Die Streuung des Mittelwerts schrumpft also mit wachsender Versuchszahl, und er nähert sich $\mu$.

Für die relative Häufigkeit von „Kopf“ beim Münzwurf ($p=\mathrm{0,5}$, $\sigma =\mathrm{0,5}$ je Wurf) gilt: Bei $n=100$ Würfen ist die Streuung $\frac{\mathrm{0,5}}{10}=\mathrm{0,05}$, bei $n=10.000$ Würfen nur $\mathrm{0,005}$. Der Anteil liegt dann typischerweise (eine Standardabweichung) zwischen 49,5 % und 50,5 %. Das Gesetz sagt nichts über einen Ausgleich der Anzahlen: Es kann sein, dass die absolute Abweichung wächst, während der Anteil gegen $p$ geht. Das Gegenteil wäre der Spielerfehlschluss.

Das St.-Petersburg-Paradoxon

Ein Spiel: Eine Münze wird so lange geworfen, bis zum ersten Mal Kopf fällt. Fällt das im $k$-ten Wurf, erhältst du $2^k$ Euro. Wie viel Einsatz ist fair? Der Erwartungswert ist

Jeder Summand ist 1, und es gibt unendlich viele. Der Erwartungswert ist unendlich, doch niemand würde 1000 € für das Spiel zahlen. Das ist das Paradox. Es verliert an Schärfe, wenn die Bank nur begrenzt zahlen kann. Zahlt sie höchstens $2^{20}=\mathrm{1.048.576}$ €, ist der Erwartungswert nur noch $19+2=21$ €. Die Wahrscheinlichkeit, mehr als 8 € zu erhalten, beträgt $\frac{1}{8}$.

Nicolaus Bernoulli stellte das Problem 1713 in einem Brief. Daniel Bernoulli veröffentlichte 1738 die Lösung: Ein zusätzlicher Euro ist für einen Reichen weniger wert als für einen Armen. Man darf also nicht den Geldbetrag, sondern muss den Nutzen mitteln. Das gilt als Vorläufer der Idee des abnehmenden Grenznutzens in der Wirtschaft.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: vom Würfelspiel zur Kennzahl

Die Anfänge liegen im Glücksspiel. In ihrem Briefwechsel von 1654 lösten Fermat und Pascal das Problem der Punkteteilung und rechneten dabei mit Erwartungswerten. Christiaan Huygens veröffentlichte die Methode 1657 in der ersten gedruckten Abhandlung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, De ratiociniis in ludo aleae. Jakob Bernoulli druckte sie in seiner Ars Conjectandi (1713) nach und bewies dort das Gesetz der großen Zahlen. Daniel Bernoulli ordnete 1738 dem Erwartungswert den Nutzen zu. Pierre-Simon Laplace gab dem Begriff 1814 seine heutige Form.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Zufallsvariable
• Wikipedia: Erwartungswert
• Wikipedia: Varianz (Stochastik)
• Wikipedia: Sankt-Petersburg-Paradoxon
• Wikipedia: Expected value (englisch, Abschnitt History)
• Christiaan Huygens: De ratiociniis in ludo aleae, 1657.
• Jakob Bernoulli: Ars Conjectandi, Basel 1713.