Geraden im Raum und Lagebeziehungen

Eine Gerade im Raum wird durch einen Punkt und eine Richtung festgelegt. Mit Vektoren lässt sie sich in einer Gleichung beschreiben, der Parameterform. Sie verrät dir nicht nur, ob ein Punkt auf der Geraden liegt, sondern auch, wie zwei Geraden zueinander stehen: Sie können zusammenfallen, parallel verlaufen, sich in einem Punkt schneiden oder aneinander vorbeigehen, ohne sich zu treffen.

Diese Seite vertieft den Abschnitt zu Geraden in der Vektorrechnung. Das Kreuzprodukt brauchst du nur an einer Stelle, es steht beim Kreuzprodukt. Abstände zwischen Geraden und Punkten erklärt die Seite Abstände im Raum, Ebenen die Seite Ebenen im Raum. Zum Üben dient das Arbeitsblatt Geraden im Raum.

Die Parameterform

Du startest am Stützpunkt $P$ mit dem Ortsvektor $\overrightarrow{p}$ (dem Stützvektor) und läufst in Richtung des Richtungsvektors $\overrightarrow{u}$. Wie weit, bestimmt der Parameter $t$, eine beliebige reelle Zahl:

Ausgeschrieben in Koordinaten sind das drei Gleichungen. Für $\overrightarrow{p}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ gilt $x=1+3t$, $y=2-2t$ und $z=3-2t$.

Die Darstellung ist nicht eindeutig. Jeder andere Punkt der Geraden darf Stützpunkt sein, und jedes von null verschiedene Vielfache von $\overrightarrow{u}$ ist ebenfalls ein Richtungsvektor. Die Geraden $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+t·\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -2\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\end{array}\right)+s·\left(\begin{array}{c}-6\\ 4\\ 4\end{array}\right)$ sind daher dieselbe Gerade.

Gerade durch zwei Punkte

Zwei verschiedene Punkte $A$ und $B$ legen genau eine Gerade fest. Als Stützvektor nimmst du den Ortsvektor von $A$, als Richtungsvektor die Verbindung $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$.

Die Punktprobe

Ein Punkt $P$ liegt auf $g$, wenn es einen Wert von $t$ gibt, der in allen drei Koordinaten passt. Du setzt die Koordinaten von $P$ ein und löst die erste Gleichung nach $t$ auf. Dann prüfst du die beiden anderen.

Ein Punkt mit negativem $t$ liegt auf der Geraden, aber nicht auf der Strecke $AB$. So gehört $Q(-2|4|5)$ zu $t=-1$ und liegt hinter $A$.

Lagebeziehungen zweier Geraden

Zwei Geraden $g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+t·\overrightarrow{u}$ und $h:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{q}+s·\overrightarrow{v}$ können vier Lagen haben. Benutze für die zweite Gerade einen anderen Buchstaben für den Parameter, hier $s$.

Das Windschiefsein gibt es nur im Raum. Ein Beispiel ist eine Straße und eine Brücke darüber, die in eine andere Richtung führt: Von oben sieht es nach einer Kreuzung aus, aber es gibt keinen gemeinsamen Punkt.

Das Entscheidungsschema

1. Sind $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ Vielfache voneinander? Das prüfst du, indem du die Quotienten der Koordinaten bildest. Sind alle drei gleich (mit dem Sonderfall 0 : 0), sind die Vektoren kollinear.
2. Wenn ja: Mache die Punktprobe mit $\overrightarrow{q}$ in $g$. Liegt $Q$ auf $g$, sind die Geraden identisch, sonst parallel.
3. Wenn nein: Setze $g$ und $h$ gleich. Das gibt drei Gleichungen mit zwei Unbekannten $t$ und $s$. Lösen zwei davon, setze in die dritte ein. Passt sie, schneiden sich die Geraden, sonst sind sie windschief.

Alle vier Fälle im Beispiel

Wir untersuchen die Gerade $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+t·\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ mit je einer zweiten Geraden $h$.

Für größere Systeme oder krumme Zahlen hilft das Lösen linearer Gleichungssysteme. Wie weit windschiefe Geraden voneinander entfernt sind, steht in Abstand windschiefer Geraden. Der Abstand wird hier nicht noch einmal hergeleitet.

Der Schnittwinkel

Der Winkel zwischen zwei Geraden ist der Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren, höchstens 90°. Mit dem Skalarprodukt berechnest du ihn:

Auch bei windschiefen Geraden kannst du den Winkel der Richtungen angeben. Für $g$ und $h_4$ ist $\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}=2-2-1=-1$ und $|\overrightarrow{v}|=\sqrt{6}$. Damit ist $\cos \phi =\frac{1}{6}$ und $\phi \approx \mathrm{80,4}°$. Der Winkel ist eine Eigenschaft der Richtungen, nicht eines Schnittpunkts.

Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn $\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}=0$ gilt. Für $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)$ ist $2-2+0=0$, die Richtungen sind also senkrecht. Eine parallele Gerade durch einen beliebigen Punkt $R$ erhältst du, indem du $R$ als Stützpunkt nimmst und den Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ beibehältst.

Spurpunkte

Die Spurpunkte einer Geraden sind ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen. Du setzt eine Koordinate gleich null und löst nach $t$ auf. Für $g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+t·\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right)$ gilt:

Hat der Richtungsvektor eine Koordinate 0, verläuft die Gerade parallel zur zugehörigen Koordinatenebene und hat dort entweder keinen oder unendlich viele Spurpunkte. Spurpunkte von Ebenen stehen bei Ebenen im Raum.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: von Descartes bis Hamilton

Gleichungen für Geraden gibt es seit René Descartes: In seiner Géométrie von 1637 beschrieb er Punkte durch Koordinaten, und erst damit lässt sich Geometrie mit Gleichungen behandeln. Die Parameterform mit Vektoren ist jünger. Sie entstand mit der Vektorrechnung im 19. Jahrhundert, bei der William Rowan Hamilton in den 1840er-Jahren die Wörter „Skalar“ und „Vektor“ prägte und Hermann Grassmann 1844 eine allgemeine Algebra der Richtungen entwickelte. Mehr dazu steht in der Geschichte der Vektoren.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Gerade
• Wikipedia: Windschiefe
• Wikipedia: Parameterdarstellung
• Wikipedia: Skalarprodukt
• René Descartes: La Géométrie, Leiden 1637.